【摘 要】一元二次方程是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，在初中代數(shù)中占有重要地位。但是，解一元二次方程卻一直被認(rèn)為是一個難點(diǎn)。究其原因，是未能很好的掌握解法中的數(shù)學(xué)思想。對于學(xué)生而言，很少人能夠系統(tǒng)的掌握。為此，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，將其中的四種數(shù)學(xué)思想陳列如下并配以例題說明。

【關(guān)鍵詞】一元二次方程；轉(zhuǎn)化思想；整體思想；分類討論思想；方程思想

課標(biāo)要求“人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)”?！坝袃r(jià)值的數(shù)學(xué)”就是數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能的本質(zhì)體現(xiàn)，在解一元二次方程中，也蘊(yùn)含了一定的數(shù)學(xué)思想。

一、轉(zhuǎn)化思想

著名的數(shù)學(xué)家，莫斯科大學(xué)教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數(shù)學(xué)奧林匹克參賽者發(fā)表《什么叫解題》的演講時提出：“解題就是把要解題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題”。數(shù)學(xué)的解題過程，就是從未知向已知、從復(fù)雜到簡單的化歸轉(zhuǎn)換過程。轉(zhuǎn)化，是一種重要的思想方法，它能給人帶來思維的閃光點(diǎn)，找到解決問題的突破口。

解一元二次方程的基本思路是運(yùn)用了“轉(zhuǎn)化”的思想，即把待解決的問題（一元二次方程），通過轉(zhuǎn)化，歸結(jié)為已解決的問題（一元一次方程）。直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法中都滲透了這一思想。

直接開平方法： 兩個一元一次方程，把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”；

配方法：一元二次方程 ，

兩個一元一次方程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)形式的轉(zhuǎn)化；

因式分解法：一元二次方程 兩個一元一次方程；

公式法：直接用公式把把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”。這些都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想。

例1 方程x2+4x=2的正根為（ ）.

A.2- B.2+ C.-2- D.-2+

解析：x2+4x+4=2+4.因此（x+2）2=6，x+2=± .

例2 若2x2-5x+ ，則2x2-5x-1的值為 .

解析：把原式中2x2-5x為一個未知數(shù)，令2x2-5x=y，用換元法得到分式方程求出y，則可得到所求的值。

二、整體思想

整體的思想方法，就是將注意力和著眼點(diǎn)放在問題的整體上或把一些相互聯(lián)系的量作為整體，從而使問題巧妙的解決的方法稱之為整體思想。利用整體思想可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。

有些一元二次方程問題，可根據(jù)其特點(diǎn)，采用整體處理的方法，不僅可避免復(fù)雜的計(jì)算，而且還達(dá)到了解決問題的目的。

例3 解方程3（x- ）2=2x（x- ）.

解析：本題的方法比較多，不過如果利用整體思想可大大地減少運(yùn)算量。把x- 作為一個整體，然后利用因式分解的方法進(jìn)行解答。

三、分類討論思想

我們在解答某些數(shù)學(xué)問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。分類討論是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性，所以在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有重要的位置。

在涉及到含有字母系數(shù)的一元二次方程時，經(jīng)常要用到分類討論思想。分類討論一般分為以下三步。第一步，根據(jù)題目需要確定分類討論的思想；第二步，針對討論對象進(jìn)行合理的分類討論；第三步，對分類討論結(jié)果進(jìn)行合并，綜合得出結(jié)論。從而獲得問題的解決方案。

例4 若0是關(guān)于x的方程（m-2）x2-3x+m2+2m-8=0的解，則實(shí)數(shù)m的值為 .

解析：根據(jù)題意，進(jìn)行分類，是解決本題的突破口.本題逆用方程解的定義可求得m的值，但要注意m的不同取值所得的方程解的情況也不同，故要分類討論。由題意，得m2+2m-8=0，解得：m=2，m=-4.

（1）當(dāng)m=2時，原方程變?yōu)?3x=0，解得x=0.

（2）當(dāng)m=-4時，原方程變?yōu)?6x2-3x=0，解得x=0，x=-2.

例5 當(dāng)a為何值時，關(guān)于x的方程（a+1）x2+2ax+a=0有實(shí)數(shù)根？

解析：方程“有實(shí)數(shù)根”包含“有一個實(shí)數(shù)根”和“有兩個實(shí)數(shù)根”，即方程既可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程，故需分類討論：

（1）當(dāng)a+1≠0，即a≠1時，方程為一元二次方程。

因方程有實(shí)數(shù)根，所以（2a）2-4（a+1）·a≤0.解得a≤0.

所以，當(dāng)a≤0且a≠-1時，一元二次方程（a+1）x2+2ax+a=0有實(shí)數(shù)根。

（2）當(dāng)a+1=0，即a=-1時，方程為-2x-1=0.實(shí)數(shù)根為x=- .

綜上可知，當(dāng)a≤0時，方程（a+1）x2+2ax+a=0，有實(shí)數(shù)根。

四、方程思想

方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時，還實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達(dá)到解決問題的目的。笛卡爾的方程思想是：實(shí)際問題→數(shù)學(xué)問題→代數(shù)問題→方程問題。

方程思想在一元二次方程的解法中有著廣泛的應(yīng)用。如已知方程和方程的根，求方程中字母的值，運(yùn)用了方程思想；又如列方程解實(shí)際問題也充分體現(xiàn)了方程思想。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應(yīng)用方程思想時需要重點(diǎn)考慮的。

例6 已知關(guān)于x的方程x2-px+q=0的兩個根分別是0和-2，則p和q的值分別是（ ）.

A.p=-2，q=0 B.p=2，q=0 C.p= ，q=0 D.p= ，q=0

解析：解答本題的關(guān)鍵是要明確方程的定義，因此，只需將方程的根0和-2代入原方程，得到一個關(guān)于p、q的方程組q=04+2p+q=0，再解這個新的方程組得到p=-2q=0即可。

例7 已知x2+y2+4x-6y+13=0，且x、y為實(shí)數(shù)，求的yx值。

解析：本題圍繞一元二次方程，既考查了知識，又考查了能力。通過審題發(fā)現(xiàn)只需將等式的左邊改為兩個代數(shù)式和的形式，即（x+2）2+（y-3）2，再利用非負(fù)數(shù)的的性質(zhì)得到兩個方程x+2=0、y-3=0，解出x=-2，y=3后代入中求出答案即可。

數(shù)學(xué)思想是是數(shù)學(xué)解題的指南針，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方向盤。解題時恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用數(shù)學(xué)思想可使思路開闊，方法簡便快捷。提高一元二次方程的解題思維，可以對已學(xué)過實(shí)數(shù)、一元一次方程、因式分解、二次根式等知識加以鞏固，同時又為今后學(xué)習(xí)可化為一元二次方程的其它高元方程、一元二次不等式、二次函數(shù)等知識的打下基礎(chǔ)。只要真正理解這些數(shù)學(xué)思想，并在解題的過程中靈活應(yīng)用，就會在解決數(shù)學(xué)問題的過程中舉一反三，提高學(xué)習(xí)的效率，真正學(xué)會數(shù)學(xué)，會學(xué)數(shù)學(xué)。

【參考文獻(xiàn)】

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[3]主編：薛金星.《高效學(xué)習(xí)法——九年級數(shù)學(xué)上》.北京教育出版社，2012.4

（作者單位：江蘇省靖江外國語學(xué)校）