立體幾何的教學(xué)目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象能力，因此要學(xué)好立體幾何應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的以下幾種意識(shí)。

一、語(yǔ)言規(guī)范意識(shí)

數(shù)學(xué)語(yǔ)言通常分為文字、符號(hào)和圖形三種語(yǔ)言，在立幾教學(xué)中要注重?cái)?shù)學(xué)語(yǔ)言的教學(xué)。

1.在立幾教學(xué)中要規(guī)范三種語(yǔ)言

學(xué)生在表達(dá)立體幾何問(wèn)題時(shí)，常常在語(yǔ)言表達(dá)上不規(guī)范，用文字語(yǔ)言表達(dá)時(shí)不夠嚴(yán)密，如過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，這句話就不嚴(yán)密，因?yàn)檫^(guò)空間一點(diǎn)與一直線垂直的直線有無(wú)數(shù)條，應(yīng)寫(xiě)成過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC交BC于E，即過(guò)……作……交于……。因此，在立幾教學(xué)中應(yīng)注意這種書(shū)寫(xiě)規(guī)范性的培養(yǎng)。

用符合語(yǔ)言表述立體幾何問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意符號(hào)的準(zhǔn)確性。如用集合符號(hào)∈、∩、等表述立幾問(wèn)題時(shí)，往往應(yīng)用不正確。因此，在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注意符號(hào)語(yǔ)言準(zhǔn)確性的培養(yǎng)。

在立幾中，準(zhǔn)確作圖有助于解題思路的發(fā)現(xiàn)及最終解決，有的學(xué)生對(duì)作圖沒(méi)有按畫(huà)圖規(guī)則作圖，這樣作出圖形往往會(huì)給思考問(wèn)題會(huì)造成錯(cuò)覺(jué)。因此，在教學(xué)過(guò)程中，教師在畫(huà)圖時(shí)，要講清圖形怎樣畫(huà)，更要講清為什么這樣畫(huà)，培養(yǎng)學(xué)生正確做圖的能力。

2.在立幾教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生三種語(yǔ)言間的互譯能力

數(shù)學(xué)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)思維的載體。數(shù)學(xué)文字、符號(hào)、圖形語(yǔ)言雖然形式各異，但它們?cè)诿枋鲆粋€(gè)定理時(shí)本質(zhì)屬性是一致的，因此它們之間可以互譯，重視和加強(qiáng)三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言，是學(xué)好立幾的關(guān)鍵。

例1：對(duì)于直線m，n和平面α、β，α⊥β的一個(gè)充分條件是（ ）

分析：本題中涉及的基本線、面關(guān)系都是用符合語(yǔ)言表述的，需作適當(dāng)?shù)恼Z(yǔ)言翻譯，弄清題意，才能作出正確的判斷。對(duì)于A，翻譯成文字語(yǔ)言是：兩個(gè)平面分別于兩條垂直的直線中的一條，這兩個(gè)平面垂直。這顯然是一個(gè)假命題，對(duì)于B。翻譯成圖形語(yǔ)言可以如圖1所示，由此即可作判斷：α與β不一定垂直，對(duì)于C，用符合語(yǔ)言推理是：

二、類(lèi)比意識(shí)

立體幾何是平面幾何的延伸，立幾與平幾既有聯(lián)系又有區(qū)別，通過(guò)平幾與立幾的類(lèi)比，有助于學(xué)好立幾。

1.性質(zhì)類(lèi)比

立體幾何與平面幾何有緊密的內(nèi)在聯(lián)系。在立體幾何里，平面幾何的定義、公理、定理等，對(duì)于同一平面內(nèi)的圖形仍然成立，但對(duì)于非平面圖形一些則不能成立。例如：過(guò)直線上一點(diǎn)能且只有引該直線的一條垂直在平面內(nèi)是成立的，但在空間就不成立。過(guò)直線外一點(diǎn)能且只能引該直線的一條平行線，在平面內(nèi)和空間都成立。因此，在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類(lèi)比，區(qū)別異同，從而建立清晰的空間概念，正確掌握空間圖形的性質(zhì)。

2.解題方法類(lèi)比

立體幾何中有些問(wèn)題的解題方法與平面幾何中的解題方法非常相似。

例2.過(guò)△ABC內(nèi)一點(diǎn)P，分別引三條平行各邊的直線，這些直線分△ABC為六個(gè)部分，其中三個(gè)角形的面積依次為S1，S2，S3，如圖2，求△ABC的面積S。

例2應(yīng)用了相似比和等比定理，方法相似。很多立體幾何問(wèn)題，都可以運(yùn)用這種類(lèi)比的方法解決。

三、轉(zhuǎn)化意識(shí)

轉(zhuǎn)化是學(xué)好立幾的關(guān)鍵之一，在教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)業(yè)的轉(zhuǎn)化思想。

1.在立體幾何定理的教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化意識(shí)

立體幾何中許多定理和性質(zhì)都體現(xiàn)了線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系，面面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線面關(guān)系。例如，我們學(xué)習(xí)直線與平面垂直的判定定理：要判定直線與平面垂直，只要通過(guò)判定直線與這平面內(nèi)兩條相交直線垂直，把直線與平面關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線與直線的關(guān)系。

2.在引導(dǎo)學(xué)生分析，解決立體幾何問(wèn)題的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題

空間圖形的主要元素往往可集中在某一特征平面上，把這一特征平面分離出來(lái)，畫(huà)成原形，作為空間圖形的一個(gè)“特寫(xiě)鏡頭”，將焦點(diǎn)都集中到這個(gè)鏡頭上，用平面幾何的方法去分析研究，可使問(wèn)題很快得到解決

例3：α-EF-β是120°的二面角，從其內(nèi)的一點(diǎn)P分別作PA⊥α于A，PB⊥β于B，若PA=3，PB=1，求點(diǎn)P到棱EF的距離。

分析：（1）先作出這個(gè)距離，過(guò)PA、PB作平面交EF于C，則PC⊥EF，所以PC是P到EF的距離（如圖3），可證∠ACB是二面角α-EF-β的平面角，即∠ACB=120°，主要元素都集中在平面PAB上，把它分離出來(lái)，畫(huà)出原形（如圖4）。

（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面四邊形PACB中的一個(gè)平面幾何問(wèn)題了，易證P，A，C，B四點(diǎn)共圓，PC可看出△PAB外接圓的直徑，由余弦定理得：AB==，由正弦定理得PC==。

空間圖形的主要元素往往集中在某一特征平面上，如旋轉(zhuǎn)體的軸截面或側(cè)面展開(kāi)圖，正棱錐的直角三解形，正棱臺(tái)的直解梯形，都包含它們的主要元素，把特征平面分離出來(lái)，作為“特寫(xiě)鏡頭”，重點(diǎn)去分析研究，即轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題解決。

3.求體積教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生等體轉(zhuǎn)化意識(shí)。

求距離或體積等問(wèn)題，利用三棱錐體積自等或等底等高的幾何體等積進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

例4：正方體AC1中，E、F是BB1，CD中點(diǎn)，設(shè)AA1=2，求三棱錐體積VF-A1ED1。

四、割補(bǔ)意識(shí)

“割與補(bǔ)”這種重要的數(shù)學(xué)思想方法，是把不便于計(jì)算的幾何體通過(guò)割或補(bǔ)的技巧轉(zhuǎn)化為規(guī)則的，便于研究或計(jì)算的幾何體。

五、垂線意識(shí)

垂直關(guān)系又是各種位置關(guān)系的核心，垂直關(guān)系與角和距離的求解以及面積、體積的計(jì)算等有著非常密切的聯(lián)系。許多立幾問(wèn)題的“題眼”往往都在于垂直關(guān)系。找到或作出平面的垂線，解題思路就變得清晰。因此，在教學(xué)中要處處培養(yǎng)學(xué)生的垂線意識(shí)。

分析（2）：AB⊥BD且平面ABD⊥平面BCD∴AB⊥平面BCD

過(guò)B作BH⊥EC于H，連結(jié)AB，則BH是AH在面BCD上射影，∠AHB是二面角A—CE—B的平面角。

注：（2）中關(guān)鍵尋找到AB是面BCD的垂線，作出CE的垂線BH。

在新課程的知識(shí)體系中，立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它對(duì)學(xué)生空間概念的建立、空間思維能力的形成和想象力的發(fā)展起著重要作用。因此，在立體幾何教學(xué)中要重視培養(yǎng)學(xué)生的幾種意識(shí)，有利于學(xué)生掌握學(xué)習(xí)技巧和規(guī)律。

（作者單位：浙江省松陽(yáng)縣第一中學(xué)）