【摘 要】站在系統(tǒng)的高度進行數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅能使學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)。 還能使學(xué)生有計劃和有謀略地思考和解決問題。站在系統(tǒng)的高度進行數(shù)學(xué)教學(xué)的具體做法是：站在系統(tǒng)的高度進行數(shù)學(xué)新授課教學(xué)；站在系統(tǒng)的高度引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)命題聯(lián)想系統(tǒng)；站在系統(tǒng)的高度引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題模塊；站在系統(tǒng)的高度進行數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)；站在系統(tǒng)的高度進行數(shù)學(xué)變式教學(xué)。

【關(guān)鍵詞】系統(tǒng)高度；數(shù)學(xué)教學(xué)；認知結(jié)構(gòu)

站在系統(tǒng)的高度進行數(shù)學(xué)教學(xué)，是指在數(shù)學(xué)教學(xué)中，著眼于數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系與規(guī)律，著眼于數(shù)學(xué)思想方法的滲透，讓知識、思想方法總是以系統(tǒng)中的一個環(huán)節(jié)的面貌出現(xiàn)在學(xué)生的面前。 如果教師總是站在系統(tǒng)的高度進行數(shù)學(xué)教學(xué)，那么學(xué)生也總是站在系統(tǒng)的高度去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，掌握數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系與規(guī)律。這不僅擴大了意元，增加了記憶的強度，而且還增加了“數(shù)學(xué)知識組塊”，使學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)。那么，學(xué)生在問題解決時，他就會在長時記憶中便于激活和提取，就會有計劃和有謀略地思維和解決問題。下面筆者結(jié)合自己的教學(xué)實踐，談點粗淺的體會。

一、站在系統(tǒng)的高度進行數(shù)學(xué)新授課教學(xué)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是特別講究系統(tǒng)性的學(xué)習(xí)，只有在系統(tǒng)上把握各個局部，才能獲得對數(shù)學(xué)知識的真正理解。教師在平時的新授課教學(xué)中，不應(yīng)以孤立的、割裂的觀點去教新知識。而應(yīng)對所教的新知識能夠統(tǒng)觀全局，對每項知識本身以及與其它知識的內(nèi)在關(guān)系應(yīng)有清楚的認識，對蘊含在知識背后中的數(shù)學(xué)思想方法有透徹的理解，這樣才能在數(shù)學(xué)教學(xué)中自覺地站在系統(tǒng)的高度去傳輸知識。

例如，一元一次方程解法的內(nèi)容，教科書安排的一節(jié)課往往只講一個知識點或技能，學(xué)生需經(jīng)過較長時間的學(xué)習(xí)之后才能回過頭來進行小結(jié)，這樣不利于培養(yǎng)學(xué)生把握全局，吃透基本原理的能力，以致學(xué)生只關(guān)心學(xué)會了方程解法的五步驟，而不注意學(xué)會了怎樣思考及解題策略。在一元一次方程的教學(xué)中，有些教師進行千篇一律的五步驟解法，教得太“死”，學(xué)生學(xué)得不“活”。限制了學(xué)生創(chuàng)新能力的提高。筆者認為，對于學(xué)生，不應(yīng)滿足表面文字的學(xué)會，還要深入理解概念、原理、方法等的精神實質(zhì)。事實上，解一元一次方程五個步驟的實質(zhì)是：在保持方程同解的條件下，通過方程變形把只含未知數(shù)的項，只含已知數(shù)的項分別集中到方程的兩邊，并把未知數(shù)的系數(shù)變?yōu)?。有了這點認識，在求解一元一次方程時就不僅能掌握住“程序”，而且能夠靈活變通。因此，在教學(xué)中，筆者先通過對學(xué)生起點能力的分析，學(xué)生已經(jīng)知道了ax=b是最簡方程，根據(jù)方程的同解原理即得x=b/a，接著讓學(xué)生觀察指出下列方程的解各是什么？

對于方程（1）和（2）學(xué)生能用觀察法把它們化成最簡方程ax=b的形式并能找出它們的解，但對（3）和（4）用觀察法求解就有困難了，怎么辦呢？一個最好的辦法就是引發(fā)學(xué)生思考。即讓學(xué)生將（3）和（4）與（1）和（2）比較異同，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)其差異是（3）式多了括號，（4）式多了分母，由此去分母、去括號的想法自然產(chǎn)生，可謂水到渠成。緊接著老師乘勝追擊，進一步告訴學(xué)生解含字母系數(shù)方程是完全相同的。通過教學(xué)，學(xué)生學(xué)到的不是一個類型的習(xí)題怎么做，而是學(xué)會了解題的基本原理和方法，即在化歸思想的指導(dǎo)下，運用去分母、去括號等手段將方程轉(zhuǎn)換為最簡方程ax=b。這樣學(xué)生碰到解一元一次方程，就不會生搬硬套地按“五步驟”去解，而會靈活、簡潔地解一元一次方程，同時也豐富了元認知知識。從這個案例我們也看到，站在系統(tǒng)的高度進行數(shù)學(xué)新授課教學(xué)，既節(jié)約了時間，又提高了教學(xué)效率，從而提高了數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。

二、站在系統(tǒng)的高度引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)命題聯(lián)想系統(tǒng)

數(shù)學(xué)解題往往是不斷地轉(zhuǎn)換，由命題A聯(lián)想到命題B，由命題B再聯(lián)想到命題C，通過聯(lián)想，把兩個或多個命題按照一定的需要聯(lián)系在一起，深深地印刻在頭腦中，就形成了一個認知結(jié)構(gòu)——命題聯(lián)想系統(tǒng)。如在平面幾何證題中，要證明線段相等，我們往往讓學(xué)生先思考證明線段相等的途徑，即可利用全等三角形；利用等角對等邊；利用三線合一：利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；利用平行四邊形的性質(zhì)等等，這實質(zhì)上是在引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)命題聯(lián)想系統(tǒng)。命題聯(lián)想系統(tǒng)具有思維的廣闊性和開放性，將使我們的解題更靈活，特別對綜合題、難度較大的題、開放題作用更大。教師在平時的教學(xué)中要特別重視。例如下面例題的教學(xué)，我是這樣引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想的。

在解題的時候，有的人常常在某個環(huán)節(jié)上卡住了，但別人一點，馬上就又做得下去，這是一種想不到的思維障礙，但有人卻能夠突破這層障礙，想到解決問題的關(guān)鍵，實現(xiàn)起點與目標(biāo)之間的連接，這常常是命題聯(lián)想系統(tǒng)在起作用。所以在解題教學(xué)中，教師要重視引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)命題聯(lián)想系統(tǒng)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決的能力。

三、站在系統(tǒng)的高度引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題模塊

在學(xué)生頭腦里對某類數(shù)學(xué)問題的解決方法的結(jié)構(gòu)，就是解題模塊。是數(shù)學(xué)特有的認知結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。解題模塊不但具有操作性，還體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，反映了背后的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生享受到數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美，再經(jīng)過適當(dāng)?shù)木毩?xí)，它在學(xué)生的工作記憶中就會以一個自動化的圖式來處理，也就是說學(xué)生獲得了自動化的圖式。從而促進了數(shù)學(xué)技能的自動化和解題能力的遷移。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以讓學(xué)生自己從具體問題的解答中總結(jié)出解題模塊，例如，筆者在教學(xué)“解直角三角形”這節(jié)習(xí)題課時，讓學(xué)生自己總結(jié)解題模塊，即

第一步：尋找或構(gòu)造直角三角形。

第二步：觀察該直角三角形里，有沒有兩個獨立的條件。

（1）如果有，利用勾股定理和銳角三角比直接解——直接法，其中含有基本量思想。

（2）如果沒有，設(shè)一個元素為x，此時必定還有一個條件沒有用到，利用它列方程──間接法，其中含有方程思想。

其框圖形式如下：

專家頭腦里的知識是以組塊的形式出現(xiàn)的。學(xué)生頭腦里的圖式——解題模塊能夠很快地對習(xí)題作出反映?？偨Y(jié)解題模塊的過程，有比較、有分類、有抽象、有尋找聯(lián)系等等，是系統(tǒng)組織的過程，思維要求很高，這本身是一種創(chuàng)造性思維。所以站在系統(tǒng)的高度引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題模塊，對提高學(xué)生的創(chuàng)造能力極為有益。

四、站在系統(tǒng)的高度進行數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)

布魯納指出：獲得的知識，如果沒有完備的結(jié)構(gòu)把它聯(lián)在一起，那是一種多半會被遺忘的知識。教學(xué)是循序漸進的過程，學(xué)生獲得的知識是一點一滴積累起來的，經(jīng)過一段學(xué)習(xí)時間后，教師要善于教給學(xué)生學(xué)會加工整理知識的方法，把一些相近、易混淆的概念串成鎖鏈，編成網(wǎng)絡(luò)，配以圖示，縱橫聯(lián)系，使學(xué)生獲得的是一個有序的數(shù)學(xué)概念知識系統(tǒng)，從整體中看部分，從部分中體現(xiàn)整體，這樣得到的知識才牢固，易于遷移。

例如：在復(fù)習(xí)“平行線與相交線”時，我讓學(xué)生自己編織如下的知識網(wǎng)絡(luò)圖：

復(fù)習(xí)課教學(xué)中讓學(xué)生自己編織知識網(wǎng)絡(luò)圖，不但幫助學(xué)生構(gòu)建了完整有效的知識網(wǎng)絡(luò)，提升了邏輯思維能力，而且提高了數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)效率。

五、站在系統(tǒng)的高度進行數(shù)學(xué)變式教學(xué)的教學(xué)案例

在變式教學(xué)中，組織變式的題目要具有內(nèi)在的聯(lián)系性、系統(tǒng)性，以便于學(xué)生通過對各個題目的分析，概括出各種共有的、本質(zhì)的東西，以達到一題向另一題的遷移.在這個環(huán)節(jié)中，主要是數(shù)學(xué)問題變式設(shè)計，教師要根據(jù)學(xué)習(xí)目標(biāo)和學(xué)生交流中所反饋的信息，站在系統(tǒng)的高度，精心選編題目，最初的變式題設(shè)計應(yīng)與例、習(xí)題較為相似，最后過渡到學(xué)生感到陌生的新穎題目上。

變式題組一是原題目的重復(fù)，是再認（重復(fù)性）題目，認知的功能是“鞏固”，學(xué)生經(jīng)過表面相似問題的解決，可能會形成一種心理定勢，建立分解因式方法的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

變式題組二是發(fā)展性題目，認知的功能是扮演“發(fā)展”角色。它逐步增加認知負荷，驅(qū)動高層的數(shù)學(xué)思維，增加深層策略，把原來的智慧技能轉(zhuǎn)化為策略性知識。

在這個例子中，通過對原問題進行多角度、多方面的變式，使知識以“系統(tǒng)中的知識”的面貌出現(xiàn)在學(xué)生的面前，使學(xué)生養(yǎng)成從系統(tǒng)的高度去把握知識和進行思考的習(xí)慣.同時還使學(xué)生體驗到新知識是如何從已知知識逐漸演變或發(fā)展而來，從而理解知識的來龍去脈，形成良好的數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)，進而促進遷移。

六、結(jié)束語

站在系統(tǒng)的高度進行數(shù)學(xué)教學(xué)，增加了學(xué)生的“數(shù)學(xué)知識組塊”， 正是由于這些組塊中知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，使得學(xué)生在知識的研究系統(tǒng)建構(gòu)過程中積累起來的經(jīng)驗，可以遷移到其它知識或?qū)ｎ}的研究、學(xué)習(xí)中去，這樣多次的學(xué)習(xí)經(jīng)驗將促進學(xué)生學(xué)習(xí)能力和研究能力的提升。

參考文獻：

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