摘 要： 三角函數(shù)最值問題是函數(shù)最值問題的一個(gè)重要組成部分。求解時(shí)不僅用到三角函數(shù)知識(shí)，還要用到函數(shù)以及一些幾何知識(shí)，因而這類問題在解題方法上具有很強(qiáng)的綜合性和靈活性，能夠訓(xùn)練學(xué)生的思維能力和解題能力，尤其是發(fā)散思維的培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞： 最值；綜合性；靈活性；發(fā)散思維

中圖分類號(hào)： G427 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1992-7711（2013）22-091-1

函數(shù)最值定義：函數(shù)最值：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)锳.若存在x0∈A，使得對(duì)于任意x∈A，有f（x0）≥f（x）恒成立，則稱f（x0）為函數(shù)f（x）的最大值，記為f（x）max=f（x0）；若存在x0∈A，使得對(duì)于任意x∈A，有f（x0）≤f（x）恒成立，則稱f（x0）為函數(shù)f（x）的最小值，記為f（x）min=f（x0）.

分式三角函數(shù)最值求解方法很多，現(xiàn)主要?dú)w納為以下幾點(diǎn)：1.拆項(xiàng)觀察；2.反解法；3.數(shù)形結(jié)合法；4.應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性求解法.如何求函數(shù)y= sinx-2 2sinx+3 的最值.

一、拆項(xiàng)觀察法

分析 可將原式化為整式和分式兩部分，其中分式部分：分子是常數(shù)、分母是關(guān)于變量sinx的多項(xiàng)式.

解 在原函數(shù)僅含有變量sinx，于是原函數(shù)可進(jìn)行如下整理：

y= sinx-2 2sinx+3 = 1 2 （2sinx+3）- 7 2 2sinx+3 = 1 2 - 7 4sinx+6 .

又由-1≤sinx≤1知2≤4sinx+6≤10，

于是有- 7 2 ≤- 7 4sinx+6 ≤- 7 10 ，

所以 -3≤y≤- 1 5 .

因此 ymin=-3，ymax=- 1 5 .

二、反解法（三角函數(shù)有界性）

對(duì)于求形如y= ct+d at+b （其中t為三角函數(shù)）分式最值問題，可用反解法，即把原分式y(tǒng)= ct+d at+b 整理成t=- by-d ay-c ，然后由t的有界性得出y的取值范圍.

例2 求y= sinx-2 2sinx+3 的最值.

解 用反解法，由y= sinx-2 2sinx+3 得y·（2sinx+3）=sinx-2，

可整理為 sinx= -3y-2 2y-1 ，

由|sinx|≤1知 -3y-2 2y-1 ≤1，

易解得 -3≤y≤- 1 5 .所以 ymin=-3，ymax=- 1 5 .

三、數(shù)形結(jié)合法（斜率與兩點(diǎn)之間的距離有兩種情形）

數(shù)形結(jié)合法即將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來處理.根據(jù)所給表達(dá)式的特點(diǎn)，在坐標(biāo)平面上考慮各種曲線間的關(guān)系，以獲得該三角函數(shù)問題的最值.

例3 y= sinx-3 cosx-2 的最值.

解 設(shè)P（cosx，sinx），Q（2，3）即y是直線PQ的斜率的取值范圍點(diǎn)P的軌跡是圓a2+b2=1，即求圓上點(diǎn)與Q點(diǎn)連線斜率最值.由圖知當(dāng)PQ與圓相切時(shí)，斜率取得最值.

設(shè)PQ的方程為y-3=k（x-2），即kx-y+3-2k=0.

由相切條件得原點(diǎn)到直線的距離等于1得

|3-2k| 1+k2 =1，即k= 6±2 3 3 .

因此

ymin= 6-2 3 3 ，ymax= 6+2 3 3 .

注 此題中點(diǎn)P的軌跡，若是直線又如何呢？例8將為你介紹.

四、應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性求解法

例4 求f（x）= x+sinx 2+cosx （0≤x≤ π 2 ）的最值.

分析 可先證明f（x）在[0， π 2 ]上是單調(diào)增函數(shù).

解 設(shè)x1，x2∈[0， π 2 ]，且x1

f（x1）-f（x2）= x1+sinx1 2+cosx1 - x2+sinx2 2+cosx2 =

2（x1-x2）+2（sinx1-sinx2）+sin（x1-x2）+x1cosx2-x2cosx1 （2+cosx1）（2+cosx2）

< 2（x1-x2）+2（sinx1-sinx2）+sin（x1-x2）+（x1-x2）cosx1 （2+cosx1）（2+cosx2） <0

所以

f（x1）

因此f（x）min=f（0）=0，f（x）max=f（ π 2 ）= π+2 4 .

注 此種解法僅實(shí)用于函數(shù)在給定區(qū)間是單調(diào)函數(shù).

以上探討了多種求分式三角函數(shù)最值的方法，由于三角函數(shù)最值問題題目類型的多樣性，在求此類問題時(shí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)其中許多題型的解法并不唯一，一題可能有多種方法求解.諸多方法也并非是獨(dú)立的，解一道題目可能會(huì)應(yīng)用多種方法，才能最終解出最值.并且在求解的過程中，我們要學(xué)會(huì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化的思想.也許所給題型不是以上列舉的類型，但是我們需要判斷是否能夠轉(zhuǎn)化為已知類型的問題來求解，這就需要我們有一定的轉(zhuǎn)化變換技巧和思想.因此，在解此類問題時(shí)不僅要靈活運(yùn)用三角變換的方法和技巧，還要充分注意代數(shù)知識(shí)和幾何知識(shí)的運(yùn)用，以提高解決此類問題的能力.

[參考文獻(xiàn)]

[1] 李衛(wèi)華.三角函數(shù)最值問題的十種求解方法[J].和田師范?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2006（05）.

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