一、問(wèn)題的緣起與“變異理論”視角

“商不變規(guī)律”這一內(nèi)容是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)之一。為了提升這一內(nèi)容的教學(xué)效果，可以“變異理論”為指導(dǎo)思想，明晰教學(xué)內(nèi)容的關(guān)鍵屬性，重視學(xué)生的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)相應(yīng)的教學(xué)環(huán)節(jié)，并根據(jù)具體情景的“變”與“不變”，把握變異維度，以引導(dǎo)學(xué)生審辨教學(xué)內(nèi)容的關(guān)鍵屬性。

二、行動(dòng)研究方案與教學(xué)設(shè)計(jì)

本研究采用合作的行動(dòng)研究方法，由小學(xué)數(shù)學(xué)教師和研究者組成合作團(tuán)隊(duì)，在確定研究主題、設(shè)計(jì)教學(xué)、實(shí)施教學(xué)和學(xué)生測(cè)試等過(guò)程中相互協(xié)作、共同探討。

1.實(shí)驗(yàn)班的教學(xué)過(guò)程

實(shí)驗(yàn)班教師以“變異理論”為指導(dǎo)設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，具體有三步。

（1）內(nèi)容分析

“商不變規(guī)律”這一內(nèi)容包括兩個(gè)層面的教學(xué)。一是規(guī)則學(xué)習(xí)?！吧滩蛔円?guī)律”，即“被除數(shù)和除數(shù)同乘或除相同的數(shù)（0除外），商不變”。該規(guī)則揭示了除法運(yùn)算中，商、被除數(shù)和除數(shù)之間大小變化關(guān)系的特殊規(guī)律。二是技能學(xué)習(xí)?！吧滩蛔円?guī)律”簡(jiǎn)化除法運(yùn)算有兩個(gè)方法：一是縮倍法（被除數(shù)和除數(shù)的末尾都有零時(shí)，當(dāng)它們同除以10或10的整倍數(shù)，可簡(jiǎn)化為劃掉被除數(shù)和除數(shù)末尾相同個(gè)數(shù)的零），二是擴(kuò)倍法（除數(shù)為5、25或125時(shí)，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘以2、4或8，以使除數(shù)湊成整10、100或1 000）。

（2）學(xué)情分析

一是大部分學(xué)生對(duì)除法運(yùn)算法則已靈活掌握，并能由商的限定條件推斷被除數(shù)和除數(shù)。二是解釋算式之間的規(guī)律時(shí)，一部分學(xué)生回答錯(cuò)誤或未回答，另一部分學(xué)生能說(shuō)出局部規(guī)律。三是在觀察規(guī)律時(shí)，學(xué)生寫(xiě)的算式多是循著逐漸擴(kuò)大的順序，較少考慮到逐漸縮小的情況。

（3）教學(xué)過(guò)程

其一，認(rèn)識(shí)“商不變規(guī)律”。

一是導(dǎo)入“商不變算式”。

猴王準(zhǔn)備把6個(gè)桃子平均分給2只小猴，小猴嫌太少；猴王又準(zhǔn)備把12個(gè)桃平均分給4只小猴，小猴還嫌太少；猴王準(zhǔn)備把60個(gè)桃子平均分給20只小猴，小猴覺(jué)得占了大便宜，開(kāi)心地笑了，猴王也笑了。請(qǐng)問(wèn)，猴王為什么笑？

學(xué)生：猴王很聰明。

教師：你怎么知道？

學(xué)生：算一下就知道。6除以2 等于3，12除以4等于3，60除以20還等于3。

（教師板書(shū)：6÷2=3 12÷4 =3 60÷20=3）

教師：觀察這幾個(gè)算式，它們有什么共同之處？

學(xué)生：它們的商一樣。

（教師板書(shū)：商不變）

二是歸納“商不變規(guī)律”。

教師：我們?cè)囍治?，在這些算式中被除數(shù)和除數(shù)怎樣變化，商才不變呢？

（學(xué)生四人一組展開(kāi)討論，之后全班交流與總結(jié)。教師提示先分析前兩個(gè)算式。）

學(xué)生：被除數(shù)比前一個(gè)算式擴(kuò)大2倍，除數(shù)也比前一個(gè)算式擴(kuò)大2倍，商不變。

教師：擴(kuò)大2倍，采用運(yùn)算的形式如何表示？

學(xué)生：乘以2。

教師：就是說(shuō)，被除數(shù)乘以2，除數(shù)也乘以2，商不變。那么，我們可以把乘除的情況綜合起來(lái)簡(jiǎn)潔表述嗎？

學(xué)生：被除數(shù)和除數(shù)乘以（或除以）2、5或10，商不變。（此時(shí)學(xué)生未提及“同時(shí)”）

教師：乘以或除以其他數(shù)也可以嗎？

學(xué)生：換成其他數(shù)，商也不變。（此時(shí)學(xué)生未意識(shí)到零的特殊性）

教師：我們能不能把它們?cè)贇w納為更簡(jiǎn)潔的一句話(huà)呢？

學(xué)生：被除數(shù)和除數(shù)乘以（或除以）相同的數(shù)，商不變。

這樣，學(xué)生用“一個(gè)數(shù)”“共同的數(shù)”或“相同的數(shù)”來(lái)替代那些具體數(shù)值，歸納出“商不變規(guī)律”的主要內(nèi)容，但沒(méi)有審辨出“同時(shí)”和“0除外”這兩個(gè)要素。

三是完善“商不變規(guī)律”。

教師通過(guò)正反例對(duì)比的變異圖式，既鞏固已歸納的要點(diǎn)，又引導(dǎo)學(xué)生看到前面的歸納還不完善，即需要補(bǔ)充兩點(diǎn)（“同時(shí)”和“0除外），并強(qiáng)調(diào)這兩個(gè)關(guān)鍵屬性。

（12×3）÷（3×3）正例

（12×2）÷（3×4）反例

（12+9）÷（3+9）反例

（12÷6）÷（3×6）反例

（12×0）÷（3×0）反例

其二，運(yùn)用“商不變規(guī)律”簡(jiǎn)化除法運(yùn)算。

在復(fù)習(xí)“商不變規(guī)律”這一內(nèi)容后，教師呈現(xiàn)兩個(gè)新的教學(xué)內(nèi)容：一是縮倍法簡(jiǎn)算，二是擴(kuò)倍法簡(jiǎn)算。教學(xué)重點(diǎn)在于引導(dǎo)學(xué)生審辨這兩種方法的適用條件和操作方法。

一是縮倍法。

教師：這里有兩道題，你可否運(yùn)用“商不變規(guī)律”，口算出結(jié)果？

（教師板書(shū)：2400÷1200= 24000÷12000= ）

（有幾個(gè)學(xué)生迅速說(shuō)出答案）

教師：他們是怎么算的？為什么這么快？請(qǐng)大家分小組討論一下這兩題的簡(jiǎn)算方法。

（教師巡視，并對(duì)有困難的學(xué)生給予指導(dǎo)，然后全班交流。）

學(xué)生：做第一道題，我們的方法是，把被除數(shù)和除數(shù)都除以100，結(jié)果等于2。做第二道題，我們的方法是，把被除數(shù)和除數(shù)都劃掉1000個(gè)0，商不變。

教師：這兩題有什么共同點(diǎn)？什么情況下可以用去零法或縮倍法簡(jiǎn)化運(yùn)算？

學(xué)生：被除數(shù)和除數(shù)都有0。

教師：0在什么位置呢？

學(xué)生：在數(shù)的末尾。

教師：很好，請(qǐng)大家完成這組練習(xí)。

（教師板書(shū)：8400÷400= 36000÷1200= 2000÷500= 72000÷600= 8080÷80= ）

在這組練習(xí)題的第2、3、4題中，被除數(shù)和除數(shù)末尾零的個(gè)數(shù)不同。起初，不少學(xué)生未能審辨這一差別，只是一味地將末尾所有零劃去。后來(lái)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題（劃去零的個(gè)數(shù)不同違背了“商不變規(guī)律”），進(jìn)而意識(shí)到：必須分辨末尾零的個(gè)數(shù)，以確保被除數(shù)和除數(shù)劃去的末尾零的個(gè)數(shù)相同。

二是擴(kuò)倍法。

由于學(xué)生自己探究擴(kuò)倍法簡(jiǎn)算的難度較大，所以采用課本上的例子作為導(dǎo)入示范。

教師：請(qǐng)大家看課本第76頁(yè)的“觀察與思考”，注意“400÷25”的運(yùn)算過(guò)程，從中你發(fā)現(xiàn)了什么？

學(xué)生：運(yùn)用了“商不變規(guī)律”，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘以4，商不變。

教師：為什么要乘以4？

學(xué)生：使除數(shù)變成100，再算除法就簡(jiǎn)單了。

教師：你能用這樣的方法簡(jiǎn)便計(jì)算下面各題嗎？

（教師板書(shū)：300÷25= 340÷5= 4000÷125= ）

在這組練習(xí)題中，第1題可采用“乘以4”的方法簡(jiǎn)算；第2題的除數(shù)是5，可把被除數(shù)和除數(shù)都乘以2，這樣，除數(shù)變?yōu)?0，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算；第3題的除數(shù)是125，可把被除數(shù)和除數(shù)都乘以8，這樣，除數(shù)變?yōu)? 000，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算。這組練習(xí)題的關(guān)鍵在于除數(shù)。當(dāng)除數(shù)是5、25和125時(shí)，為了簡(jiǎn)算，應(yīng)把除數(shù)分別乘以2、4和8，以使除數(shù)變?yōu)?0、100和1 000。當(dāng)然，被除數(shù)也要乘以相同的數(shù)。

2.對(duì)照班的教學(xué)過(guò)程

對(duì)照班的教學(xué)過(guò)程也緊緊圍繞“商不變規(guī)律”這一內(nèi)容展開(kāi)，與實(shí)驗(yàn)班的教學(xué)過(guò)程相比，它有四個(gè)不同之處：一是強(qiáng)調(diào)了“商不變規(guī)律”的關(guān)鍵要素，但未通過(guò)“變”與“不變”的教學(xué)情景逐一突出其屬性；二是設(shè)計(jì)的教學(xué)情景與“商不變規(guī)律”這一內(nèi)容的聯(lián)系不夠緊密；三是強(qiáng)調(diào)“相同的數(shù)”可以是任何數(shù)（包括除不盡的情況），引發(fā)學(xué)生的不解；四是技能教學(xué)只列舉了幾個(gè)例子，變異圖式不夠完整。

三、研究結(jié)果分析

教學(xué)后的測(cè)驗(yàn)表明，實(shí)驗(yàn)班與對(duì)比班的學(xué)生對(duì)“商不變規(guī)律”這一內(nèi)容均已基本理解，但實(shí)驗(yàn)班學(xué)生對(duì)這一規(guī)律的理解更全面、清晰，并能熟練掌握這一規(guī)律簡(jiǎn)算除法。于是，我們總結(jié)出兩個(gè)體會(huì)。一是關(guān)于“商不變規(guī)律”這一內(nèi)容，應(yīng)將整體表述與細(xì)節(jié)分析相結(jié)合，以使學(xué)生對(duì)規(guī)律的細(xì)節(jié)有深刻的理解和有力的把握。二是關(guān)于知識(shí)技能的運(yùn)用，需要專(zhuān)門(mén)而有效的教學(xué)設(shè)計(jì)。在“變異理論”指導(dǎo)下，知識(shí)技能的教學(xué)強(qiáng)調(diào)了情景的識(shí)別和方法的判斷，這對(duì)知識(shí)技能的習(xí)得和今后的遷移變通具有積極的促進(jìn)作用。

（作者單位：1.北京市海淀區(qū)八里莊小學(xué) 2.北京師范大學(xué)教育學(xué)部）

（責(zé)任編輯：梁金）