吳明忠
(西華師范大學 數學與信息學院,四川 南充637009)
左對稱代數是近年來從微分幾何——李群的研究中提出的代數體系,而且當其基域變?yōu)槿我庥驎r,它與李群也有密切的聯系[1].
令A是域K上的向量空間,如果在A上有一個雙線性的乘法
滿足條件
那么A就稱為一個左對稱代數.
如果在左對稱代數A上定義一個括積如下:
那么A構成一個李代數.稱這個李代數與左對稱代數A相鄰,仍然用A來表示這個李代數,同時稱這個李代數具有該左對稱代數結構.
一個自然的問題是,哪些李代數具有左對稱代數結構?我們知道,如果李代數A具有左對稱代數結構,那么有[A,A]≠A.特別的,半單李代數不存在左對稱代數結構[2].
從上世紀60年代M.Vergne引入了filiform 李代數以來[3],filiform 李代數,特別是Ln、Qn以及他們的形變一直是李理論研究的熱點之一,其結果對rigid李代數的分類起到了重要作用[4].而Cn+1filiform李代數是一類重要的秩為1 的filiform 李代數.
本文通過求得Cn+1filiform 李代數的極大環(huán)面證明了Cn+1filiform 李代數具有左對稱代數結構.
定理1[5]如果N是一個冪零李代數,那么下面的說法等價:
(1){x1,x2,…,xn}是一個極小生成元系(msg);
(2){x1+C1N,…,x2+C1N,xn+C1N}是向量空間的N/C1N一組基.
在上述情況,我們稱N是一個n型冪零李代數.
定義1[6]李代數N的一個環(huán)面是由可對角化線性變換組成的DerN的一個可交換的子代數.一個環(huán)面被稱為是極大的,如果它不真正包含在任意一個環(huán)面子代數中.
引理1[7]如果H1和H2都是冪零李代數N的極大環(huán)面,那么存在N的自同構θ∈AutN,使得H2=θH1θ-1.
由于一個冪零李代數N的所有極大環(huán)面都是相互共軛的,那么極大環(huán)面的維數就是冪零李代數N的一個不變量,我們稱為N的秩,記為rank(N).
引理2[8]令N是一個型冪零李代數,那么rank(N)≤n.當rank(N)=n時,稱N是極大秩冪零李代數.
定義2[3]令N是一個n維李代數,N被稱為filiform李代數,如果滿足條件dimCiN=n-i-1,1≤i≤n-1.
定理2[9]任意一個秩為1的(n+1)維filiform 李代數同構于以下的李代數之一,
在本節(jié)中,我們求得了Cn+1filiform 李代數的一個半單導子,從而求得他的一個極大環(huán)面,證明Cn+1filiform 李代數具有左對稱代數結構.下面的引理是顯然的.
引理3 令σ是李代數N的一個線性變換,那么σ∈DerN的充分必要條件是在N的一組基{X1,X2,…,Xn}上σ滿足條件:對于任意的1≤i,j≤n,都有:
運用這個結論可以得到:
引理4Cn+1有一個由φ∈Der(Cn+1)生成的極大環(huán)面,其中φ是:
證明 假設D是Cn+1的一個可對角化的線性變換
由引理3容易知道D是Cn+1的一個導子當且僅當下面的式子成立:
解這個線性方程組我們得到:
所以有:
特別的,Cn+1的一個線性變換φ
是Cn+1的一個半單導子,因此φ可以生成Cn+1的一個環(huán)面子代數.但是由定理2知道,Cn+1是一個秩為1的filiform 李代數,所以φ生成的這個環(huán)面子代數還是一個極大環(huán)面子代數,所以φ生成Cn+1的一個極大環(huán)面.
定理3Cn+1filiform 李代數具有左對稱代數結構.
證明 容易知道一個重要的事實,如果一個李代數具有非奇異的導子,那么這個李代數就具有左對稱代數結構.
實際上,如果D是一個非奇異導子,那么令xy=D-1[x,Dy],則這個乘積使得該李代數構成左對稱代數,因為
而由引理4得到了Cn+1的一個導子:
這個導子雖然是奇異的,但從上面的證明可以看出,一個李代數的導子如果在這個李代數的導代數上是非奇異的,那么我們上面的證明過程也是成立的.明顯的,李代數的導代數是任意一個導子的不變子空間,而導子:
在[Cn+1,Cn+1]上是非奇異的.所以Cn+1filiform 李代數具有左對稱代數結構.
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