吳明忠

（西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充637009）

0 引 言

左對稱代數(shù)是近年來從微分幾何——李群的研究中提出的代數(shù)體系，而且當(dāng)其基域變?yōu)槿我庥驎r，它與李群也有密切的聯(lián)系［1］.

令A(yù)是域K上的向量空間，如果在A上有一個雙線性的乘法

滿足條件

那么A就稱為一個左對稱代數(shù).

如果在左對稱代數(shù)A上定義一個括積如下：

那么A構(gòu)成一個李代數(shù).稱這個李代數(shù)與左對稱代數(shù)A相鄰，仍然用A來表示這個李代數(shù)，同時稱這個李代數(shù)具有該左對稱代數(shù)結(jié)構(gòu).

一個自然的問題是，哪些李代數(shù)具有左對稱代數(shù)結(jié)構(gòu)？我們知道，如果李代數(shù)A具有左對稱代數(shù)結(jié)構(gòu)，那么有［A，A］≠A.特別的，半單李代數(shù)不存在左對稱代數(shù)結(jié)構(gòu)［2］.

從上世紀(jì)60年代M.Vergne引入了filiform 李代數(shù)以來［3］，filiform 李代數(shù)，特別是Ln、Qn以及他們的形變一直是李理論研究的熱點之一，其結(jié)果對rigid李代數(shù)的分類起到了重要作用［4］.而Cn＋1filiform李代數(shù)是一類重要的秩為1 的filiform 李代數(shù).

本文通過求得Cn＋1filiform 李代數(shù)的極大環(huán)面證明了Cn＋1filiform 李代數(shù)具有左對稱代數(shù)結(jié)構(gòu).

1 預(yù)備知識

定理1［5］如果N是一個冪零李代數(shù)，那么下面的說法等價：

（1）｛x1，x2，…，xn｝是一個極小生成元系（msg）；

（2）｛x1＋C1N，…，x2＋C1N，xn＋C1N｝是向量空間的N／C1N一組基.

在上述情況，我們稱N是一個n型冪零李代數(shù).

定義1［6］李代數(shù)N的一個環(huán)面是由可對角化線性變換組成的DerN的一個可交換的子代數(shù).一個環(huán)面被稱為是極大的，如果它不真正包含在任意一個環(huán)面子代數(shù)中.

引理1［7］如果H1和H2都是冪零李代數(shù)N的極大環(huán)面，那么存在N的自同構(gòu)θ∈AutN，使得H2＝θH1θ－1.

由于一個冪零李代數(shù)N的所有極大環(huán)面都是相互共軛的，那么極大環(huán)面的維數(shù)就是冪零李代數(shù)N的一個不變量，我們稱為N的秩，記為rank（N）.

引理2［8］令N是一個型冪零李代數(shù)，那么rank（N）≤n.當(dāng)rank（N）＝n時，稱N是極大秩冪零李代數(shù).

定義2［3］令N是一個n維李代數(shù)，N被稱為filiform李代數(shù)，如果滿足條件dimCiN＝n－i－1，1≤i≤n－1.

定理2［9］任意一個秩為1的（n＋1）維filiform 李代數(shù)同構(gòu)于以下的李代數(shù)之一，

2 主要結(jié)果及證明

在本節(jié)中，我們求得了Cn＋1filiform 李代數(shù)的一個半單導(dǎo)子，從而求得他的一個極大環(huán)面，證明Cn＋1filiform 李代數(shù)具有左對稱代數(shù)結(jié)構(gòu).下面的引理是顯然的.

引理3 令σ是李代數(shù)N的一個線性變換，那么σ∈DerN的充分必要條件是在N的一組基｛X1，X2，…，Xn｝上σ滿足條件：對于任意的1≤i，j≤n，都有：

運用這個結(jié)論可以得到：

引理4Cn＋1有一個由φ∈Der（Cn＋1）生成的極大環(huán)面，其中φ是：

證明 假設(shè)D是Cn＋1的一個可對角化的線性變換

由引理3容易知道D是Cn＋1的一個導(dǎo)子當(dāng)且僅當(dāng)下面的式子成立：

解這個線性方程組我們得到：

所以有：

特別的，Cn＋1的一個線性變換φ

是Cn＋1的一個半單導(dǎo)子，因此φ可以生成Cn＋1的一個環(huán)面子代數(shù).但是由定理2知道，Cn＋1是一個秩為1的filiform 李代數(shù)，所以φ生成的這個環(huán)面子代數(shù)還是一個極大環(huán)面子代數(shù)，所以φ生成Cn＋1的一個極大環(huán)面.

定理3Cn＋1filiform 李代數(shù)具有左對稱代數(shù)結(jié)構(gòu).

證明 容易知道一個重要的事實，如果一個李代數(shù)具有非奇異的導(dǎo)子，那么這個李代數(shù)就具有左對稱代數(shù)結(jié)構(gòu).

實際上，如果D是一個非奇異導(dǎo)子，那么令xy＝D－1［x，Dy］，則這個乘積使得該李代數(shù)構(gòu)成左對稱代數(shù)，因為

而由引理4得到了Cn＋1的一個導(dǎo)子：

這個導(dǎo)子雖然是奇異的，但從上面的證明可以看出，一個李代數(shù)的導(dǎo)子如果在這個李代數(shù)的導(dǎo)代數(shù)上是非奇異的，那么我們上面的證明過程也是成立的.明顯的，李代數(shù)的導(dǎo)代數(shù)是任意一個導(dǎo)子的不變子空間，而導(dǎo)子：

在［Cn＋1，Cn＋1］上是非奇異的.所以Cn＋1filiform 李代數(shù)具有左對稱代數(shù)結(jié)構(gòu).

［1］Burde D.Affine structure on nilmanifolds［J］.Intelnat J Math，1996（7）：599－616.

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