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        雙外平面圖的點(diǎn)染色

        2013-11-20 02:03:46劉廣德
        棗莊學(xué)院學(xué)報(bào) 2013年5期
        關(guān)鍵詞:分點(diǎn)種顏色標(biāo)號(hào)

        劉廣德

        (棗莊學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,山東 棗莊 277160)

        0 基本定義

        定義1:如果一個(gè)圖是可嵌入平面的,且它所有頂點(diǎn)出現(xiàn)在無(wú)窮面的邊界上,稱該圖為外平面圖.無(wú)窮面稱為外面,其余面稱為內(nèi)面[1].

        定義2:所有點(diǎn)出現(xiàn)在兩個(gè)面的邊界上的平面圖,稱為雙外平面圖,我們把這兩個(gè)面稱為外面[2].

        1 主要定理

        定理1 雙外平面圖中只有一條路時(shí):當(dāng)頂點(diǎn)數(shù)為6n+k(n=1,2,...)(k=1,2,3)時(shí),χv=4,否則 χv=3[3,4].

        證明 對(duì)于一條路從右向左按照1.2.3進(jìn)行標(biāo)號(hào),如圖1所示:

        圖1 8種結(jié)構(gòu)Fig.1 The 8 kinds of structure

        繼續(xù)往下畫時(shí),第9種結(jié)構(gòu)和圖1中的第3種一樣了,從上邊的8種結(jié)構(gòu)來看第1、2、3、4、5這5種結(jié)構(gòu)都可以用3種顏色來染色,第6、7、8這3種結(jié)構(gòu)都要用4種顏色來染色,第9種和第3種,第10種和第4種,第11種和第5種,第12種和第6種…都可以用一樣的顏色來染色,第6、7、8這3種結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)數(shù)為7、8、9.

        由此可以得出當(dāng)頂點(diǎn)數(shù)為6n+k(n=1,2,...)(k=1,2,3)時(shí),χv=4,否則χv=3.證畢.

        定理2:在雙外平面圖中只有一條路,且χv=4時(shí),當(dāng)在相同面上兩端的頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)沖突時(shí),如果剖分點(diǎn)加在這個(gè)標(biāo)號(hào)相對(duì)的邊上時(shí),仍然有 χv=4,否則 χv=3[5-6].

        證明:(1)對(duì)于圖1中的第6種結(jié)構(gòu)加入1個(gè)剖分點(diǎn)有如下圖2的情況.當(dāng)我們可以重新進(jìn)行進(jìn)行標(biāo)號(hào),有的可以用3種顏色進(jìn)行染色,結(jié)果如圖3所示

        其中有2種情況加入1個(gè)剖分點(diǎn)后仍然需要4種顏色來染,這2種情況都是剖分點(diǎn)加在標(biāo)號(hào)為1的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的邊上,因?yàn)樵谙嗤嫔?的標(biāo)號(hào)沖突.

        (2)對(duì)于圖1中的第7種結(jié)構(gòu)加入1個(gè)剖分點(diǎn)有如圖4的情況.我們可以重新進(jìn)行進(jìn)行標(biāo)號(hào),有的可以用3種顏色進(jìn)行染色,結(jié)果如圖5所示:

        其中有6種情況加入1個(gè)剖分點(diǎn)后仍然需要4種顏色來染,這6種情況都是剖分點(diǎn)加在標(biāo)號(hào)為1和2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的邊上,因?yàn)樵谙嗤嫔?和2的標(biāo)號(hào)都沖突.

        (3)對(duì)于圖1中的第8種結(jié)構(gòu)加入1個(gè)剖分點(diǎn)有如圖6情況.我們可以重新進(jìn)行進(jìn)行標(biāo)號(hào),有的可以用3種顏色進(jìn)行染色,結(jié)果如圖7所示:

        其中有4種情況加入1個(gè)剖分點(diǎn)后仍然需要4種顏色來染,這4種情況都是剖分點(diǎn)加在標(biāo)號(hào)為2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的邊上,因?yàn)樵谙嗤嫔?的標(biāo)號(hào)都沖突.

        2 結(jié)論

        由上邊的3種χv=4加一個(gè)剖分點(diǎn)的結(jié)果,有以下結(jié)論:當(dāng)在相同面上兩端的頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)沖突時(shí),如果剖分點(diǎn)加在這個(gè)標(biāo)號(hào)相對(duì)的邊上時(shí),仍然有χv=4,加在其他邊上時(shí),有χv=3.另在第8種結(jié)構(gòu)時(shí),當(dāng)剖分點(diǎn)加在相同面上兩端的頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)不沖突的邊上,仍然有χv=4.證畢.

        [1]JA,默帝 USR.圖論及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,1984.

        [2]孔立.一個(gè)特殊雙外平面圖的全染色[J].洛陽(yáng)大學(xué)學(xué)報(bào).2005,20(2):7-9.

        [3]陳東靈,吳建良.外平面圖的一個(gè)結(jié)構(gòu)定理[J].山東科技大學(xué)學(xué)報(bào).1999,18(4):41-43.

        [4]張?zhí)K梅.外平面圖的 L(d,1)-標(biāo)號(hào)[J].濟(jì)南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版).2006,20(3):258-260.

        [5]孔立.雙外平面圖的全染色[J].山東輕工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào).2005,19(2):81-84.

        [6]孔立.雙外平面圖的邊面染色[J].煙臺(tái)師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版).2005,21(2):106-108.

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