柴彥龍

高中物理教學中，豎直面內的圓周運動問題較為常見。相關內容也是學生普遍感覺到難以理解、難以處理的。本文中就此問題進行了系統(tǒng)的總結，希望對廣大物理教師的教學和學生的學習有所啟發(fā)。

豎直平面內的圓周運動一般是變速圓周運動（帶電粒子在勻強磁場中運動除外），運動的速度大小和方向在不斷發(fā)生變化，運動過程復雜，合外力不僅要改變運動方向，還要改變速度大小，所以一般不研究任意位置的情況，只研究特殊的臨界位置──最高點和最低點。

一、兩類模型——輕繩模型和輕桿模型

1.輕繩模型

運動質點在一輕繩的作用下繞中心點作變速圓周運動。由于繩子只能提供拉力而不能提供支持力。

所以：

（1）質點過最高點的臨界條件：質點達最高點時繩子的拉力剛好為零，質點在最高點的向心力全部由質點的重力來提供，這時有mg=m，式中的vmin是小球通過最高點的最小速度。

（2）質點能通過最高點的條件是v≥vmin=；

在最高點可能存在兩種情況：

（1）即由重力和拉力的合力提供向心力

（2）只有重力提供向心力

在最低點只有一種情況

繩上一定有拉力

2.輕桿模型

運動質點在一輕桿的作用下，繞中心點作變速圓周運動，由于輕桿能對質點提供支持力和拉力，所以質點過最高點時受的合力可以為零，質點在最高點可以處于平衡狀態(tài)。

所以質點過最高點的最小速度為零，（臨界速度）

在最高點可能存在四種情況：

（1）當v=0時，輕桿對質點有豎直向上的支持力，其大小等于質點的重力，即N=mg；

（2）桿上彈力為零，由重力提供向心力v=

（3）當v>，質點的重力不足以提供向心力，桿對質點有指向圓心的拉力；即

（4）當0

在最低點只有一種情況

桿上一定有向上的拉力

兩類模型的最大區(qū)別在于，在圓周最高點能否提供向上的支持力。實際中可依據此判斷具體題目中物理情境下屬于哪種模型。

例1（07年全國2）如圖所示，位于豎直平面內的光滑有軌道，由一段斜的直軌道與之相切的圓形軌道連接而成，圓形軌道的半徑為R。一質量為m的小物塊從斜軌道上某處由靜止開始下滑，然后沿圓形軌道運動。要求物塊能通過圓形軌道最高點，且在該最高點與軌道間的壓力不能超過5mg（g為重力加速度）。求物塊初始位置相對于圓形軌道底部的高度h的取值范圍。

本題可歸類于輕繩模型。

例2 如圖所示光滑管形圓軌道半徑為R（管徑遠小于R）固定，小球a、b大小相同，質量相同，均為m，其直徑略小于管徑，能在管中無摩擦運動.兩球先后以相同速度v通過軌道最低點，且當小球a在最低點時，小球b在最高點，以下說法正確的是（ ）

A.速度v至少為，才能使兩球在管內做圓周運動

B.當v=時，小球b在軌道最高點對軌道無壓力

C.當小球b在最高點對軌道無壓力時，小球a比小球b所需向心力大5mg

D.只要v≥，小球a對軌道最低點壓力比小球b對軌道最高點壓力都大6mg

解：內管可以對小球提供支持力，可化為輕桿模型，在最高點時，小球速度可以為零，由機械能守恒知mg2R=mvmin得vmin=2，所

以A錯，mg2R+v02=mv2得v0=，此時=mg即重力剛好能提供

向心力，小球對軌道無壓力。最低點時的向心力為5mg，向心力相差4倍，B對，C錯，最高點F1=m-mg，最低點F2=m+mg

由機械能守恒有mv12+mg2R=mv22，所以F2-F1=6mg，D對。

本題可歸類于輕桿模型。在這兩類基本模型的基礎上，還可進行相應的提高和升華。例如

在水平向右的勻強電場中，有一質量為m、帶正電的小球，用長為l的絕緣細線懸掛于O點，當小球靜止時細線與豎直方向夾角為θ（如圖3）?，F給小球一個垂直懸線的初速度，使小球恰能在豎直平面內做圓周運動。試問：

（1）小球在做圓周運動的過程中，在哪一位置速度最小？速度最小值為多大？

（2）小球在B點的初速度為多大？

解析：小球在做圓周運動的過程中，所受的重力和電場力均為恒力，這兩個力的合力大小為F=我們不妨把重力場與電場的復合場

叫做等效重力場，F叫做等效重力，小球在復合場中的等效重力加速度為g效==，其方向斜向右下方，且與豎直方向成θ角。小球在豎

直面內做圓周運動的過程中，由于只有等效重力做功（細線的拉力不做功），所以動能與等效重力勢能可以相互轉化，且總和保持不變，與重力勢能類比可知，等效重力勢能mg效h=ΔEk，其中h為小球距等效重力勢能零勢面的高度。

（1）設小球靜止時的位置B為零勢點，根據動能與等效重力勢能的總和不變可知，小球位于與B點對應的同一直徑上的A點時等效重力勢能最大，動能最小，速度也最小.設小球在A點時速度為va，此時細線拉力為零，等效重力提供向心力，即

答案：（1）位于與B點對應的同一直徑上的A點，vB=。（2）豎直面內的圓周運動極其臨界問題的模型是高中物理中極具代表性的問題，能夠考察學生對能量、圓周運動、受力分析等知識的綜合運用能力。是高考中考察較多的問題。希望本文能夠澄清大家在教學中的疑難。