李田 張繼業(yè) 張衛(wèi)華

(西南交通大學(xué)牽引動力國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610031)

橫風(fēng)下高速列車系統(tǒng)動力學(xué)的平衡狀態(tài)法*

李田?張繼業(yè) 張衛(wèi)華

(西南交通大學(xué)牽引動力國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610031)

基于車輛－軌道耦合動力學(xué)和空氣動力學(xué)提出了一種快速計算橫風(fēng)下高速列車系統(tǒng)動力學(xué)行為的平衡狀態(tài)方法．首先，忽略軌道不平順并利用流固耦合聯(lián)合仿真方法計算橫風(fēng)下高速列車的平衡狀態(tài);然后，將平衡狀態(tài)下的氣動力加載到車輛－軌道耦合動力學(xué)模型并計算高速列車動力學(xué)響應(yīng)．利用建立的平衡狀態(tài)方法，研究了列車在速度為13．8 m/s的橫風(fēng)下以350 km/h速度運(yùn)行時的流固耦合動力學(xué)行為．比較了平衡狀態(tài)方法和聯(lián)合仿真方法兩種方法下列車姿態(tài)、安全性和舒適性指標(biāo)的差異，計算結(jié)果差別在3．26%以內(nèi)．研究結(jié)果表明:平衡狀態(tài)方法計算橫風(fēng)下高速列車流固耦合的效率更高．

車輛動力學(xué)， 橫風(fēng)， 高速列車， 流固耦合， 平衡狀態(tài)

引言

高速列車空氣動力學(xué)與車輛－軌道系統(tǒng)動力學(xué)是高速鐵路運(yùn)輸系統(tǒng)中不可分割的兩大組成部分，兩者是相互耦合、相互影響的［1－2］．在氣動力作用下列車的運(yùn)行姿態(tài)可能會發(fā)生改變，運(yùn)行姿態(tài)會影響列車附近的流場，進(jìn)而影響作用在列車上的氣動力，這種互反饋?zhàn)饔脤⑹箍諝猓熊囅到y(tǒng)處于特定的耦合振動形態(tài)之中．

強(qiáng)環(huán)境風(fēng)對列車運(yùn)行的安全有相當(dāng)重要的影響，由于強(qiáng)環(huán)境風(fēng)而導(dǎo)致列車脫軌及傾覆事故屢見不鮮［1－8］．目前，關(guān)于在環(huán)境風(fēng)下高速列車動力學(xué)響應(yīng)的計算方法主要有兩種:離線仿真方法和聯(lián)合仿真方法．離線仿真方法指的是先計算環(huán)境風(fēng)下的作用在高速列車的氣動力，然后作為恒定力加載到高速列車動力學(xué)模型計算高速列車動力學(xué)響應(yīng)．目前大多數(shù)研究［3－8］均是采用此方法．該方法忽略列車在流場作用力下運(yùn)行姿態(tài)的改變，難以反映其本質(zhì)．聯(lián)合仿真方法是指在迭代計算過程中交替計算環(huán)境風(fēng)下的高速列車空氣動力學(xué)和高速列車系統(tǒng)動力學(xué)，考慮空氣動力學(xué)與車輛－軌道耦合動力學(xué)之間的耦合效應(yīng)．Baker［9］在英國某海岸線進(jìn)行了靜止列車側(cè)風(fēng)實(shí)車試驗(yàn)，不過列車處于靜止?fàn)顟B(tài)，很難反映運(yùn)行列車在側(cè)風(fēng)環(huán)境下的氣動特性．文獻(xiàn)［1－2］通過同步控制實(shí)現(xiàn)了車輛－軌道耦合動力學(xué)與空氣動力學(xué)之間的聯(lián)合同步仿真．

離線仿真方法計算速度快，但是其忽略列車運(yùn)行姿態(tài)影響的計算結(jié)果難以反映本質(zhì);聯(lián)合仿真方法考慮了列車運(yùn)行姿態(tài)的變化，但是其計算速度較慢．本文在文獻(xiàn)［1－2］的基礎(chǔ)上，提出了一種快速計算橫風(fēng)下高速列車流固耦合動力學(xué)行為的平衡狀態(tài)方法．利用建立的流固耦合計算方法，研究了列車在速度為13．8 m/s的橫風(fēng)下以350 k m/h速度運(yùn)行時的流固耦合動力學(xué)行為．利用平衡狀態(tài)方法和聯(lián)合仿真方法數(shù)值仿真關(guān)于列車姿態(tài)、安全性和舒適性指標(biāo)的差別甚微．

1 控制方程

1．1 流體控制方程

當(dāng)高速列車在橫風(fēng)作用下高速運(yùn)行時，其周圍流場可考慮為三維粘性非定常的湍流流場．當(dāng)列車的運(yùn)行速度小于等于400 km/h時，列車附近的流場可近似處理為不可壓縮流場，湍流模型采用標(biāo)準(zhǔn)k－ε兩方程模型，其控制方程的運(yùn)輸方程［1－2］形式為:

其中:t為時間;ρ為空氣密度;u為速度矢量;φ為流場通量;S為源項(xiàng);Γ為擴(kuò)散系數(shù);V為任意一個控制體積，A為包圍該體積的封閉面面積有限體積的外表面A的運(yùn)動速度．

1．2 車輛－軌道耦合動力學(xué)方程

車輛－軌道耦合動力學(xué)［10］主要包括車輛動力學(xué)、軌道動力學(xué)和輪軌關(guān)系三個方面．車體、構(gòu)架和輪對均假設(shè)為剛體，不考慮其彈性變形;軌道系統(tǒng)為雙質(zhì)量(軌枕和道床)三層(鋼軌－軌枕－道床－路基)彈簧－阻尼振動連續(xù)分布軌道模型．列車－軌道耦合動力學(xué)方程為:

其中:M、C、K分別為列車-軌道耦合系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣;X為系統(tǒng)的廣義位移矢量;X為系統(tǒng)的廣義速度矢量;¨X為系統(tǒng)的廣義加速度矢量;F為系統(tǒng)的廣義載荷矢量，包括軌道激勵載荷;Fa為作用在質(zhì)心的氣動載荷矢量．

2 平衡狀態(tài)法求解技術(shù)

2．1 車輛－軌道耦合動力學(xué)求解技術(shù)

基于車輛－軌道耦合動力學(xué)理論，采用 FORTRAN語言編寫了車輛－軌道耦合動力學(xué)程序并驗(yàn)證了其可靠性［2］．

利用新型顯示積分方法［10］求解車輛－軌道耦合動力學(xué)方程．引入兩個積分參數(shù)φ和ψ，構(gòu)造新的顯示積分格式

其中Δt為時間積分步長;下標(biāo)n代表t=nΔt瞬時;下標(biāo)n+1代表t=(n+1)Δt瞬時．

式(2)在t=(n+1)Δt瞬時的形式為

將式(3)代入式(4)可計算得到¨Xn+1．

2．2 網(wǎng)格更新技術(shù)

網(wǎng)格更新技術(shù)采用彈簧近似方法和網(wǎng)格重劃分方法，當(dāng)彈簧近似方法失效后采用網(wǎng)格重劃分方法更新網(wǎng)格．彈簧近似方法［11］是網(wǎng)格變形方法中一個簡單高效的方法．彈簧近似方法將整個網(wǎng)格看作一個彈簧網(wǎng)格系統(tǒng)，每一條邊都認(rèn)為是一根具有一定剛度系數(shù)的彈簧．彈簧剛度系數(shù)為

其中:rij為節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)j之間的距離，ri為節(jié)點(diǎn)i的位置，‖．‖為2范數(shù)．

網(wǎng)格移動后網(wǎng)格點(diǎn)的位移通過求解下述線性系統(tǒng)確定

其中:Ni為與節(jié)點(diǎn)i相連的節(jié)點(diǎn)總數(shù)，Δrj為節(jié)點(diǎn)j的位移，求和對所有與節(jié)點(diǎn)i相連的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行，(i=1，…，n)．變形后網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)位置為:

2．3 平衡狀態(tài)法

圖1所示為高速列車流固耦合聯(lián)合仿真計算方法，在每一個耦合時間步長內(nèi)進(jìn)行迭代:首先根據(jù)列車姿態(tài)(包括橫移、沉浮、側(cè)滾、點(diǎn)頭和搖頭)更新計算網(wǎng)格，其次求解空氣動力學(xué)計算作用在車體上的氣動力(側(cè)力、升力、側(cè)滾力矩、點(diǎn)頭力矩和搖頭力矩)，然后通過接口程序求解氣動力作用下的車輛－軌道耦合動力學(xué)，最后通過同步控制判斷返回列車的姿態(tài)．

圖1 高速列車流固耦合聯(lián)合仿真計算方法Fig．1 Co－simulation method of high－speed train fluid－structure interaction

高速列車流固耦合動力學(xué)求解器包括空氣動力學(xué)求解器和集成了流固耦合接口程序的車輛－軌道耦合動力學(xué)求解器，并將車輛－軌道耦合動力學(xué)求解器嵌入空氣動力學(xué)計算程序中．這樣在計算中避免了空氣動力學(xué)求解器和車輛－軌道耦合動力學(xué)求解器之間數(shù)據(jù)的相互通信，并且避免了車輛－軌道耦合動力學(xué)程序計算的等待，有效地節(jié)省了計算資源．

聯(lián)合仿真計算方法由于在每一個耦合時間步長內(nèi)均需要進(jìn)行空氣動力學(xué)和列車－軌道耦合動力學(xué)的計算，計算量偏大．在氣動力作用下列車的運(yùn)行姿態(tài)可能會發(fā)生改變，運(yùn)行姿態(tài)會影響列車附近的流場，進(jìn)而影響作用在列車上的氣動力，這種互反饋?zhàn)饔脤⑹箍諝猓熊囅到y(tǒng)處于特定的耦合振動形態(tài)之中．當(dāng)車輛－軌道耦合動力學(xué)忽略軌道譜的影響時，橫風(fēng)作用下的高速列車氣動力和列車姿態(tài)處于一種平衡狀態(tài)．基于橫風(fēng)作用下高速列車的平衡狀態(tài)，提出了一種快速計算橫風(fēng)作用下高速列車流固耦合的方法，即平衡狀態(tài)法．

平衡狀態(tài)法的計算過程:① 忽略軌道不平順的影響，利用流固耦合聯(lián)合仿真方法計算列車氣動力和姿態(tài)，直到達(dá)到一個較穩(wěn)定的數(shù)值，即獲取平衡姿態(tài)下的穩(wěn)定氣動力;② 在考慮軌道不平順情況下，利用流固耦合聯(lián)合仿真方法計算得到的列車瞬態(tài)氣動力，加載到車輛－軌道耦合動力學(xué)模型并計算高速列車動力學(xué)響應(yīng)．

由于平衡狀態(tài)法中獲取平衡姿態(tài)下穩(wěn)定氣動力的迭代時間比文獻(xiàn)［2］中的聯(lián)合仿真計算波動氣動力的迭代時間要少，平衡狀態(tài)法的計算量相比聯(lián)合仿真方法的計算量明顯減少，計算速度更快．

3 橫風(fēng)下高速列車流固耦合動力學(xué)性能

3．1 橫風(fēng)下高速列車流固耦合計算模型

為了分析橫風(fēng)下高速列車流固耦合動力學(xué)，建立了橫風(fēng)下高速列車計算區(qū)域，如圖2所示．計算區(qū)域的長度為350 m，入口端距離車頭鼻尖處100 m，出口端距離車頭鼻尖處175 m，頂端距離地面60 m，迎風(fēng)側(cè)入口端距離軌道中心線30 m，背風(fēng)側(cè)出口端距離軌道中心線60 m，列車與軌道所處地面之間的距離為0．376 m．計算區(qū)域的前側(cè)和左側(cè)設(shè)置為速度入口邊界，后側(cè)和右側(cè)為壓力出口邊界，頂部為對稱邊界，列車表面設(shè)置為壁面，地面設(shè)置為滑移邊界．

圖2 橫風(fēng)作用下高速列車計算區(qū)域Fig．2 The computational domain of high－speed train in crosswinds

計算模型為國內(nèi)某型號高速列車三車編組模型，忽略車頂電機(jī)及受電弓等凹凸結(jié)構(gòu)．不考慮車輛間的縱向動力作用和車輛的縱向伸縮振動．軌道結(jié)構(gòu)選取彈性支承式無渣軌道［10］，軌道不平順選用國內(nèi)某線路實(shí)測不平順．列車空氣動力學(xué)和車輛－軌道耦合動力學(xué)迭代時間步長分別為2．0×10－3s和 5．0 ×10－5s．考慮平地上列車運(yùn)行速度350 km/h和橫風(fēng)速度13．8 m/s，對應(yīng)合成風(fēng)速為98．2 m/s和偏航角為8．08°．

3．2 基于平衡狀態(tài)法的氣動響應(yīng)

采用聯(lián)合仿真方法計算橫風(fēng)下高速列車流固耦合時，將橫風(fēng)下高速列車運(yùn)行計算視為瞬態(tài)情況，前5 s漸變加載瞬態(tài)氣動力并且未考慮軌道不平順的影響，第5 s后加入軌道不平順，總計算時間15 s;采用平衡狀態(tài)方法計算橫風(fēng)下高速列車流固耦合時，首先忽略軌道不平順情況下利用流固耦合聯(lián)合仿真方法計算平衡姿態(tài)下的穩(wěn)定氣動力，其次將得到的波動氣動力加載到車輛－軌道耦合動力學(xué)中，前5 s漸變加載瞬態(tài)氣動力并且未考慮軌道不平順的影響，第5 s后加入軌道不平順，總計算時間12 s．

由于橫風(fēng)作用下頭車的耦合效應(yīng)相對明顯［2］，因此下面以頭車為例分析平衡狀態(tài)法的動力學(xué)響應(yīng)，并與聯(lián)合仿真方法進(jìn)行對比．

圖3為平衡狀態(tài)法計算得到的頭車瞬態(tài)氣動力，前5 s利用聯(lián)合仿真方法計算氣動力的變化較大，由于未加載軌道不平順，氣動力衰減一段時間后達(dá)到一個較穩(wěn)定的值，即平衡狀態(tài)下的穩(wěn)定氣動力．大約8 s時，頭車的氣動力已經(jīng)達(dá)到一個相對穩(wěn)定的值．

圖3 基于平衡狀態(tài)法的頭車氣動力Fig．3 The aerodynamic force of head coach based the equilibrium state method

3．3 平衡狀態(tài)法和聯(lián)合仿真法響應(yīng)比較

圖4為平衡狀態(tài)法和聯(lián)合仿真法關(guān)于頭車側(cè)力和側(cè)滾力矩的對比，前5 s兩種方法下的氣動力波動幅值和規(guī)律基本一致，這是由于兩者前5 s均未考慮軌道不平順并且計算氣動力都采用的聯(lián)合仿真方法．第5 s后由于聯(lián)合仿真方法考慮軌道不平順的影響，因此氣動力有所波動，幾乎是圍繞著平衡狀態(tài)下的穩(wěn)定氣動力波動．頭車阻力、升力、搖頭和點(diǎn)頭力矩的變化規(guī)律類似．

圖4 平衡狀態(tài)法和聯(lián)合仿真法頭車氣動力比較Fig．4 The comparison of head coach aerodynamic force between equilibrium state method and co－simulation

圖5為平衡狀態(tài)法和聯(lián)合仿真法關(guān)于頭車橫移和側(cè)滾響應(yīng)的對比，兩種方法下波動規(guī)律和幅值都比較接近．前5 s兩種方法下的姿態(tài)的波動曲線幾乎完全一致，這是由于兩者前5 s加載的瞬態(tài)氣動力差別很?。? s后由于聯(lián)合仿真方法加載的是波動氣動力而平衡狀態(tài)法加載的是平衡狀態(tài)下的穩(wěn)定氣動力，因此車體橫向位移和側(cè)滾角的波動幅值略有不同．

圖5 平衡狀態(tài)法和聯(lián)合仿真法頭車姿態(tài)的比較Fig．5 The comparison of head train state between equilibrium state method and co－simulation method

表1為平衡狀態(tài)法和聯(lián)合仿真法關(guān)于車體姿態(tài)絕對值最大值的對比．兩種方法下頭車橫移、沉浮、側(cè)滾、點(diǎn)頭、搖頭五個姿態(tài)的最大幅值相差較小，變化幅度均在3．2%以內(nèi)．平衡狀態(tài)法計算的頭車搖頭角相對聯(lián)合仿真法的結(jié)果要小3．2%．

表1 平衡狀態(tài)法和聯(lián)合仿真方法的車體姿態(tài)比較Table 1 comparison of train state between equilibrium state method and co－simulation method

表2分別為平衡狀態(tài)法和聯(lián)合仿真法關(guān)于頭車安全性和舒適性指標(biāo)絕對值最大值的對比．兩種方法下輪軌垂向力、輪軸橫向力、脫軌系數(shù)和輪重減載率四個安全性指標(biāo)的最大幅值相差不大，變化幅度均在3．26%以內(nèi)，最容易超安全限值的輪重減載率指標(biāo)相差為1．91%．平衡狀態(tài)法和聯(lián)合仿真法模擬的頭車橫向加速度和垂向加速度差別在2%左右．

從上述分析可知，聯(lián)合仿真方法下的波動氣動力圍繞在平衡狀態(tài)法下的穩(wěn)定氣動力的附近波動，平衡狀態(tài)法和聯(lián)合仿真方法關(guān)于車體姿態(tài)響應(yīng)以及車體安全性和舒適性指標(biāo)的差別較?。?/p>

表3為離線仿真方法、平衡狀態(tài)方法和聯(lián)合仿真方法三種情況下關(guān)于計算效率的比較情況．離線仿真方法為穩(wěn)態(tài)計算，總的迭代步數(shù)為2000步，列車－軌道耦合動力學(xué)的計算時間為15 s;平衡狀態(tài)方法和聯(lián)合仿真方法均為瞬態(tài)計算，每一個時間步長達(dá)到殘差穩(wěn)定需要迭代20步，平衡狀態(tài)方法忽略軌道不平順達(dá)到平衡狀態(tài)需要10 s，故流體計算時間迭代總步數(shù)為5000步，每次時間迭代步均需要調(diào)用一次動力學(xué)計算，動力學(xué)計算總迭代時間為10 s，最后考慮軌道不平順計算中動力學(xué)時間迭代時間為15 s;聯(lián)合仿真方法中，時間迭代總步數(shù)為7500步，每次時間迭代步均需要調(diào)用一次動力學(xué)計算，動力學(xué)計算總迭代時間為15 s．流體計算耗時也遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于動力學(xué)的計算耗時．從表中可以看出，離線仿真方法的計算速度比較快，但是其忽略了流固耦合效應(yīng)難以反映實(shí)際情況;平衡狀態(tài)方法相比聯(lián)合仿真方法，極大的節(jié)約了流體計算迭代步數(shù)，計算效率明顯提高．

表2 平衡狀態(tài)法和聯(lián)合仿真方法的車體安全性和舒適性指標(biāo)比較Table 2 Comparisons of train safety and comfortable indexes between equilibrium state method and co－simulation

表3 計算效率比較Table 3 The comparison of calculation efficiency

4 結(jié)論

1)基于車輛－軌道耦合動力學(xué)和空氣動力學(xué)建立了一種快速計算橫風(fēng)下高速列車流固耦合動力學(xué)行為的平衡狀態(tài)方法．

2)利用有限體積法求解流體控制方程，新型顯示積分方法求解車輛－軌道耦合動力學(xué)方程，采用彈簧近似方法和網(wǎng)格重劃分方法更新網(wǎng)格．

3)聯(lián)合仿真方法下的波動氣動力圍繞在平衡狀態(tài)法下的穩(wěn)定氣動力的附近波動，平衡狀態(tài)法和聯(lián)合仿真方法數(shù)值仿真計算關(guān)于車體姿態(tài)響應(yīng)以及車體安全性和舒適性指標(biāo)的差別較?。?/p>

1 Li T，Zhang J Y，Zhang W H．An Improved algorithm for fluid－structure interaction of high－speed trains under crosswind．Journal of modern transportation，2011，9(2):75 ～81

2 李田，張繼業(yè)，張衛(wèi)華．橫風(fēng)下高速列車流固耦合動力學(xué)聯(lián)合仿真．振動工程學(xué)報，2012，25(2):138～145．(Li T，Zhang J Y，Zhang W H．Co－simulation of highspeed train fluid－structure interaction dynamics in crosswinds．Journal of Vibration Engineering，2012，25(2):138～145(in Chinese))

3 譚深根，李雪冰，張繼業(yè)，等．路堤上運(yùn)行的高速列車在側(cè)風(fēng)下的流場結(jié)構(gòu)及氣動性能．鐵道車輛，2008，46(8):4～8(Tan S G，Li X B，Zhang J Y，et al．The flow field structure and the aerodynamic performance of high speed trains running on embankment under cross wind．Rolling Stock，2008，46(8):4 ～8(in Chinese))

5 李雪冰，楊征，張繼業(yè)，等．強(qiáng)風(fēng)中高速列車空氣動力學(xué)性能．交通運(yùn)輸工程學(xué)報，2009，9(2):66～73(Li X B，Yang Z，Zhang J Y，et al．Aerodynamics properties of high－speed train in strong wind．Journal of Traffic and Transportation Engineering，2009，9(2):66 ～ 73(in Chinese))

6 于夢閣，張繼業(yè)，張衛(wèi)華．側(cè)風(fēng)下高速列車車體與輪對的運(yùn)行姿態(tài)．交通運(yùn)輸工程學(xué)報，2011，11(4):48～55(Yu M G，Zhang J Y，Zhang W H．Running attitudes of car body and wheelset for high－speed train under cross wind．Journal of Traffic and Transportation Engineering，2011，11(4):48～55(in Chinese))

7 劉加利，于夢閣，張繼業(yè)，等．基于大渦模擬的高速列車橫風(fēng)運(yùn)行安全性研究．鐵道學(xué)報，2011，33(4):13～21(Liu J L，Yu M G，Zhang J Y，et al．Study on running safety of high－speed train under crosswind by large eddy simulation．Journal of the China Railway Society，2011，33(4):13～21(in Chinese))

8 李田，張繼業(yè)，張衛(wèi)華．橫風(fēng)下車輛軌道耦合動力學(xué)性能研究．交通運(yùn)輸工程學(xué)報．2011，11(5):55～60(Li T，Zhang J Y，Zhang W H．Coupling dynamics performance of vehicle－track under cross wind．Journal of Traffic and Transportation Engineering，2011，11(5):55～60(in Chinese))

9 Baker C J，Jones J，Lopez－Calleja F，et al．Measurements of the cross wind forces on trains．Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics，2004，92(7):547 ～563

10 翟婉明．車輛－軌道耦合動力學(xué)(第3版)．北京:科學(xué)出版社，2007(Zhai W M．Vehicle－track coupling dynamics．Beijing:Science Press，2007(in Chinese))

11 Li T，Zhang J Y，Zhang W H．Nonlinear Characteristics of Vortex－Induced Vibration at low Reynolds number．Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulations．2011，16:2753～2771

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China(50823004)and the National Key Technology R＆D Program of China(2009BAG12A01－C08)and Development Project of Railway Ministry(2008J013)

? Corresponding author E－mail:litian3408@163．com

AN EQUILIBRIUM STATE METHOD OF HIGH-SPEED TRAIN SYSTEM DYNAMICS IN CROSSWIND*

Li Tian?Zhang Jiye Zhang Weihua
(State Key Laboratory of Traction Power，Southwest Jiaotong University，Chengdu610031，China)

A new fast equilibrium state method of high－speed train fluid－structure interaction was presented based on the vehicle－track coupling dynamics and aerodynamics．Firstly，the equilibrium state was calculated by the cosimulation method of fluid－structure interaction ignoring the track irregularity．Then，the static forces in equilibrium state were added to the train－track coupling dynamics and the responses of high－speed train were calculated．With such method，the fluid－structure dynamics of a high－speed train were simulated under the case that the velocity of crosswind is 13．8m/s and the running speed of train is 350km/h．The train attitude，safety and comfortable indexes of train were compared with the equilibrium state method and co－simulation method．The differences of results between the equilibrium state method and co－simulation method are lower than 3．26% ．It is shown that the calculation efficiency of equilibrium state method is higher than that of co－simulation method when calculating the high－speed train fluid－structure interaction in crosswinds．

vehicle system dynamics， crosswind， high－speed train， fluid－structure interaction， equilibrium state method

11 June 2012，

13 June 2012．

10．6052/1672－6553－2013－055

2012－06－11 收到第 1 稿，2012－06－13 收到修改稿．

*國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50823004)、“十一五”國家科技支撐計劃(2009BAG12A01－C08)、鐵道部科技研究開發(fā)計劃(2008J013)

E－mail:litian3408@163．com