柴元 陳立群，2?

(1．上海大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)與力學(xué)研究所，上海 200072)(2．上海大學(xué)力學(xué)系，上海 200444)

主動(dòng)滑?？刂茣r(shí)滯時(shí)空混沌星形網(wǎng)絡(luò)的函數(shù)投影同步*

柴元1陳立群1，2?

(1．上海大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)與力學(xué)研究所，上海 200072)(2．上海大學(xué)力學(xué)系，上海 200444)

研究了拓?fù)涞葍r(jià)的多個(gè)時(shí)空混沌系統(tǒng)組成的星形網(wǎng)絡(luò)，提出了一種主動(dòng)滑?？刂茣r(shí)滯時(shí)空混沌星形網(wǎng)絡(luò)的函數(shù)投影同步控制方法，實(shí)現(xiàn)了多個(gè)時(shí)空混沌系統(tǒng)的同步．在結(jié)合主動(dòng)控制和滑?？刂品椒ǖ幕A(chǔ)上，設(shè)計(jì)了主動(dòng)滑?？刂破鞯慕Y(jié)構(gòu)，得到了網(wǎng)絡(luò)函數(shù)投影同步的必要條件．以Gray—Scott時(shí)空系統(tǒng)作為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的星形網(wǎng)絡(luò)為例進(jìn)行了仿真模擬．結(jié)果驗(yàn)證了主動(dòng)滑模控制器的有效性．

時(shí)空混沌， 時(shí)滯函數(shù)投影同步， 星形網(wǎng)絡(luò)， Lyapunov穩(wěn)定性定理， 主動(dòng)滑?？刂?/p>

引言

自從 Ott［1］和 Carroll［2］等人在 1990 年開(kāi)創(chuàng)性地實(shí)現(xiàn)混沌同步以來(lái)，由于其潛在的應(yīng)用價(jià)值，喚起了許多領(lǐng)域科研人員的研究興趣．隨之，很多同步控制方法被提出，例如，廣義同步，投影同步，相同步，滑?？刂仆?，自適應(yīng)同步等．最近，基于主動(dòng)控制和滑?？刂品椒ǖ膬?yōu)點(diǎn)，提出了一種實(shí)現(xiàn)混沌同步的新方法“主動(dòng)滑?？刂品椒ā保?］．其同步機(jī)理分為兩步:首先選擇適當(dāng)?shù)闹鲃?dòng)控制器，然后設(shè)計(jì)滑模控制器來(lái)實(shí)現(xiàn)同步．另一個(gè)有趣的同步現(xiàn)象被創(chuàng)建，叫做函數(shù)投影同步［4］，驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量同步到一個(gè)函數(shù)矩陣．因?yàn)楹瘮?shù)投影同步的多樣性，所以很多的學(xué)者進(jìn)行了這方面的研究．眾所周知在神經(jīng)元和保密通訊信息傳遞時(shí)，時(shí)間延遲是不可避免的［5］．所以，在一個(gè)系統(tǒng)與其他系統(tǒng)同步的過(guò)程中，考慮時(shí)滯的影響是非常合理的．

通過(guò)對(duì)比我們發(fā)現(xiàn)，在外部影響方面，大多數(shù)的同步文獻(xiàn)都沒(méi)有考慮任何的外部擾動(dòng)．然而，從實(shí)際的角度來(lái)看，噪聲干擾是不可避免的．在不斷變化的環(huán)境中［6］，混沌系統(tǒng)總是被環(huán)境中的一些未知因素所干擾，對(duì)時(shí)空混沌施加一個(gè)小擾動(dòng)將導(dǎo)致該系統(tǒng)的混沌行為急劇變化．由于混沌同步是不可避免地受到外部干擾，人為增加干擾影響到混沌系同步的理論已成為重要的研究課題．在選取系統(tǒng)方面，多數(shù)的科研人員選擇時(shí)變混沌系統(tǒng)作為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行同步研究，然而自然生態(tài)系統(tǒng)是由大量的時(shí)空混沌系統(tǒng)所構(gòu)成．時(shí)空混沌同步在許多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用價(jià)值［7］，例如，安全通信，物理，自動(dòng)控制，流體，化學(xué)和生物系統(tǒng)．因此，時(shí)空混沌同步已經(jīng)吸引了學(xué)者非常廣泛的關(guān)注．

被上述討論所激發(fā)，本文中，我們考慮了外部擾動(dòng)對(duì)混沌同步的影響，選取更符合實(shí)際的時(shí)空混沌系統(tǒng)作為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)，通過(guò)主動(dòng)滑?？刂品椒?，研究了時(shí)滯時(shí)空混沌星形網(wǎng)絡(luò)的函數(shù)投影同步．基于主動(dòng)滑模控制技術(shù)，給出了星形復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步必要條件，以確保函數(shù)投影滯后同步發(fā)生，并有效地消除了噪聲的干擾．?dāng)?shù)值模擬結(jié)果表明該方法的可行性和有效性．

1 同步原理

考慮一個(gè)由N個(gè)相同的時(shí)空混沌系統(tǒng)作為節(jié)點(diǎn)的星形復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，其中每個(gè)節(jié)點(diǎn)在t時(shí)刻的狀態(tài)方程為:

以N個(gè)時(shí)空混沌系統(tǒng)(1)為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)，構(gòu)成一個(gè)單向連接的星形網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)i滿(mǎn)足以下?tīng)顟B(tài)方程:

其中u(x，t)=［u(x，t)，u(x，t)，…，u(x，t)］T∈

i12nRn為節(jié)點(diǎn)i的狀態(tài)變量，x，t為系統(tǒng)的空間和時(shí)間變量．A∈Rn×n代表系統(tǒng)線(xiàn)性部分的常數(shù)矩陣，F(xiàn):Rn→Rn是系統(tǒng)的非線(xiàn)性部分．gij表示耦合矩陣G的矩陣元，它的具體表示因網(wǎng)絡(luò)的連接類(lèi)型而異，并代表網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)．本文采用單變量耦合連接，內(nèi)部耦合函數(shù)為uj(x，t－τj)，Di(t)是外部干擾，Ui(x，t)為控制器．

假設(shè)存在一個(gè)函數(shù)矩陣P(t)=diag{P1(t)，P2(t)，…，Pn(t)}，P(t)表示一個(gè)“函數(shù)矩陣”．如果滿(mǎn)足，limt→∞‖u1(x，t－ τ1)－P(t)ui+1(x，t－ τi+1)‖ =0，則稱(chēng)星形網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)了“函數(shù)投影滯后同步”，‖D1(t－ τ1)‖ ＜ δ1，‖P(t)Di+1(t－ τi+1)‖ ＜ δ2，其中 δ1，δ2為常數(shù)．

定義誤差ei(x，t)=u1(x，t－ τ1)－P(t)ui+1(x，t－τi+1)，網(wǎng)絡(luò)的誤差可以被表示為:

實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)同步，即要滿(mǎn)足下式:

依據(jù)主動(dòng)控制設(shè)計(jì)方法，我們選擇如下的控制器Ui(x，t)

式中，i=2，3，…，N．

誤差系統(tǒng)(3)改寫(xiě)為

等式(6)描述了一個(gè)新定義的控制輸入Hi(x，t)．在主動(dòng)滑?？刂品▌t中，Hi(x，t)是基于滑模控制律設(shè)計(jì)的

其中K=［K1，K2，…，Kn］T∈Rn是一個(gè)常數(shù)增益矩陣和Wi(x，t)∈R是控制輸入，滿(mǎn)足下式:

設(shè)Si=Si(e)為滑?？刂频那袚Q函數(shù)，于是有

滑模面的定義如下:

其中C=［C1，C2，…，Cn］是一個(gè)常數(shù)矩陣，當(dāng)滑模面滿(mǎn)足下列條件:

基于(9)－(11)，可以推斷出如下結(jié)果:

當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生滑模運(yùn)動(dòng)時(shí)，需滿(mǎn)足如下條件:

其中sgn(·)表示符號(hào)函數(shù)．常數(shù)滿(mǎn)足q＞0和r＞0．

依據(jù)等式(9)，(10)，(13)，我們有

在實(shí)際工程應(yīng)用中干擾是未知的．因此，控制輸入Wi(x，t)被改寫(xiě)如下:

定理1 通過(guò)添加控制輸入Wi(x，t)，滿(mǎn)足不等式‖C‖(δ1+δ2)＜q，可實(shí)現(xiàn)星形網(wǎng)絡(luò)函數(shù)滯后投影同步，也就是說(shuō)，誤差的狀態(tài)軌跡沿著滑模面收斂到零．

證明 考慮如下的Lyapunov函數(shù):

等式(16)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)是

當(dāng)滿(mǎn)足不等式‖C‖(δ1+δ2)＜q，即．根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，誤差系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的．定理1證明完畢．

2 數(shù)值模擬

為了說(shuō)明上述的同步原理，以拓?fù)涞葍r(jià)Gray－Scott時(shí)空混沌系統(tǒng)作為星型網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行同步模擬．

Gray－Scott時(shí)空混沌系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)方程如下描述［8］:

其中參量a=0．028，b=0．053，d1=2 × 10－5，d2=10－5．周期性邊界條件取u1(0，t)=u1(L，t)=1，u2(0，t)=u2(L，t)=0．選取時(shí)間步長(zhǎng) Δt=1，空間步長(zhǎng)ΔL=0．01．系統(tǒng)狀態(tài)變量的時(shí)空演化呈現(xiàn)混沌行為，其相圖如圖1、2所示．單向連接星形網(wǎng)絡(luò)的耦合矩陣G為

其中P1(t)=diag{60+2sin(t)，60+2cos(t)}，P2(t)=diag{40+2sin(t)，40+2cos(t)}，P3(t)=diag{20+2sin(t)，20+2cos(t)}并且U1(x，t)=0．控制參數(shù)C=［1，1］，K=［1，1］T，r=0．2，q=0．008．根據(jù)定理1，得到控制輸入Wi(x，t)

圖1 變量u1(x，t)的時(shí)空演化Fig．1 The spatiotemporal evolution of u1(x，t)

圖2 變量u2(x，t)的時(shí)空演化Fig．2 The spatiotemporal evolution of u2(x，t)

從如圖3－8所示的誤差演化圖樣中可以看出，誤差值在演化初始未加控制階段振蕩還存在，在t=2300施加控制后，經(jīng)過(guò)很短的時(shí)間序列后，節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)之間相應(yīng)狀態(tài)變量的運(yùn)動(dòng)軌跡趨于一致，即誤差變量趨于零，網(wǎng)絡(luò)同步得以實(shí)現(xiàn)．模擬仿真我們還發(fā)現(xiàn)，無(wú)論節(jié)點(diǎn)數(shù)N取何值，無(wú)論節(jié)點(diǎn)是任何的時(shí)間或時(shí)空混沌系統(tǒng)，整個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的混沌同步均可實(shí)現(xiàn)．

圖3 誤差變量e11(x，t)的時(shí)空演化Fig．3 The spatiotemporal evolution of error e11(x，t)

圖4 誤差變量e12(x，t)的時(shí)空演化Fig．4 The spatiotemporal evolution of error e12(x，t)

圖5 誤差變量e21(x，t)的時(shí)空演化Fig．5 The spatiotemporal evolution of error e21(x，t)

圖6 誤差變量e22(x，t)的時(shí)空演化Fig．6 The spatiotemporal evolution of error e22(x，t)

圖7 誤差變量e31(x，t)的時(shí)空演化Fig．7 The spatiotemporal evolution of error e31(x，t)

圖8 誤差變量e32(x，t)的時(shí)空演化Fig．8 The spatiotemporal evolution of error e32(x，t)

3 結(jié)論

本文通過(guò)以Gray－Scott時(shí)空系統(tǒng)作為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的星形網(wǎng)絡(luò)為例進(jìn)行了仿真模擬，得到如下結(jié)論:任選網(wǎng)絡(luò)一個(gè)節(jié)點(diǎn)的Gray－Scott時(shí)空混沌系統(tǒng)作為目標(biāo)系統(tǒng)，整個(gè)星形網(wǎng)絡(luò)將同步于這個(gè)指定的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的時(shí)空混沌狀態(tài)．無(wú)論星形網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)如何遞增以及何時(shí)開(kāi)始施加網(wǎng)絡(luò)耦合，經(jīng)過(guò)短暫的時(shí)間序列，整個(gè)星形網(wǎng)絡(luò)所有節(jié)點(diǎn)相應(yīng)的誤差變量隨時(shí)間的演化均迅速地趨于零．

1 Ott E，Grebogi C，Yorke J A ．Controlling chaos．Physical Review Letter，1990，64(11):1196～1199

2 Pecora L M，Carroll T L．Synchronization in chaotic systems．Physical Review Letter，1990，64(8):821 ～824

3 Bowong S，Kakmeni，F(xiàn) M M，Tchawoua C．Controlled synchronization of chaotic systems with uncertainties via a sliding mode control design．Physical Review E，2004，70(6):066217

4 Sudheer K S，Sabir M．Function projective synchronization in chaotic and hyperchaotic systems through open－plusclosed－loop coupling．Chaos，2010，20:013115

5 Selivanov A A，Lehnert J，Dahms T，H?vel P，F(xiàn)radkov A L，Sch?ll E．Adaptive synchronization in delay－coupled networks of Stuart－Landau oscillators．Physical Review E，2012，85(1):016201

6 Behzad M，Salarieha H，Alastya A．Chaos synchronization in noisy environment using nonlinear filtering and sliding mode control．Chaos Solitons Fractals，2008，36(5):1295～1304

7 Lü L，Meng L．Parameter identification and synchronization of spatiotemporal chaos in uncertain complex network．Nonlinear Dynamics，2011，66(4):489～495

8 Pearson J E．Complex patterns in a simple system．Sci－ence，1993，261(5118):189～192

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China(11232009)，Shanghai Subject Chief Scientist Project(09XD1401700)，Shanghai Leading Talent Program，Shanghai Leading Academic Discipline Project(S30106)

? Corresponding author E－mail:lqchen@staff．shu．edu．cn

FUNCTION PROJECTIVE LAG SYNCHRONIZATION OF SPATIOTEMPORAL CHAOS IN STAR NETWORK VIA ACTIVE SLIDING MODE CONTROL*

Chai Yuan1Chen Li Qun1，2?
(1．Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics，Shanghai University，Shanghai200072，China)(2．Department of Mechanics，Shanghai University，Shanghai200444，China)

This paper investigated function projective lag synchronization of spatiotemporal chaos in star network．A control scheme was designed via active sliding mode approach．Based on the combination of active control and sliding mode control method，the structure of the active sliding mode controllers was designed，and the necessary conditions of star network function projective lag synchronization were obtained．The control law was applied to spatiotemporal Gray－Scott systems．Numerical simulations were presented to demonstrate the effectiveness of the proposed active sliding mode controllers．

spatiotemporal chaos， function projective lag synchronization， star network， Lyapunov stability theory，active sliding mode control

27 June 2012，

29 June 2012．

10．6052/1672－6553－2013－058

2012－06－27 收到第 1 稿，2012－06－29 收到修改稿．

*國(guó)家自然科學(xué)基金(11232009)，上海市優(yōu)秀學(xué)科帶頭人計(jì)劃(09XD1401700)，上海市重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)資助項(xiàng)目(S30106)

E－mail:lqchen@staff．shu．edu．cn