周正

(63817部隊，西昌 6 15606)

Lurie廣義系統(tǒng)基于觀測器的控制器設(shè)計*

周正?

(63817部隊，西昌 6 15606)

研究了Lurie廣義系統(tǒng)基于狀態(tài)觀測器的控制器設(shè)計問題．通過使用Lyapunov穩(wěn)定性理論，線性矩陣不等式方法，分別給出了狀態(tài)反饋控制器和觀測器的設(shè)計方法，并建立了分離原理，進(jìn)而得到了基于觀測器的控制器設(shè)計方法．所得結(jié)論對廣義系統(tǒng)理論本身的發(fā)展和實(shí)際應(yīng)用都有非常重要的意義．最后給出了仿真實(shí)例．

Lurie廣義系統(tǒng)(LDS)， 觀測器， 控制器， Lyapunov函數(shù)， 線性矩陣不等式(LMI)

引言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和大型工程技術(shù)的需要，20世紀(jì)70年代人們提出了比正常系統(tǒng)應(yīng)用更為廣泛的廣義系統(tǒng)，它大量應(yīng)用在電力、航天、經(jīng)濟(jì)、生物等許多實(shí)際的系統(tǒng)模型中［1］．近年來，非線性廣義系統(tǒng)的研究引起了很多關(guān)注．Lurie廣義系統(tǒng)是一類典型的非線性廣義系統(tǒng)，許多非線性物理系統(tǒng)可以表示成Lurie廣義系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式，即一個線性系統(tǒng)和一個滿足扇形條件的非線性單元的反饋連接．自從1944年Lurie系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性問題提出以來，受到了廣泛的關(guān)注，形成了相對獨(dú)立的理論體系［2－5］．

近年來非線性系統(tǒng)觀測器及控制器的設(shè)計是非?；钴S的研究領(lǐng)域，取得了豐碩的成果:文獻(xiàn)［6］介紹了自適應(yīng)狀態(tài)觀測器在非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)輸出調(diào)節(jié)器設(shè)計中的應(yīng)用;文獻(xiàn)［7］給出了一類具有非線性輸出系統(tǒng)的觀測器的設(shè)計方法;文獻(xiàn)［8］提出了一種非線性微分代數(shù)系統(tǒng)觀測器的設(shè)計方法;文獻(xiàn)［9］對一類非線性系統(tǒng)觀測器的設(shè)計進(jìn)行了研究，設(shè)計過程沒有涉及到任何方程的分解．研究Lurie廣義系統(tǒng)的控制器設(shè)計問題對于進(jìn)一步完善廣義系統(tǒng)理論和揭示非線性廣義系統(tǒng)的本質(zhì)特征都具有非常重要的意義．

本文研究研究了Lurie廣義系統(tǒng)基于狀態(tài)觀測器的控制器設(shè)計問題．分別給出了狀態(tài)反饋控制器和觀測器的設(shè)計方法，并建立了分離原理，進(jìn)而解決了基于觀測器的控制器設(shè)計問題以及相關(guān)的控制問題．將進(jìn)一步揭示非線性廣義系統(tǒng)的本質(zhì)與特征．因此，本文對廣義系統(tǒng)的發(fā)展具有重要的理論意義和學(xué)術(shù)價值．

1 問題描述

考慮如下LDS

其中，A∈Rn×n，B∈Rn×m，C∈Rm×n，rank(E)=r．φ(y)是一個時不變且充分光滑的函數(shù)，滿足φi(0)=0以及

記K0=diag(k1，k2，…，km)＞0．

引理1 如果存在矩陣P∈Rn×n滿足

則LDS(1)是強(qiáng)絕對穩(wěn)定的［10］．

由(2)可得，0≤φi(yi)/yi≤ki，i=1，2，…，m從而

由，y=Cx可得

引理2 對任意x≠0滿足

則系統(tǒng)(1)是強(qiáng)絕對穩(wěn)定的［11］．

2 主要結(jié)果

考慮如下廣義系統(tǒng)

其中，x(t)∈Rn是系統(tǒng)的n維狀態(tài)變量，u(t)∈Rm是輸入，E，A∈Rn×n且rank(E)=r≤n，B1，B2∈Rn×m，C∈Rm×n，并且 φ(·):Rm→Rm是連續(xù)函數(shù)，滿足(2)式．

設(shè)計如下控制器

代入(4)式可得如下閉環(huán)系統(tǒng)

定理1 若存在矩陣

則存在控制器使系統(tǒng)(4)－(5)強(qiáng)絕對穩(wěn)定．

證明: 由引理1可知，系統(tǒng)(6)強(qiáng)絕對穩(wěn)定的一個充分條件是存在矩陣滿足

對(9)式左乘右乘，對(10)式左乘H=diag{，I}右乘HT，則上兩式等價于

令=X，=Y，則上面兩式等價于

則定理1得證．

對系統(tǒng)(4－5)設(shè)計全維狀態(tài)觀測器如下

其中，矩陣L∈Rn×m是需要設(shè)計的部分．

定義狀態(tài)估計誤差為:

由(2)式可知滿足

亦即滿足不等式

由(4)式及(13)式可得誤差方程為

由引理1給出定理2，證明從略．

定理 2 若存在矩陣P2∈Rn×n，Z∈Rn×n

滿足

則對于系統(tǒng)(4)存在一個形如(13)式的全維狀態(tài)觀測器．其中，L= －可以保證估計誤差是以指數(shù)收斂的．

基于控制器的觀測器閉環(huán)系統(tǒng)

由e=x－^x，φ(e)=φ(y)－φ(^y)可得

定理3 若定理1以及定理2中的線性矩陣不等式均滿足，則基于觀測器的控制器可以使系統(tǒng)(19)穩(wěn)定．

考慮(19)式

記Π1=

又由(3)、(15)兩式可得，

顯然，定理1和定理2可以分別保證Π1＜0，Π2＜0，對于充分大的α＞0，可知

由引理2知，系統(tǒng)(19)是強(qiáng)絕對穩(wěn)定的．

3 仿真算例

首先研究定理的不等式條件的求解問題．

令U=［U1U2］和V=［V1V2］是正交矩陣，滿足

容易驗(yàn)證EV2=0，=0．其中，Σr∈Rr×r是對角正定矩陣．

根據(jù)文獻(xiàn)［11］的結(jié)果，Y1=Y2．其中，

于是，在不增加保守性的前提下，定理1的條件可以分別歸結(jié)為如下算法．

3．1 算法

狀態(tài)反饋控制器設(shè)計算法:

尋找矩陣

注釋:LMI的可行性問題．LMI的可行性問題可以用內(nèi)點(diǎn)法等全局收斂的算法進(jìn)行求解．因此，上述算法都是收斂的．

根據(jù)文獻(xiàn)［11］，觀測器設(shè)計算法設(shè)計為尋找矩陣

3．2 算例

由狀態(tài)反饋控制器設(shè)計算法可得

由觀測器設(shè)計算法可得

如圖所示閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定．

圖1 狀態(tài)軌跡Fig．1 Trajectory of state

4 小結(jié)

本文已經(jīng)考慮了Lurie廣義系統(tǒng)基于狀態(tài)觀測器的控制器設(shè)計問題，根據(jù)Lurie廣義系統(tǒng)已有的結(jié)論，給出了狀態(tài)反饋控制器和觀測器的設(shè)計方法．證明了分離原理，進(jìn)而得到了基于觀測器的控制器設(shè)計方法．證明過程中沒有使用模型變換，降低了結(jié)果的保守性．值得說明的是，文中的結(jié)果都是以線性矩陣不等式的形式給出的，很容易進(jìn)行數(shù)值求解，但其一般只是充分條件．因此，線性矩陣不等式的可解性問題是需要進(jìn)一步研究的內(nèi)容．

1 Dai L．Singular control systems．New York:Springer－Verlag，1989

2 Gao H J，Chen T W，Lam J．A new delay system approach to network－based control．Automatica，2008，44(1):39 ～52

3 Zhang W A，Yu L．Output feedback stabilization of networked control systems with packet dropout．IEEE Transactions on Automatic Control，2007，52(9):1705 ～1710

4 王煒，王玨．一類具有扇區(qū)非線性的時變時滯系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性．動力學(xué)與控制學(xué)報，2011，9(2):158～161(Wang wei，Wang ju．Absolute stability for a class of timevarying delay systems with sector－bounded nonlinearity．Journal of Dynamics and Control，2011，9(2):158 ～ 1 61(in Chinese))

5 Han Q L，Yue D．Absolute stability of Lurie systems with time－varying delay．IET Control Theory and Applications，2007，1(3):854～859

6 Delli，Priscoli F，Marconi L，Isidori A．Adaptive observers as nonlinear internal models．System＆Control letters，2006，55(13):640～649

7 Andreas J，Alexander M．An observer for systems with nonlinear output map．Automatic，2003，39(14):909 ～918

8 Jan A，Erik F．An observer for nonlinear differential algebraic system．Automatic，2006，42(12):959～965

9 Farza M，Msaad M，Rossignol L．Observer design for a class of MIMO nonlinear systems．Automatic，2004，40(14):135～143

10 楊春雨．若干類非線性廣義系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與設(shè)計［博士學(xué)位論文］．沈陽:東北大學(xué)，2009(Yang C Y．Stability analysis and design for some classes of nonlinear descriptor systems［PhD Thesis］．Shenyang:Northeastern University，2009(in Chinese))

11 Yang C Y，Zhang Q L，Zhou L N．Strongly absolute stability problem of descriptor systems．Informatica，2007，18(2):305～320

*The Project supported by the National Natural Science Foundation of China(60904009)

? Corresponding author E－mail:xchilang52851@126．com

OBSERVER BASED CONTROLLER DESIGN FOR LURIE DESCRIPTOR SYSTEMS*

Zhou Zheng?
(Xichang Satellite Launch Center，Xichang615606，China)

Observer based controller design for Lurie descriptor systems was investigated．By using Lyapunov stability theory and linear matrix inequality(LMI)，the state－feedback controller and observer were designed independently．Then by establishing a separation principle，an observer based controller design method was proposed．．Finally，a numerical example was given to illustrate the effectiveness of the proposed method．

Lurie descriptor systems(LDS)， observer， controller， Lyapunov function， linear matrix inequality(LMI)

17 September 2012，

16 April 2013．

10．6052/1672－6553－2013－064

2012－09－17 收到第 1 稿，2013－04－16 收到修改稿．

*國家自然科學(xué)基金資助項目(60904009)

E－mail:xchilang52851@126．com