劉慶玲

廊坊師范學(xué)院，廊坊，065000

0 引言

柔性機(jī)構(gòu)以其體積小、無間隙、無機(jī)械摩擦、運(yùn)動靈精度高、導(dǎo)向精度高等諸多優(yōu)點(diǎn)，在精密機(jī)械和微機(jī)械等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用［1］。針對柔性機(jī)構(gòu)中柔性鉸鏈的變形，各國學(xué)者做了大量研究，并取得了一定成果［2-3］。而對于柔性構(gòu)件的變形，目前的分析方法尚不完善，其中的橢圓積分法，計(jì)算量大、推導(dǎo)復(fù)雜，只適用于簡單載荷條件下柔性構(gòu)件的變形分析［4-8］;Howell［9］提出的偽剛體模型法也只適用于等截面柔性構(gòu)件在集中載荷作用下的變形計(jì)算［10-11］。在很多實(shí)際應(yīng)用中，柔性構(gòu)件是變截面構(gòu)件，且所受載荷為分布載荷，所以研究變截面柔性構(gòu)件在任意載荷作用下的變形分析方法，具有一定的實(shí)際意義。

1 任意載荷作用下變截面柔性構(gòu)件的變形分析

1.1 建立變形微分方程

本文設(shè)定沿變截面柔性構(gòu)件的長度方向上，構(gòu)件任意位置處的橫截面形狀均為矩形。構(gòu)件左端固定，承受載荷如圖1所示。圖1中，F(xiàn)x、Fy分別為作用在柔性構(gòu)件末端的水平方向和垂直方向

圖1 變截面柔性構(gòu)件受力示意圖

的集中載荷，qx(s)、qy(s)分別為作用在構(gòu)件上水平方向和垂直方向的分布載荷，虛線為變截面柔性構(gòu)件中性面上的中心線(其長度為s)，構(gòu)件末端點(diǎn)為B。

變截面柔性構(gòu)件在集中載荷、分布載荷的共同作用下，產(chǎn)生彎曲變形，利用其中性面上的中心線來表示變形前后的位置。圖2a中，虛線為變形前中心線的位置(末端點(diǎn)為B0)，實(shí)線為變形后中心線的位置，設(shè)末端點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a，b)。變截面柔性構(gòu)件的初始長度為L。

在構(gòu)件上取距離固定端為x的任意截面A，取截面A以右部分為研究對象，在截面A處所受水平、垂直方向的合力分別記為FH、FV，所受的力矩記為M(x)，局部受力如圖2b所示，由受力平衡可得

自截面A處取d s微段，其受力如圖2c所示，

圖2 任意載荷作用下變截面柔性構(gòu)件的變形示意圖

對A點(diǎn)取力矩，由力矩平衡，整理可得

由 Bernoulli－Euler梁的基本變形方程［12］得

式中，E為彈性模量;I(x)為截面慣性矩。

變截面柔性構(gòu)件任意位置處截面的慣性矩不是常量，有

式中，h(x)、b(x)分別為構(gòu)件上距離固定端x處截面的厚度和寬度。

式(3)兩邊對s求導(dǎo)，有

變截面柔性構(gòu)件中性面的中心線存在一個初始角度，記為θ0，受載后產(chǎn)生彎曲變形，產(chǎn)生的角變形記為θ，由圖2b可得

將式(1)代入式(2)，求得d M(x)，再代入式(4)，可得

將式(5)代入式(6)，可得

式(7)即為任意載荷作用下變截面柔性構(gòu)件變形求解的二階非線性微分方程。

1.2 變形微分方程求解

針對上述非線性微分方程，本文采用離散化的數(shù)值計(jì)算方法進(jìn)行求解，具體過程如下:

式(7)可寫為

由式(3)、式(4)可得θ(s)的一階、二階導(dǎo)數(shù):

將其代入式(8)依次進(jìn)行求導(dǎo)，可求得θ(s)的各高階導(dǎo)數(shù)。

采用多項(xiàng)式的形式表示變截面柔性構(gòu)件的角變形，則角變形可寫為

由泰勒級數(shù)展開式，可得

將變截面柔性構(gòu)件沿其長度方向n等分，設(shè)t為步長，則t=L/n，L為構(gòu)件的總長度。

上述分析求解過程不僅適用于變截面柔性構(gòu)件的變形分析，同樣適用于等截面柔性構(gòu)件(梁)在集中載荷、分布載荷作用下變形的分析與求解。對于等截面柔性構(gòu)件(梁)，其截面慣性矩I(x)為定值，故I(x)各階導(dǎo)數(shù)均為零，采用上述方法，即可求得等截面柔性構(gòu)件(梁)變形的大小。

2 變截面柔性構(gòu)件變形的實(shí)例分析

2.1 集中載荷作用下變截面柔性構(gòu)件的變形分析

變截面柔性構(gòu)件結(jié)構(gòu)如圖3所示。幾何參數(shù)如下:L=600μm，ha=50μm，hb=10μm。構(gòu)件任意位置處的橫截面形狀均為矩形，厚度沿長度方向呈線性變化，寬度b=75μm，材料選用硅，彈性模量E=169GPa。構(gòu)件端部承受集中載荷F，載荷F的具體數(shù)值見表1，分析構(gòu)件末端的角變形。

圖3 承受集中載荷的變截面柔性構(gòu)件示意圖

表1 不同集中載荷作用下變截面柔性構(gòu)件末端角變形的分析結(jié)果

2.1.1 解析法求解

柔性構(gòu)件上距離固定端x(μm)處的任意截面A，設(shè)截面厚度為h(x)，可得h(x)=-x/15+50，單位為μm。則截面慣性矩為

構(gòu)件承受垂直方向的集中載荷，由式(7)可得角變形的微分方程:

該構(gòu)件截面厚度呈線性變化，求得其中性面的中心線的初始角度θ0(s)=-3.814°，沿構(gòu)件長度方向?qū)⑵?0等分，即n=10，步長t=60μm。依該構(gòu)件變形的邊界條件有θ(0)=0，對式(13)依次求導(dǎo)，得到θ(s)的各階導(dǎo)數(shù)，代入式(12)即可求得構(gòu)件上各點(diǎn)的角變形。θ(L)=θ(s10)為構(gòu)件末端角變形，即最大角變形。求解結(jié)果列于表1。

2.1.2 有限元分析

在ANSYS環(huán)境下，建立該變截面柔性構(gòu)件的有限元分析模型。對其末端施加集中載荷，分析不同載荷作用下末端角變形的大小，其有限元分析結(jié)果列于表1。

2.2 均布載荷作用下變截面柔性構(gòu)件的變形分析

變截面柔性構(gòu)件，厚度沿長度方向呈圓弧規(guī)律變化，其結(jié)構(gòu)如圖4所示。幾何參數(shù)如下:圓弧半徑為 4520μm，圓心坐標(biāo)位置為(600μm，4530μm)，L=600μm，ha=50μm，hb=10μm，構(gòu)件寬度b=75μm，材料選用多晶硅，彈性模量E=169GPa，承受垂直方向的均布載荷作用，即qy(s)=q為定值，具體數(shù)值見表2，分析其末端角變形。

圖4 變截面構(gòu)件承受均布載荷作用示意圖

表2 均布載荷作用下變截面柔性構(gòu)件末端角變形的分析結(jié)果

2.2.1 解析法求解

柔性構(gòu)件上距離固定端x處的任意截面A，設(shè)截面厚度為h(x)，可得

則其截面慣性矩為

構(gòu)件承受均布載荷作用，由式(7)可得角變形微分方程:

構(gòu)件的截面厚度呈圓弧變化，其中心線的初始角度可根據(jù)各等分點(diǎn)處圓弧曲線的斜率求得。利用上面的分析結(jié)果，沿構(gòu)件長度方向?qū)⑵?0等分，即n=10，步長t=60μm。依該構(gòu)件變形的邊界條件有θ(0)=0。對式(14)依次求導(dǎo)，得到θ(s)的各階導(dǎo)數(shù)，代入式(12)即可求得柔性構(gòu)件上各點(diǎn)的角變形。θ(L)=θ(s10)為末端的角變形，即最大角變形。求解結(jié)果列于表2。

2.2.2 有限元法分析

在ANSYS環(huán)境下，建立變截面柔性構(gòu)件的有限元分析模型，對其施加均布載荷，分析不同均布載荷作用下末端角變形的大小，分析結(jié)果列于表2。由表1、表2中的數(shù)據(jù)可明顯看出，采用本文建立的微分方程求解變截面柔性構(gòu)件的角變形，所得變形結(jié)果與有限元法分析結(jié)果的相對誤差均在2%以內(nèi)，充分表明該變形分析方法的正確性。

3 結(jié)論

(1)本文針對變截面的柔性構(gòu)件在任意載荷作用下的變形進(jìn)行了分析，以Bernoulli－Euler梁的基本變形方程為理論基礎(chǔ)，建立了求解任意載荷作用下變截面柔性構(gòu)件變形的二階非線性微分方程，采用泰勒級數(shù)展開的離散化數(shù)值計(jì)算方法對其進(jìn)行了求解，給出了具體的求解過程。

(2)利用本文提出的分析方法與建立的微分方程，對變截面的柔性構(gòu)件在集中載荷與均布載荷作用下的變形分別進(jìn)行了分析計(jì)算，同時采用有限元法對上述變形進(jìn)行了模擬分析，將兩種方法所得的分析結(jié)果進(jìn)行了對比，兩者的相對誤差在2%以內(nèi)，具有較好的一致性，表明了本文提出的分析方法與所建立的微分方程的有效性與正確性。

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