王 威 胡于進 凌 玲

華中科技大學，武漢，430074

0 引言

子結構綜合方法在航天器設計、汽車NVH分析等復雜結構的動力學特性分析中有著廣泛的應用。傳統(tǒng)上把子結構綜合方法分為兩大類［1］:基于模態(tài)的子結構綜合(component－modesynthesis，CMS)［2］和基于頻響函數(frequencyresponse function，FRF)的子結構綜合(FRF－basedsubstructuring，FBS)［3］。它們分別用于理論模型和試驗模型的綜合，而工程中通常存在混合模型的綜合問題，即有限元建模的理論模型與試驗測試獲得的試驗模型的綜合［4］?；旌夏Ｐ偷木C合主要采用基于頻響函數的綜合，但基于頻響函數的綜合存在對整個子結構頻響矩陣求逆運算的問題，這導致計算效率和精度不高［5］。Jetmundersen等［6］發(fā)展了一種子結構導納綜合方法(RC方法)，計算時只需對連接部分的頻響矩陣求逆，使計算精度和效率得到較大提高，但該方法僅適用于兩個獨立子結構之間的綜合。Ren等［7］在此基礎上發(fā)展出一種多子結構綜合方法即GRC(generalizedreceptancecoupling)方法，能夠得到非獨立子結構之間的綜合。值得指出的是，GRC方法只考慮了剛性連接特性的處理，而工程實際中結構的連接基本都是柔性連接，為此，Liu等［8］提出了一種考慮彈性連接介質的綜合方法，但該方法實質上是把連接件當作一個子結構進行處理，連接件與被連接件之間仍為剛性連接，未將連接參數從子結構系統(tǒng)中獨立出來，不便于使用和實際操作。對于一些常用的連接模型，如彈簧連接、軸套連接等，如何用特征參數來表達其連接剛度和阻尼等信息，使其與子結構完全獨立，具有更明確的物理意義是一個有意義的研究課題。因此，本文以GRC方法為基礎，用統(tǒng)一的參數模型來實現連接部分的獨立化、模塊化處理，使子結構之間的連接不再局限于剛性連接，實現了剛性連接和柔性連接的統(tǒng)一。同時，基于所提出方法，研發(fā)了多子結構混合建模及綜合求解系統(tǒng)。

1 基于頻響的子結構綜合方法

在GRC方法中，子結構系統(tǒng)的定義為

通過引入剛性連接條件，得到整體結構的頻響矩陣:

式中，下標n、j分別表示綜合后整體結構的內部自由度和界面自由度。

該方法在計算過程中涉及矩陣求逆，但只需對連接處的頻響矩陣求逆。采用奇異值分解方法(SVD)求逆［9］，可以有效降低測試誤差對綜合結果的影響。

2 考慮參數化連接特性的子結構頻響綜合方法

2.1 子結構之間的連接模型

參數化的連接模型是指一些常用的連接，如彈簧連接、軸套連接、螺栓連接等，其連接特性可以用剛度和阻尼表示。對于柔性連接，傳統(tǒng)上兩個子結構間的連接可以用彈性元件和阻尼元件來模擬［10］，即每個連接自由度都用一個等效剛度和等效阻尼來表示其連接特性，如圖1所示。

圖1 柔性連接模型

根據連接部件的力平衡條件，子結構A和B在連接處界面自由度的振動位移和作用力滿足如下關系:

其中，ZC為連接部分的n×n階阻抗矩陣，ZC=［zij］n×n，矩陣 ZC中的任一項zij為連接阻抗，其物理意義為第i個連接自由度產生單位位移時第j個連接自由度上需要施加的作用力。當不同連接自由度之間沒有耦合項時，ZC可以化為對角陣。

2.2 引入連接后的子結構綜合

簡單起見，用b'、c'表示連接部件的界面自由度，用a、b和c表示連接后綜合結構的自由度。原有子結構系統(tǒng)位移和力之間的關系如下:

根據式(4)的推論，連接處的阻抗矩陣計算公式為

引入連接處的位移協(xié)調和力平衡條件:

將式(5)～式(7)聯立，可得

將式(8)代入式(9)，得

將式(5)～(8)式聯立，得

將式(10)代入式(11)，可得綜合結構的頻響函數矩陣:

從式(12)提取出中間項，可以證明得到

將式(13)代入式(12)，得到最終的綜合結果:

將式(14)與式(2)相比可以發(fā)現，二者在形式上相似，但式(14)的中間項在求逆時引入了連接處部件的阻抗矩陣。根據2.1節(jié)中子結構之間的連接模型，當連接點之間的剛度趨向于無窮大時，Z－1C趨向于零矩陣，退化為剛性連接。式(14)很好地實現了剛性連接和柔性連接的統(tǒng)一處理，且矩陣求逆的階次并未增加，可以應用于不同連接類型的子結構綜合。

3 考慮連接特性的子結構頻響綜合方法實現

本文要實現的是多子結構(包括試驗模型和理論模型)在不同連接特性下的混合綜合，系統(tǒng)結構可以按照功能劃分為輸入模塊、預處理模塊、綜合計算模塊和后處理模塊，實現流程如圖2所示。

圖2 子結構頻響綜合整體流程

3.1 輸入模塊

輸入模塊包括以下三個部分:

(1)子結構的定義。子結構分為試驗子結構和理論子結構。試驗子結構用試驗得到的激勵點和響應點之間的頻響函數數據表示，理論子結構用有限元計算得到的模態(tài)或頻響數據表示。子結構的定義如圖3所示。

圖3 子結構定義模塊

(2)連接集和連接屬性的定義。連接集用來定義子結構之間需要連接的節(jié)點編號和自由度。定義連接屬性時，需要預設不同的連接方式(剛性連接、彈簧連接、動剛度連接等)，定義不同自由度之間的連接剛度和阻尼，為后續(xù)的連接阻抗計算做準備。

(3)組裝結構的定義。定義完所有的子結構、連接集和連接屬性之后，根據計算要求將其引入相應的組裝結構中，就完成了組裝結構的定義，可以進行后續(xù)的處理和計算。

3.2 預處理模塊

預處理模塊包括連接集的預處理和子結構的預處理。連接集的預處理主要用于調整個子結構頻響矩陣的生成順序，為后續(xù)子結構系統(tǒng)的整體頻響矩陣組裝和結果矩陣中各頻響函數的定位做準備。

對子結構的預處理包括試驗子結構的預處理和理論子結構的預處理。子結構預處理的目的是為了得到各個子結構在各離散頻率點的頻響函數矩陣，其預處理流程如圖4所示。

圖4 子結構預處理模塊

在理論子結構的預處理中，按照傳統(tǒng)的模態(tài)分析理論，可以根據結構模態(tài)信息計算得到頻響函數矩陣［12］。由于計算過程涉及多重循環(huán)，運算次數較多，在程序的內層循環(huán)中用向量運算代替浮點數之間的乘法運算，同時，將運算過程中的中間變量存儲下來，以空間換時間，運算效率可以顯著提高。

3.3 綜合計算模塊

由于實驗測試和理論計算所得的頻響函數數據通常是一系列離散頻率點的響應值。同時，考慮到連接特性一般都含與頻率相關的阻尼項，因此，在綜合過程中，連接特性的阻抗矩陣計算和組裝結構的綜合計算都必須在各自離散的頻率點進行。綜合計算模塊具體過程由以下三個步驟來實現:

(1)子結構系統(tǒng)頻響矩陣的組裝。子結構系統(tǒng)整體頻響矩陣的組裝是一個繁瑣而復雜的工作，首先需要對每個子結構按照內部節(jié)點集和連接點集進行分塊取值。分塊完畢后，在子結構系統(tǒng)頻響矩陣中，對所有子結構的所有分塊矩陣進行定位和組裝，最終形成式(1)的形式。

(2)連接部分阻抗矩陣的生成。在已定義的連接集和連接屬性中，根據預設的連接模型計算方法得到各連接自由度之間的連接阻抗。然后，按照連接點順序將其組裝成矩陣，即可得到離散頻率處的阻抗矩陣。

(3)子結構頻響綜合計算。用式(14)進行理論計算。在式(14)中，需要對中間矩陣求逆，還要進行數次矩陣乘法運算，這樣的過程需要在每個離散頻率點進行，矩陣運算的次數將會很多。為了提高計算效率，在具體實現過程中，本文采用了Intel MKL數學計算庫，并用奇異值分解對矩陣求逆，提高了運算結果的可靠性。

3.4 后處理模塊

后處理模塊主要從綜合計算所得的離散頻響矩陣序列中組裝形成不同激勵點和響應點之間的頻響函數，并對每個頻響函數進行定位，然后，根據需求進行幅值、相位等處理，輸出幅頻、相頻曲線。

4 算例研究

4.1 模型描述

圖5所示模型為Esfandiari等［13］提供的一個桁架模型，本文將該桁架結構分為兩個子結構，子結構之間用柔性連接處理。子結構1左端鉸接，子結構2右端簡支。所用桿單元的材料為鋼，彈性模量為20GPa，各桿的截面面積列于表1。子結構1和子結構2 的連接對為(1，8)、(7，11)，分別在X和Y方向用彈性單元連接，連接剛度為108N/m。

圖5 子結構及組合結構有限元模型

表1 桁架中各桿的截面面積

4.2 計算結果分析

首先建立子結構1和子結構2的有限元模型，得到模態(tài)計算結果。將兩個子結構按照柔性連接進行理論子結構之間的頻響綜合，計算得到節(jié)點10X方向的激勵和響應的頻響函數(在頻響計算中，通常用節(jié)點編號加自由度方向表示激勵和響應)。將子結構綜合結果與整體模型頻響計算結果比較，幅頻曲線如圖6所示。從圖6可以看出，子結構頻響綜合結果與整體結構頻響計算結果幾乎完全一致，說明該方法有效。

我們通過對子結構1計算得到的頻響函數分別施加5%和10%的隨機誤差(用來模擬試驗數據)。子結構2仍然采用理論模態(tài)結果計算得到精確的頻響函數。沿用之前的柔性連接條件，計算得到模擬試驗模型和理論模型的頻響綜合結果，并與整體結構的頻響函數比較，觀察綜合結果對誤差的敏感性。圖7、圖8分別表示子結構1的頻響數據施加5%和10%的隨機誤差后的綜合結果。通過對圖7、圖8的比較可知，隨著模擬試驗數據隨機誤差的增大，綜合結果與整體結果之間的誤差也會增大，但二者的整體趨勢仍然保持一致。說明當試驗誤差不是太大的時候，該方法在處理試驗數據和理論模態(tài)混合綜合方面有效。

圖6 理論子結構綜合結果

圖7 引入5%隨機誤差后的混合綜合結果

圖8 引入10%隨機誤差后的綜合結果

5 結語

本文在GRC方法基礎上，引入了子結構之間參數化的連接特性，實現了子結構頻響綜合過程中剛性連接和彈性連接的統(tǒng)一處理，且矩陣求逆的階次并未增加，可以應用于不同連接類型的子結構綜合。同時，實現了試驗子結構和理論子結構的統(tǒng)一處理，即混合建模，并開發(fā)出相應的混合建模求解系統(tǒng)。數值計算表明，在模擬試驗數據加入一定隨機誤差的情況下，綜合結果與整體結果也有較好的適應度。

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