☉浙江省紹興縣稽東鎮(zhèn)中學(xué) 尉嗣侃

思維要“逼”，探究才能進(jìn)行到底
——由一堂《二元一次方程組的圖像解法》的公開課說起

☉浙江省紹興縣稽東鎮(zhèn)中學(xué) 尉嗣侃

“數(shù)學(xué)是思維的體操”，可以鍛煉學(xué)生的思維能力，使其不斷地發(fā)展.《新課標(biāo)》中明確指出數(shù)學(xué)在應(yīng)用方面需要大力加強，鼓勵學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的規(guī)律和問題解決的途徑，使他們經(jīng)歷知識的形成過程.當(dāng)今的數(shù)學(xué)課堂呈現(xiàn)出一種探究式教學(xué)的模式，但何為探究，如何探究，卻引人深思！

部分?jǐn)?shù)學(xué)課堂常常讓學(xué)生討論、交流，或者動手畫一畫、量一量、折一折，教師便問學(xué)生有何發(fā)現(xiàn)，看似探究味兒十足，但學(xué)生其實是被動式的接受知識，數(shù)學(xué)的思維也未得到任何發(fā)展，并不能發(fā)現(xiàn)知識的規(guī)律和本質(zhì).筆者認(rèn)為學(xué)生的思維在一定程度上不得不“逼”，一些簡單的問題或直觀的結(jié)論學(xué)生往往是憑借記憶或感覺而得出的，并不能領(lǐng)悟問題的實質(zhì)，所以教師要在教學(xué)的過程中不停的追問，不停的讓學(xué)生感覺難以回答，于是學(xué)生才會積極在頭腦中搜索知識，這樣思維碰撞后才能“逼”出他們最深層的思想，才能將探究進(jìn)行到底.

筆者就以曾上過的一節(jié)公開課《二元一次方程組的圖像解法》的4個片段入手與讀者交流，共同體會從課堂的點滴出發(fā)，“逼”出學(xué)生的思想，真正讓課堂充滿探究的意味兒.

一、問題情境

師：前面的課中我們學(xué)習(xí)了一次函數(shù)圖像的畫法，下面請同學(xué)們在平面直角坐標(biāo)系中，畫出一次函數(shù)y=－x+3的圖像，并在直線上標(biāo)出任意3個點，寫出相對應(yīng)的坐標(biāo).

（學(xué)生動筆在學(xué)案上畫圖像，并寫出坐標(biāo)，教師巡視時提醒學(xué)生記得在圖像旁標(biāo)明函數(shù)的解析式）

生：我找的三個點的坐標(biāo)為（ 0，3）、（ 1，2）、（ 3，0）.

師：請你將三個點的坐標(biāo)換一種語言轉(zhuǎn)換成我們熟悉的形式，比如（ 0，3）可以轉(zhuǎn)換成當(dāng)x=0時，y=3.

生：（ 1，2）、（ 3，0）分別可以轉(zhuǎn)換成當(dāng)x=1時，y=2；當(dāng)x=3時，y=0.

師：繼續(xù)換個角度來研究，式子y=－x+3其實大家十分熟悉，雖然它現(xiàn)在是一次函數(shù)，但我們對它早就了解，以前它叫什么？

生：二元一次方程.

師：那么當(dāng)x=0時，y=3滿足于二元一次方程y=－x+3嗎？ 當(dāng)x=1時，y=2呢？ 當(dāng)x=3時，y=0呢？

生：均滿足.

師：對于不同的式子說不同的話，既然滿足于方程，那我們要寫成怎樣的形式？

師：直線y=－x+3上有多少個點？不會大家找的都是這三個點吧？有不同的點嗎？

（學(xué)生積極舉手，說出自己所找的點的坐標(biāo)）

師：這些點寫成解的形式是方程y=－x+3的解嗎？

生：是的！

師：如果再找第4個、第5個點呢？你有什么發(fā)現(xiàn)？

分析：通過不停的追問，讓學(xué)生感受從特殊到一般的過程，讓學(xué)生的思維不斷完善，便很容易的歸納出：一次函數(shù)圖像上任意一點的坐標(biāo)都是對應(yīng)的二元一次方程的一組解.

二、建構(gòu)活動

1.方程的解與函數(shù)的點的坐標(biāo)對應(yīng)

師：下面給同學(xué)們一個機會，寫出方程y=－x+3的任意3組解，并把這些解寫成點的坐標(biāo)形式，并在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)標(biāo)出這些點.

（學(xué)生動手操作，并在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)標(biāo)出）

師：你發(fā)現(xiàn)這些點在哪兒？

生：點在直線上.

師：直線有很多條，到底在什么直線上？

生：直線y=－x+3上.

師：那如果我再找?guī)讉€解，寫成點的坐標(biāo)形式，你覺得這些點還在這條直線上嗎？

生：是的！

師：老師突然感覺十分激動，以前二元一次方程的解是一組數(shù)，現(xiàn)在卻能看得見了，你有這樣的感覺嗎？你又有什么發(fā)現(xiàn)呢？

生：二元一次方程組的解在直線上.

師：這說法不對，解怎么可能在直線上？

生：那解寫成坐標(biāo)在直線上！

師：坐標(biāo)也不會在直線上呀？

（學(xué)生此時難以描述，有很多話想說但不知道如何組織語言，思考了幾秒鐘以后，回答出：以二元一次方程的解為坐標(biāo)的點都在對應(yīng)的一次函數(shù)的圖像上）

師：你能用一句通俗易懂的話來總結(jié)上面兩個發(fā)現(xiàn)嗎？

分析：這次的追問“逼”出了學(xué)生的思想，真正明白了對于不同的式子說不同的話，要注意語言的規(guī)范.學(xué)生在仔細(xì)思考后，組織了語言：二元一次方程的解與相對應(yīng)的一次函數(shù)的圖像上的點的坐標(biāo)一一對應(yīng).筆者迅速將其在黑板上記錄，上述一系列的“逼”，使學(xué)生的思維更上了一層，明白了點的坐標(biāo)和方程的解對應(yīng)、方程與函數(shù)的式子對應(yīng)的雙重關(guān)系，這是學(xué)生的第一次思維被完整“逼”出.

2.二元一次方程組的解與函數(shù)圖像的交點的坐標(biāo)對應(yīng)

師：請再畫出y=x－5的圖像，為了節(jié)省紙張，我們畫在同一個平面直角坐標(biāo)系內(nèi)（也為后面的活動埋下伏筆）.

（學(xué)生畫好后，仿照之前的發(fā)現(xiàn)敘述一次對應(yīng)關(guān)系）

師：既然y=x－5與y=－x+3的圖像在同一平面直角坐標(biāo)系中，那我們就來研究一下，這兩條相交直線上有無數(shù)個點，老師覺得有一點很值得研究，你覺得呢？

生：交點很有研究價值.

師：價值在哪兒？

生：它是對應(yīng)的方程組的解.

師：交點會是一個方程組的解嗎？交點不就是一個點嗎？

生（有些著急）：講錯了，是交點的坐標(biāo).

師：那為什么是呢？

生：因為交點既在y=x－5的圖像上，又在y=－x+3的圖像上，所以這個點是公共點，按照我們之前的發(fā)現(xiàn)，公共點的坐標(biāo)對應(yīng)公共解，也就是說這個點的坐標(biāo)既符合方程y=x－5，又符合方程y=－x+3，也就是公共解，兩個方程的公共解就是方程組的解，所以這個交點的坐標(biāo)就是對應(yīng)的方程組的解.

（這次的追問讓學(xué)生說出了自己的完整想法，也讓結(jié)論更加清晰）

師：難道同一平面直角坐標(biāo)系中，兩條直線一定有一個交點嗎？

分析：不停的“逼”，讓學(xué)生的思維主動“跳”了出來，對知識更加明確，于是回答：如果兩個一次函數(shù)的圖像有一個交點，即兩直線相交，那么二元一次方程組有唯一解，交點的坐標(biāo)就是相對應(yīng)的二元一次方程組的解；如果兩個一次函數(shù)的圖像有無數(shù)個交點，即兩直線重合，那么相對應(yīng)的二元一次方程組有無數(shù)組解；如果兩個一次函數(shù)的圖像沒有交點，即兩直線平行，那么相對應(yīng)的二元一次方程組無解.學(xué)生的這個回答比書本上的結(jié)論還要完整，也充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)結(jié)論是在不斷完善中形成的，筆者給予學(xué)生高度的贊賞，第二次的“逼”達(dá)到了完美的效果.

（筆者立馬出了幾個訓(xùn)練題強化二元一次方程組的解與交點坐標(biāo)對應(yīng)的題）

三、數(shù)學(xué)化認(rèn)識

師：看到這個二元一次方程組，你有什么想法？

生：除了可以利用加減消元法、代入消元法，還可以利用找交點的方法來解.

師：那你會怎么找交點來解呢？要經(jīng)歷哪些步驟？

生：首先把方程形式轉(zhuǎn)換成函數(shù)形式，接著在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫圖像并找到交點，最后轉(zhuǎn)換成解的形式.

師：很好，可以簡記為變函數(shù)、畫圖像、找交點、寫結(jié)論.

分析：這次的“逼”讓學(xué)生多了一種方法來解決二元一次方程組的解，并了解這種圖像解法的步驟，雖然學(xué)生體會到方程和函數(shù)之間的聯(lián)系，但并不了解為何要學(xué)習(xí)這節(jié)課，用意何在，為何要將一個簡單的題目復(fù)雜化.

（筆者針對這類題給予了一個例題，并板書格式、步驟）

四、能力拓展

1.以圖看解

圖1

師：你能解釋一下嗎？

生：通過上面的發(fā)現(xiàn)知道交點的坐標(biāo)就是方程組的解.

師：我們上面講的是二元一次方程組的圖像解法，而這個圖像所表示的好像不是一次函數(shù)吧？那你又有什么發(fā)現(xiàn)呢？

生：如果兩個圖像有交點，那么交點的坐標(biāo)就是對應(yīng)的方程組的解，我們可以擴(kuò)展為通過交點來求二元高次方程組的解了.

分析：這個“逼”讓學(xué)生逐漸意識到圖像解法是一個通法，“逼”學(xué)生說出可以用其解決二元高次方程組的解，但有的學(xué)生依然會用以前的方法解決本題，而有些學(xué)生已經(jīng)逐步意識到圖像解法也是應(yīng)該掌握的一個方法了.

2.以題作圖

（學(xué)生知道這節(jié)課在學(xué)圖像解法，但是仍然喜歡用自己原先學(xué)過的消元法，因為學(xué)生覺得消元法更簡單、更熟悉、更方便，于是將這個方程組消去y，得到含有x的方程：x5－x－1=0，看到這個方程，學(xué)生們徹底放棄，因為他們根本不會解，這正是筆者想要的結(jié)果，為筆者的下一個“逼”提供了幫助）

師：我相信大家肯定嘗試了原來的方法，你會解嗎？其實老師也不會，那我們該怎么辦呢？

生：用圖像法試試吧！

師：對于消元法，雖然有時候很簡單，但遇到不會解的方程你就無從下手了，而圖像人人都會畫，多找一些點圖像就會更精確，那我們用圖像法試試看.

（為了節(jié)省時間，筆者用幾何畫板展示了兩個函數(shù)的圖像，并清晰的找到了交點，雖然交點的坐標(biāo)是近似數(shù)，但方法顯然是可行的）

分析：通過這次的“逼”，讓學(xué)生無計可施，終于在此時感受到今天的學(xué)習(xí)是有價值的，圖像解法也是一種學(xué)習(xí)過程中必不可少的方法.

（學(xué)生想都不想，看到五次方馬上開始動手畫圖像）

師：有人發(fā)現(xiàn)了什么嗎？

生：畫圖像來解決此題！

師：一定要畫圖像嗎？你用以前的方法看看.

（學(xué)生將這個方程組消去y，得到含有x的方程：x5=x，看到這個方程恍然大悟，很快解出了方程組，覺得又被老師欺騙了）

為了讓學(xué)生得到更加清晰的結(jié)果，筆者用幾何畫板展示了圖像并找到了交點，直觀的幾何畫板展示讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)用圖像和消元法的結(jié)果是一樣的.

分析：通過這次的“逼”，學(xué)生清晰地意識到圖像解法是正確的方法，在遇到不會求解的二元高次方程組的時候利用圖像解法能體現(xiàn)其優(yōu)勢，真正的學(xué)以致用，明白選對方法很重要.

上面幾個片段中，雖然沒有一處讓學(xué)生開展討論，但是處處滲透探究，從一節(jié)課的開始到一節(jié)課的結(jié)束都以問題為核心，不停根據(jù)學(xué)生的回答繼而追問，用一個又一個的問題“逼”學(xué)生展示自己，“逼”學(xué)生說出自己的最真實想法，不斷地使學(xué)生的知識內(nèi)化，轉(zhuǎn)為生成經(jīng)驗，也“逼”出了本節(jié)課的規(guī)律.所以無論何時，數(shù)學(xué)課堂不得不“逼”，這樣才能探數(shù)學(xué)之實質(zhì)，究數(shù)學(xué)之本質(zhì)，讓探究進(jìn)行到底！