高法金 賈海山

（1.山東工商學院 信息與電子工程學院，山東 煙臺 264005；2.煙建集團 第十建安公司，山東 煙臺 264000）

彈簧振子是大學物理的重要組成部分，也是一個重要的物理模型。在一般大學物理的教學中都會講授靜摩擦因數(shù)和動摩擦因素，并且在處理和求解問題的過程中都近似認為最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，即靜摩擦因數(shù)等于動摩擦因數(shù)。一般而言，靜摩擦因數(shù)大于動摩擦因素，然而這種差別對物體運動的影響，在教學過程并沒有得到詳細的闡述。本文以水平面上放置的彈簧振子為例，系統(tǒng)的分析了摩擦力對彈簧振子運動規(guī)律的影響。

如圖1所示，水平放置一個彈簧，以恒定速度v0向右運動。

圖1

建立右向為正方向的x軸，設零時刻彈簧處于原長狀態(tài)，彈簧振子的坐標為零，速度為零。彈簧振子的質量為m，彈簧的倔強系數(shù)為k。

若地面光滑，根據(jù)受力分析，由牛頓第二定律得

利用初始條件t=0,x=0,v=0,a=0求得微分方程的解為彈簧振子的速度為

若地面有摩擦力，且動摩擦因數(shù)μ等于靜摩擦因數(shù)μ0時，由于t=0時，彈簧處于原長，所以在t=0到t=gμ/ω2v0這段時間內，彈簧振子處于靜止狀態(tài)。

此后時刻，彈簧振子開始運動，對其受力分析，由牛頓第二定律得

利用初始條件t=gμ/ω2v0，x=0,v=0,a=0求得微分方程的解為

則彈簧振子的速度為

由此式可看出，當靜摩擦因數(shù)等于動摩擦因數(shù)時，彈簧振子運動的速度與地面光滑的情形相比，只不過相差一個初相位，其運動規(guī)律相同。

而當?shù)孛嬗心Σ亮Γ潇o摩擦因數(shù)大于動摩擦因數(shù)時（μ0＞μ），彈簧振子的運動比較復雜。初始時刻（t=0），彈簧振子的速度為零，在t=gμ/ω2v0時，彈簧振子受到最大靜摩擦力，彈簧振子開始運動。在其開始運動瞬時，彈簧振子受到的摩擦力發(fā)生突變，由最大靜摩擦力突變?yōu)榛瑒幽Σ亮?，對彈簧振子受力分析，由牛頓第二定律得，其當彈簧振子的速度再次為零之前，彈簧振子的運動速度為

利用數(shù)值計算，下圖給出了彈簧振子的速度圖像。

圖2

當靜摩擦因數(shù)大于動摩擦因數(shù)，由彈簧振子運動速度的解析解和其運動的圖像可知，彈簧振子在整個運動過程做滑阻運動。彈簧振子的振幅A大于未受摩擦力或靜摩擦因數(shù)等于動摩擦因數(shù)時的振幅v0。當靜摩擦因數(shù)等于動摩擦因數(shù)時，彈簧振子靜止的時間為零，由此可見，靜摩擦因數(shù)大于動摩擦因數(shù)導致彈簧振子做滑阻運動。另外，彈簧振子靜止的時間也與彈簧振子的質量，彈簧的倔強系數(shù)以及牽引速度v0有關。

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