郭 靖
(陜西省山陽(yáng)中學(xué),陜西 山陽(yáng) 726400)
我們知道整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容,始終貫穿著數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法這兩條線?;瘹w方法是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要數(shù)學(xué)方法之一。所謂“化歸”就是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡(jiǎn)稱?;瘹w方法是數(shù)學(xué)解決問題的一般方法。其基本思想是:人們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問題時(shí),常常是將待解決的問題A通過某種轉(zhuǎn)化手段,歸結(jié)為另一個(gè)問題B,而問題B是相對(duì)較易解決或已有固定解決程式的問題,且通過對(duì)問題B的解決可得原問題A的解答。
下面就化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用結(jié)合例題談幾點(diǎn)筆者的體會(huì)。
將陌生的問題向已知熟悉的知識(shí)轉(zhuǎn)化,使之能用熟悉的知識(shí)和方法解決新的問題。這種轉(zhuǎn)化常常可達(dá)到事半功倍的效果,使一些陌生的新問題變得迎刃而解。例如,在一次作業(yè)批改過程中,我發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)下面一道題目做錯(cuò)的特別多:
講評(píng)時(shí),我并沒有直接就題講題,而是給出了下面一道題目:
對(duì)于變式題,同學(xué)們很快給出了正確解答——“1”的代換,再用基本不等式,這是同學(xué)們?cè)缫咽煜ち说囊环N常用方法。接著,我又引導(dǎo)同學(xué)們比較兩題目的區(qū)別與聯(lián)系:顯然,在0<x<的條件下,sinx>0,1-sinx>0 且 sinx+(1-sinx)=1, 若令 a=sinx,b=1-sinx 則兩問題本質(zhì)上完全相同。至此,同學(xué)們恍然大悟,感嘆道:“這真是:山窮水復(fù)凝無路,柳暗花明又一村”——此化歸之妙哉!
復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化是數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用最普遍的思考方法,一個(gè)難以直接解決的問題通過對(duì)問題深入觀察和研究,轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的問題迅速求解。例如:
【說明】(1)﹑(2)兩問較為容易,在此不再贅述。 (3)問標(biāo)答所給的證明方法中學(xué)生接受起來有一定的困難,在一次高考復(fù)課研討會(huì)上,講課老師曾給出了多種證法,但所用到的知識(shí)均有超出中學(xué)所學(xué)知識(shí)范圍之嫌,在現(xiàn)行的新課標(biāo)中,教材雖有所涉及,但均屬選修內(nèi)容,且難度較大。事實(shí)上,我們圍繞目標(biāo)分析,經(jīng)過一系列的化歸不難解決。
又
又由數(shù)學(xué)歸納法容易證明,當(dāng)n≥3時(shí),3n>2(n2+n)即
故原不等式成立。
這樣,使得一些表面看似很復(fù)雜的問題,通過一步一步的化歸轉(zhuǎn)化變得也不再十分復(fù)雜。
在新課程標(biāo)準(zhǔn)中,明確提出“讓學(xué)生學(xué)有用的數(shù)學(xué)”,把數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用能力提高到了一個(gè)非常重要的地位,函數(shù)、數(shù)列……中學(xué)課本所有內(nèi)容無不體現(xiàn)這一重要思想,而要把一個(gè)實(shí)際問題用數(shù)學(xué)知識(shí)來解決,數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)也就自然成了重中之重,因此在日常的教學(xué)中,我們應(yīng)該潛意識(shí)的注重培養(yǎng)學(xué)生一些基本的數(shù)學(xué)模型能力。例如:
例3 (07廣東高考理科第12題)如果一個(gè)凸多面體為n棱錐,那么這個(gè)凸多面體的所有頂點(diǎn)所確定的直線共有_____條。這些直線中共有 f(n)對(duì)異面直線,則 f(4)=_____;f(n)=_____。 (答案用數(shù)字或 n的解析式表示)
圖1
分析:因?yàn)閚棱錐共有n+1個(gè)頂點(diǎn),任意兩點(diǎn)可連一直線,故所有頂點(diǎn)所確定的直線共有
對(duì)于f(n)的計(jì)算可將問題化歸為過這n+1個(gè)頂點(diǎn)可構(gòu)成多少個(gè)三棱錐,因?yàn)橐粋€(gè)三棱錐中共有3對(duì)異面直線——這是我們所熟悉的問題。而n棱錐的n+1個(gè)頂點(diǎn)中,任選四個(gè)能構(gòu)成三棱錐的必含棱錐頂點(diǎn),再?gòu)牡酌娴膎個(gè)頂點(diǎn)中人選3個(gè),故,進(jìn)而易得 f(4)=12。
總之,在數(shù)學(xué)中化歸的思想與方法幾乎是無處不在,無時(shí)不在?;瘹w的思想在數(shù)學(xué)的研究和學(xué)習(xí)中應(yīng)用十分廣泛,重視這種方法在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運(yùn)用,對(duì)學(xué)生思維的靈活性、廣闊性、敏捷性、創(chuàng)造性,及去發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力將有重要的意義。
從廣義上說,數(shù)學(xué)問題的求解都是運(yùn)用已知條件對(duì)問題進(jìn)行一連串恰當(dāng)轉(zhuǎn)化歸結(jié),進(jìn)而達(dá)到解題目的一個(gè)探索過程,熟練、恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化可以迅速、準(zhǔn)確地解決問題。靈活的轉(zhuǎn)化可以出方法、出速度。而數(shù)學(xué)問題中運(yùn)用化歸思想解題的例子比比皆是,絕不是幾種類型可以加以概括的,平時(shí)教學(xué)中,只要我們教師具有化歸的思想意識(shí),深入鉆研教材、挖掘和提煉中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的轉(zhuǎn)化矛盾思想,針對(duì)不同的問題,縝密思考,及時(shí)總結(jié)各種“轉(zhuǎn)化歸結(jié)”方法,有意識(shí)地加強(qiáng)化歸方法的教學(xué),對(duì)于培養(yǎng)造就“發(fā)現(xiàn)”、“創(chuàng)新”型人才具有十分深遠(yuǎn)的意義。
[1]張景斌,主編.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)教程[M].
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[3]蘇炳堂.淺談化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].中小學(xué)教育,2010(11).