呂端良 王云麗

(山東科技大學(xué) 泰安校區(qū)，山東 泰安 271000)

高等數(shù)學(xué)中微分中值定理的證明方法比較多，本文受高等數(shù)學(xué)(同濟(jì)五版)P132頁(yè)第13題啟發(fā)，通過構(gòu)造一個(gè)三階行列式輔助函數(shù)，應(yīng)用Rolle微分中值定理，證明了Lagrangge微分中值定理和Cauchy微分中值定理。

定理 設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)、h(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn) ζ，使得

則有該函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且根據(jù)行列式的性質(zhì)得

所以函數(shù)F(x)在區(qū)間[a，b]上滿足Rolle微分中值定理的條件，故由Rolle微分中值定理知，在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn) ζ，使得 F'(ζ)=0

又根據(jù)行列式的性質(zhì)及求導(dǎo)公式得F'(x)=

推論1.(Lagrange微分中值定理) 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ζ使得

證明 構(gòu)造輔助函數(shù)，在定理1證明中的輔助函數(shù)F(x)里，令g(x)=x、h(x)=1，該定理就得到了證明。

推論2.(Cauchy微分中值定理) 設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ζ，使得

證明 構(gòu)造輔助函數(shù)，在定理1證明中的輔助函數(shù)F(x)里，令h(x)=1，該定理就得到了證明。

[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.《高等數(shù)學(xué)》.高等教育出版社.2011.5