張文昌，梅江平，劉 藝，張 新

(天津大學(xué)機(jī)構(gòu)理論與裝備設(shè)計教育部重點實驗室，天津 300072)

同串聯(lián)機(jī)構(gòu)相比，并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端由多條支鏈同基座相連，具有負(fù)載能力強，速度快，重復(fù)性好等優(yōu)勢．然而，自由度過約束、被動鉸鏈較多使得其精度較難保證，研究表明制造和裝配引起的幾何誤差是造成并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端位姿誤差的重要原因[1]，精度標(biāo)定是改善并聯(lián)機(jī)構(gòu)幾何精度的有效手段，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的標(biāo)定方法可以分為自標(biāo)定法[2-4]和外部標(biāo)定法[5-12]兩類.自標(biāo)定法利用內(nèi)部傳感器或施壓外約束獲得測量信息，Chiu等[2]利用安裝在靜平臺和動平臺之間的可伸縮桿實現(xiàn)了對Hexapod并聯(lián)機(jī)床的標(biāo)定；邵珠峰等[3]借助靜平臺上的標(biāo)準(zhǔn)定位圓孔，通過儀器對拉線式編碼器進(jìn)行標(biāo)定，進(jìn)而利用線尺在線測量、記錄機(jī)構(gòu)中的實際位姿，結(jié)合數(shù)控系統(tǒng)中的理論軌跡，實現(xiàn)了 3-RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的參數(shù)辨識；常鵬等[4]針對平面三自由度冗余驅(qū)動并聯(lián)機(jī)床提出了基于最小線性組理論的分步自標(biāo)定方法，可以屏蔽掉不影響終端精度的無關(guān)參數(shù)．自標(biāo)定方法的不足在于有些機(jī)構(gòu)的被動鉸鏈安裝傳感器較為困難甚至不可能(如球鉸鏈)．外部標(biāo)定法利用外部傳感器檢測末端位姿信息，并構(gòu)造它們與模型計算值之間的殘差，進(jìn)而通過相應(yīng)的逆解或者正解辨識模型來識別幾何參數(shù)．Besnard和 Soons等[5-6]分別探討了檢測末端位姿誤差子集以識別幾何參數(shù)的可行性；黃田等[7-8]提出一種基于最小誤差子集檢測信息的精度標(biāo)定方法，并通過仿真驗證了方法的有效性；常鵬等[9]認(rèn)為并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端精度是由一組最少參數(shù)線性組合決定的，并提出4個定理進(jìn)行最少參數(shù)線性組合的辨識行分析；劉大煒等[10]對一類特殊三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了精度分析，得到機(jī)構(gòu)各誤差源對末端精度的影響因子，并結(jié)合零部件的加工工藝確定需要標(biāo)定的誤差源，他們的研究為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的標(biāo)定奠定了理論基礎(chǔ)．Rauf等[11]通過使用一套包括雙周傾角傳感器、線性可變差動變壓換能器以及旋轉(zhuǎn)傳感器的設(shè)備為測量手段對六自由度的 HexaSlide機(jī)構(gòu)進(jìn)行了標(biāo)定研究，使其精度得到了大幅度提高，但魯棒性相對較差．Alberto等[12]以計算機(jī)視覺為測量手段對并聯(lián)機(jī)構(gòu)的標(biāo)定進(jìn)行了研究，經(jīng)濟(jì)性更強，但這類方法受視覺系統(tǒng)測量精度的限制．

筆者以Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對象，在前人工作的基礎(chǔ)上，對影響末端精度的幾何誤差源進(jìn)行了分析和研究，建立了Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運動學(xué)誤差模型，進(jìn)而以激光跟蹤儀為測量工具，提出一種步進(jìn)迭代的誤差參數(shù)識別方法，并通過實驗證明所提方法的有效性.

1 機(jī)構(gòu)運動學(xué)誤差模型

如圖 1所示，Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)由靜、動平臺和 3條對稱分布的支鏈組成．各支鏈中，主動臂與靜平臺經(jīng)轉(zhuǎn)動鉸連接，從動臂為2條等長的從動桿組成的平行四邊形結(jié)構(gòu)，兩端分別與主動臂及動平臺由球鉸連接．3個主動臂在伺服電機(jī)驅(qū)動下可獨立轉(zhuǎn)動，進(jìn)而使動平臺實現(xiàn)三維平動．

圖1 Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.1 Delta parallel robot

Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)模型如圖 2所示，Ci和 Di分別為從動臂與主動臂及從動臂與動平臺連接的球鉸中心連線中點，EiFi為從動臂的一條從動桿．系Oxyz為Delta機(jī)器人坐標(biāo)系，原點O位于機(jī)器人設(shè)計工作空間中心，控制動平臺分別沿x、y軸運動，系Oxyz的x、y軸分別與其重合，z軸滿足右手定則．為了便于建立機(jī)構(gòu)誤差模型，建立支鏈參考坐標(biāo)系 Bixiyizi，xi與鏈中主動臂理想回轉(zhuǎn)軸軸線重合，原點 Bi為 Ci到xi軸的交點，yi軸在△B1B2B3內(nèi)．動平臺中心點P在Oxyz下的度量記為r，表示為

式中：rOBi

為 Bi點在系Oxyz下的位置矢量；l1i為機(jī)械手主動臂的長度；ui為主動臂單位方向矢量；rCiEi為Ci到 Ei的位置矢量；為 Ei到 Fi的位置矢量；rFiDi為 Fi到 Di的位置矢量；rDiP為 Di到P的位置矢量.

圖2 Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系Fig.2 Delta parallel robot coordinate

唐國寶等[7]針對該機(jī)構(gòu)的末端精度進(jìn)行了理論方面的探討，指出影響該機(jī)構(gòu)末端精度的全部幾何誤差源在所建立的機(jī)器人坐標(biāo)系下可由 36項參數(shù)表示，其中影響末端姿態(tài)精度的參數(shù) 12項，這些參數(shù)等價于從動臂支鏈的平行四邊形結(jié)構(gòu)對邊是否平行，該機(jī)構(gòu)中姿態(tài)誤差屬于不可控誤差，因此需要通過合理制造裝配工藝保證從動臂的平行四邊形結(jié)構(gòu)來抑制；影響機(jī)構(gòu)末端位置精度的參數(shù) 24項，通過運動學(xué)標(biāo)定可得到有效補償．在保證從動臂平行四邊形機(jī)構(gòu)對邊平行的基礎(chǔ)上，可視從動臂為單桿，將 Ci、Di兩點之間的距離視為從動臂的有效長度，記從動臂的有效長度為 l2i，單位方向矢量為 wi．同時，矢量rDiP、rOBi為常數(shù)，式(1)可簡化為

式中：l2iwi= rCiEi+ rEiFi+rFiDi；bi= rOBi+rDiP．

記αi表示主動臂轉(zhuǎn)軸軸線關(guān)于yz平面的結(jié)構(gòu)角；βi表示主動臂轉(zhuǎn)軸軸線xi關(guān)于xy平面的結(jié)構(gòu)角；θi表示主動臂繞 xi軸的位置角，理論上 αi=?π / 6 + 2 π( i ?1)/3,βi=0．影響該機(jī)構(gòu)末端位置誤差的24項幾何參數(shù)包括：3項零點誤差Δθ0i，3項軸向互成120°誤差Δαi，3項主動臂驅(qū)動軸軸線相對靜平臺基準(zhǔn)面平行度誤差Δβi，9項主動臂轉(zhuǎn)軸中點位置誤差Δbi(即x向誤差Δbix，y向誤差Δbiy，z向誤差Δbiz)，3項主動臂桿長誤差 Δ l1i，3項從動桿桿長誤差 Δ l2i(i = 1 ,2,3)，Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)的 24誤差參數(shù)運動學(xué)逆解模型和運動學(xué)正解模型如下．

1.1 24參數(shù)運動學(xué)逆解模型

通過坐標(biāo)系變換得到 ui：令 ui與y軸重合，然后將 ui繞z軸轉(zhuǎn)動 αi?π2，之后再繞yi轉(zhuǎn)動βi，最后再繞xi′軸轉(zhuǎn)動θi．

將式(2)改寫為

兩端同乘各自的轉(zhuǎn)置，得

將iu帶入式(5)，并轉(zhuǎn)變?yōu)槿呛瘮?shù)式形式

式 中 ： Ai= ? 2 l1i[ (x ? bix) sin αis i n βi+ ( y ? biy) (? c osαi?sin βi)+(z ? biz) cosβi] ;Bi= ? 2 l1i[ (x ? bix) cosαi+(y ?biy)sinαi];

結(jié)合機(jī)構(gòu)的裝配模式，得

1.2 24參數(shù)運動學(xué)正解模型

將閉環(huán)方程(3)兩端同乘各自的轉(zhuǎn)置，得

即

其中 r = [x,y,z]T，將式(9)展開可解得

2 機(jī)構(gòu)誤差參數(shù)辨識

2.1 誤差源分析

影響Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端位置精度的24項幾何參數(shù)是在建立的機(jī)器人坐標(biāo)系下度量的，由于所涉及參數(shù)位置關(guān)系之間的相對性，它們之間存在一定的相關(guān)性，即建立Delta機(jī)器人坐標(biāo)系Oxyz時：

(1) 若坐標(biāo)系Oxyz原點平移ΔT ，B1、B2、B33點位置矢量誤差同時變化ΔT；

(2) 若坐標(biāo)系Oxyz繞z軸旋轉(zhuǎn)Δθ，α1、α2、α33個結(jié)構(gòu)角誤差同時變化Δθ；

(3) 若坐標(biāo)系Oxyz繞 x軸或 y軸旋轉(zhuǎn)一定角度，B1、B2、B33 點和α1、α2、α33 個結(jié)構(gòu)角也同時產(chǎn)生聯(lián)動的誤差．

因此，可按照如下條件建立 Delta機(jī)器人坐標(biāo)系Oxyz：

(1) 坐標(biāo)系Oxyz的 xy平面同機(jī)構(gòu) B1、B2、B33點所在平面平行；

(2) B1點位置矢量無誤差，即 Δ bi=0；

(3) 支鏈 1主動臂轉(zhuǎn)軸軸線關(guān)于z軸的結(jié)構(gòu)角無誤差，即Δα1=0．

此時，影響 Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端位置精度的幾何誤差參數(shù)可簡化為 18項，如表 1所示，“√”表示需要標(biāo)定計算的誤差參數(shù)，“×”表示該項誤差參數(shù)為0，不需要標(biāo)定計算．

表1 Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)幾何誤差源Tab.1 Delta parallel robot geometric errors

2.2 基于步進(jìn)迭代法的參數(shù)辨識

運動學(xué)標(biāo)定中的核心內(nèi)容是根據(jù)所使用測量儀器的特點，以實測信息與理想模型輸出之間的殘差為構(gòu)造誤差辨識模型，進(jìn)而識別幾何誤差模型，如圖 3所示.

圖3 運動學(xué)標(biāo)定過程Fig.3 Kinematic calibration process

將前述 Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正解和逆解映射關(guān)系分別表示為

式中：p為真實的幾何參數(shù)集合{θ0ibil1il2iαiβi}(i =1,2,3)；q為主動關(guān)節(jié)變量{θi}(i= 1 ,2,3)．由于幾何誤差源的存在，p中各參數(shù)實際有效值同設(shè)計值之間存在一定的偏差，設(shè) p =p0+Δp，p0表示理想模型中的幾何參數(shù)集合，Δp為幾何參數(shù)誤差．為了辨識幾何誤差參數(shù)Δp，本文借助激光跟蹤儀為測量工具，提出一種步進(jìn)迭代的參數(shù)求取方法．方法描述如下．

在 Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)理論工作空間中選取 n個測點，各測點的主動關(guān)節(jié)變量 qi可以通過機(jī)構(gòu)理論模型位置逆解獲得，控制機(jī)構(gòu)末端運行至所選取測點處，用激光跟蹤儀測量其在激光跟蹤儀坐標(biāo)系下的空間坐標(biāo)．設(shè)任意 2個測點在機(jī)構(gòu)正解模型下的位置坐標(biāo)分別為 ri和 rj，在激光跟蹤儀坐標(biāo)系下的實際坐標(biāo)為 Ri和 Rj．如圖 4所示，Oxyz表示基于正解模型的坐標(biāo)系，為誤差坐標(biāo)系，圖中用折線表示，OwXwYwZw表示激光跟蹤儀坐標(biāo)系．

圖4 2個測點在2個坐標(biāo)系下的度量Fig.4 Coordinates of 2 points under two coordinate systems

定義殘差

定義誤差評價函數(shù)

理論上存在某一Δp使得L=0，但是由于不可補償誤差、測量誤差等因素的影響，在實際計算時以 L最小為原則來計算Δp．步進(jìn)迭代法求取Δp過程如下.

步驟 1定義各誤差參數(shù)初始值 Δ p = [ Δp1Δp2…Δpn]和初始搜索步長 s tep = [s1s2…sn]，并由式(13)求取L．

步驟 2 重新確定step，方式如下：對于step的第k個參數(shù)，令 Δ pk=Δpk+ ξ ，將 Δ p= [ Δ p1… Δ pk… Δ pn]，代入式(13)，求取 L′( k =1,2,… ,n)

若 L ′≤L,sk≥0，則sk←1.5sk；

若 L ′≤ L ,sk＜0，則 sk← ? 0 .5sk；

若 L ′＞L,sk≥0，則sk← ? 0 .5sk；

若 L ′＞L,sk＜0，則sk←1.5sk．其中ξ為一微小量，確定step后，令Δ p = Δ p + step，重新求取L．

步驟3 判斷step模值，即

若step ＞ ζ，重復(fù)步驟2

若step ≤ ζ，循環(huán)結(jié)束，此時Δp即為最終結(jié)果，其中ζ為一微小量．不失一般性，在Δp求取時，定義初 始 值 Δp = [00 … 0 ]，初 始 搜 索 步 長 s tep=[0.010.01…0.01]，微小量ξ = ζ = 1× 1 0?5．

以任意兩點距離理論值和測量值之間的殘差定義評價函數(shù)，通過迭代的方式計算幾何誤差參數(shù)，同通用方法相比，省去了牛頓-高斯法求取誤差雅可比矩陣的過程，算法更為簡單．

3 實 驗

實驗所用 Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)主動臂和從動臂名義長度l1i= 3 50mm，l2i= 9 50mm，主動臂轉(zhuǎn)軸中心位置矢量模長名義尺寸bi=149mm．制造裝配時已經(jīng)保證了末端動平臺姿態(tài)誤差較小(0.1,mm/m)，標(biāo)定前首先用水平儀將機(jī)械手3個主動臂置水平，并將該位置定為機(jī)械手初始零點．標(biāo)定前先用激光追蹤儀檢測該并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端在工作空間多個點位的定位精度，測量結(jié)果為：平均體積誤差 0.73,mm，最大體積誤差2.52,mm．

設(shè)計標(biāo)定測量點位在理想模型中坐標(biāo)如表 2所示，同時用激光跟蹤儀測量機(jī)構(gòu)末端在各個點位時激光跟蹤儀坐標(biāo)系下的實際空間坐標(biāo)(見圖 5)，測量結(jié)果如表3所示．

表2 測點理論坐標(biāo)Tab.2 Points’ coordinates under robot-coordinate system mm

表3 激光追蹤儀測量各點位空間坐標(biāo)Tab.3 Points′space coordinates under laser trackercoordinate system mm

圖5 激光追蹤儀檢測標(biāo)定點空間坐標(biāo)Fig.5 Measurement by laser tracker

利用第 2節(jié)所述誤差參數(shù)辨識方法進(jìn)行誤差參數(shù)辨識，辨識結(jié)果如表 4所示．利用辨識出的誤差參數(shù)修正 Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運動學(xué)模型，利用激光跟蹤儀重新檢測其末端的定位精度，測量結(jié)果為：平均體積誤差0.06,mm，最大體積誤差0.26,mm．對18項幾何誤差進(jìn)行辨識補償后，Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)精度得到大幅度提高，證明了所提方法的有效性．

表4 誤差源參數(shù)辨識結(jié)果Tab.4 Identification results of geometry errors

4 結(jié) 論

(1) 建立了 Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)運動學(xué)模型，對影響Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端精度的幾何誤差源進(jìn)行了分析，指出這些誤差源可以簡化為18項．

(2) 以激光追蹤儀作為測量工具，設(shè)計了一種步進(jìn)迭代的誤差參數(shù)辨識方法，該方法簡單高效，便于實施．并進(jìn)行了標(biāo)定實驗，標(biāo)定前，Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)平均誤差 0.73,mm，最大誤差 2.52,mm．標(biāo)定補償后Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)精度大幅度提高至平均誤差0.06,mm，最大誤差0.26,mm．

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