高順德，楊 超，滕儒民，田鳳帥，趙 超

（1.大連理工大學 機械工程學院，遼寧 大連 116023；2.大連益利亞工程機械有限公司，遼寧 大連 116023）

全地面起重機具有起重量大、起升高度高、作業(yè)半徑大以及適應(yīng)能力強等諸多優(yōu)點，逐漸成為移動式起重機市場的主力軍［1］.但較大的起升高度和作業(yè)半徑會導致起重機在回轉(zhuǎn)過程中吊重的擺振更為明顯，從而降低吊裝就位精度，同時對起重機臂架系統(tǒng)產(chǎn)生較大的周期性附加動載荷，影響起重機臂架力學性能及整機穩(wěn)定性.為了提高起重機作業(yè)效率和操作安全性，研究回轉(zhuǎn)過程中吊重擺振特性，對于指導全地面起重機的結(jié)構(gòu)設(shè)計和控制編程具有重要意義.

目前國內(nèi)外學者對起重機吊重擺振特性進行了大量的研究，但主要集中在小車－吊重系統(tǒng).如SINGHOSE W［2］等對龍門式起重機在起升運動時吊重擺動及控制進行了研究.吳曉等［3］根據(jù)起重機小車－吊重系統(tǒng)的三維動力學模型建立了吊重擺振的二自由度擺角動力學模型，通過線性簡化從模型中找出了影響擺角大小的主要因素.董明曉等［4］基于非慣性參考系中質(zhì)點相對運動動力學基本方程，建立塔式起重機同時進行變幅、回轉(zhuǎn)、起升運動的情況下載荷擺動動力學方程.王幫峰等［5］采用機器人動力學方法建立吊重擺振的動力學模型并提出了最優(yōu)調(diào)節(jié)器理論的控制方案，但所研究起重機模型僅包含主臂.

本文以某1 200t全地面起重機塔臂工況為研究對象，基于機器人動力學理論，將全地面起重機塔臂工況時的結(jié)構(gòu)等效成5個桿件串聯(lián)的開鏈機械手形式，建立吊重擺振的動力學方程，對全地面起重機塔臂工況回轉(zhuǎn)過程吊重擺振動態(tài)特性進行了研究，分析了影響吊重偏擺角大小的因素.

1 吊重擺振動力學方程

1.1 吊重擺振動力學模型

根據(jù)全地面起重機塔臂工況的結(jié)構(gòu)特點（見圖1）和機器人相關(guān)理論，當只考慮起重機的回轉(zhuǎn)運動，可將全地面起重機等效為具有5個桿件的串聯(lián)開鏈機器人系統(tǒng).如圖2所示，全地面起重機塔臂工況的機器人模型，機座0為起重機底盤支撐結(jié)構(gòu)，桿件1為轉(zhuǎn)臺，關(guān)節(jié)變量θ1為轉(zhuǎn)臺回轉(zhuǎn)角度，桿件2為主臂，桿件3為塔臂，關(guān)節(jié)變量θ2，θ3分別為主臂變幅角和塔臂變幅角，桿件5為吊繩和吊重，ri（i＝1，2，3，4，5）為各桿件質(zhì)心到桿件坐標系原點的距離.引入長度和質(zhì)量均為零的虛擬桿件4，利用與之相關(guān)的關(guān)節(jié)變量θ4，θ5及吊繩的長度來描述吊重相對于吊點的空間擺振位置.在本文研究中，視各桿為剛性，忽略吊繩的質(zhì)量及吊重尺寸對起重機回轉(zhuǎn)運動的影響，忽略系統(tǒng)阻尼和風載的影響，吊繩的剛度足夠大，不考慮其彈性變形.

圖1 全地面起重機塔式副臂工況結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Tower jib operation of all terrain crane

圖2 全地面起重機塔臂工況的機器人模型Fig.2 Robotic modeling of all terrain crane with tower jib

采用Denavit－Hartenberg方法確定齊次坐標變換矩陣A，表示相鄰兩桿件相對位置和方向的關(guān)系［6］.采用下關(guān)節(jié)的坐標建立方法建立桿件坐標見圖2，則各關(guān)節(jié)處對應(yīng)的矩陣為

式中：ai－1為桿件的長度，i＝1，2，3，4，5；αi－1為桿件的扭角.

由于D－H方法對關(guān)節(jié)變量的規(guī)定，使得用θ4描述吊重在變幅平面內(nèi)的擺振（徑向擺振）并不直觀，所以采用圖2中徑向擺角φ代之，即吊繩在變幅平面上的投影與鉛垂線的夾角，由幾何關(guān)系可得

同時，由于在回轉(zhuǎn)過程中徑向擺角φ一般較小，可近似地將θ5視為吊重的切向擺角β，即吊繩與變幅平面的夾角.矩陣Ai中參數(shù)的取值見表1，其中e為回轉(zhuǎn)軸線到臂架與轉(zhuǎn)臺鉸點的距離，lzb為主臂長度，ltb為塔臂長度.

1.2 系統(tǒng)動力學方程

利用牛頓－歐拉方法推導系統(tǒng)動力學方程組［6］.將轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)速作為系統(tǒng)輸入，視為已知.同時由于機座為不動桿件，所以將系統(tǒng)參數(shù)

表1 矩陣A參數(shù)Tab.1 Parameters of Amatrix

代入牛頓－歐拉正向遞交推公式：

式中：符號上方的波浪線表示該量是在其后下標所表示坐標系中度量的分別為｛i｝系相對于｛i－1｝的角速度和角加速度矢量的逆矩陣為｛i＋1｝系向｛i｝系變換的Ai的旋轉(zhuǎn)子矩陣分別為｛i｝系原點Oi的線速度和線加速度矢量為第i＋1號桿件的執(zhí)行器在i＋1號關(guān)節(jié)處提供的角速度和角加速度；為指定｛i＋1｝系z軸方向的單位矢量，為在｛i｝系中描述的｛i＋1｝系原點的位置矢量為桿件i＋1在（i＋1）系中的線加速度為第i＋1號桿件的質(zhì)心在｛i＋1｝系中的位置矢量.

并因吊重質(zhì)心處線加速度在桿件5坐標系中的y，z軸分量為零，即則可導出全地面起重臂塔臂工況進行回轉(zhuǎn)運動時的吊重擺振動力學方程組為

式中：l為吊重質(zhì)心到塔臂懸吊點的距離（吊繩長度）；為主臂長度，ltb為塔臂長度；γ＝θ2－asin（ltbsin（θ3－π）／lboom）.

2 吊重擺振特性研究

回轉(zhuǎn)過程中產(chǎn)生的切向慣性力和徑向離心力會引起吊重在徑向和切向的擺振，但二者的擺振并非獨立進行，而是相互影響共同作用使吊重在空間產(chǎn)生一個復雜的振動.這一吊重擺振動態(tài)特性可以結(jié)合回轉(zhuǎn)運動的特點，利用動力學方程（4）進行研究.

2.1 徑向和切向擺振研究

選取分析工況參數(shù)為：主臂長度為lzb＝17.2m，塔臂長度為ltb＝36m，吊繩長度為l＝5m，主臂仰角為θ2＝76°，工作幅度為lfd＝36m，額定起重量為65t，最大回轉(zhuǎn)角速度為n＝1.0r·min－1.

如圖3所示，表示在100s回轉(zhuǎn)過程中吊重在兩個方向上的擺振情況，0～10s為勻加速啟動階段，10s之后為勻速回轉(zhuǎn)階段.從圖中可得：對于切向擺振，在加速階段，吊重在慣性沖擊載荷的作用下以圖中所示基線為對稱軸擺振，基線所在位置的擺角為2.20°，與回轉(zhuǎn)慣性力作用下吊重受力平衡時的切向擺角相等；在勻速回轉(zhuǎn)階段，由于慣性力消失及不考慮系統(tǒng)阻尼，吊重在初始激勵的作用下以鉛垂線為對稱軸擺振.對于徑向擺振，在加速階段，吊重的擺角逐漸增大，并發(fā)生輕微的振動；在勻速回轉(zhuǎn)階段，吊重以圖中所示基線為對稱軸擺振，基線所在位置的擺角為2.31°，與回轉(zhuǎn)離心力作用下吊重受力平衡時的徑向擺角相等.另外由圖3可得：切向和徑向的擺振均以一定的周期循環(huán)，采用傅立葉變換（FFT）分析得到吊重在兩個方向上擺振的頻譜圖（見圖4），由圖4可得兩個方向上的擺振頻率均為0.23Hz，吊繩長度為5m的簡單鐘擺其擺振頻率為0.22Hz，二者近似相等.

圖3 100s回轉(zhuǎn)過程中吊重的擺振Fig.3 Load vibration during 100sof the slewing motion

圖4 吊重擺振頻譜圖Fig.4 Spectrum diagram of theload vibration

如圖5所示，表示在360°回轉(zhuǎn)過程中吊重在兩個方向上的擺振情況.從圖5中可得：最大穩(wěn)態(tài)徑向擺振幅度（注：啟動或制動時的擺振稱瞬態(tài)擺振，勻速回轉(zhuǎn)或靜止時的擺振稱穩(wěn)態(tài)擺振）發(fā)生在穩(wěn)態(tài)切向擺振幅度接近最小值時，同樣反之亦然.同時每回轉(zhuǎn)90°以后，徑向和切向的穩(wěn)態(tài)擺振均發(fā)生較明顯的轉(zhuǎn)換，兩個方向上的穩(wěn)態(tài)擺振幅度關(guān)于90°的回轉(zhuǎn)距離幾乎是對稱的.在回轉(zhuǎn)90°后，初始位置時的徑向變成切向，而初始位置時的切向變成徑向，這一空間位置及方向的變化和特點，導致了吊重在回轉(zhuǎn)時表現(xiàn)出如圖5所示的擺振動態(tài)特性，而且系統(tǒng)擺振的最原始激勵主要來源于回轉(zhuǎn)加速啟動時切向的慣性沖擊載荷，徑向擺振是隨著回轉(zhuǎn)距離的變化由切向擺振傳遞而來.

如圖6所示，表示在不同加速斜坡信號時吊重在兩個方向上的擺振情況.從圖6中可得：對于切向擺振，在斜坡信號時間為11s時，信號結(jié)束時刻吊重所在空間位置的幅度較大，導致穩(wěn)態(tài)切向擺振幅度較大.在斜坡信號時間為9s時，信號結(jié)束時刻吊重所在空間位置的幅度較小，導致穩(wěn)態(tài)切向擺振幅度較小.對于徑向擺振，其穩(wěn)態(tài)擺振幅度主要受切向擺振幅度的影響，所以如圖6所示，吊重徑向擺振與切向擺振有著相同的規(guī)律.

圖5 360°回轉(zhuǎn)過程中吊重的擺振Fig.5 Load vibration during 360°of the slewing motion

圖6 不同加速斜坡信號時吊重擺振Fig.6 Load vibration in different speed ramp signals

如圖7所示，表示在不同時刻制動時吊重在兩個方向上的擺振情況.從圖7中可得：對于切向擺振，在12s開始制動時，制動引起的擺振與啟動引起的擺振協(xié)調(diào)一致，增強了由啟動引起的切向擺振，導致穩(wěn)態(tài)切向擺振幅度要比瞬態(tài)時的大.在13s開始制動時，制動引起的擺振與啟動引起的擺振不一致，削弱了部分由啟動引起的切向擺振，導致穩(wěn)態(tài)切向擺振幅度要比瞬態(tài)時的小.同樣如圖7所示，吊重徑向擺振與切向擺振有著相同的規(guī)律.

圖7 不同時刻制動時吊重擺振Fig.7 Load vibration in different times for braking

2.2 影響偏擺角大小因素研究

影響起重機回轉(zhuǎn)偏擺角大小的因素很多，主要有：吊繩長度l、工作幅度lfd、加速斜坡時間t等，這些因素綜合影響了起重機的工作效率和安全.本部分將研究這些因素與偏擺角的關(guān)系及其對偏擺角大小的影響.選取的工況為：主臂長度為lzb＝17.2m，塔臂長度為ltb＝36m，主臂仰角為θ2＝76°，最大回轉(zhuǎn)角速度為n＝1.0r·min－1.

如圖8所示，表示在特定的繩長（l＝10m）和加速斜坡信號（t＝5s）下，切向最大偏擺角β和徑向最大偏擺角φ隨工作幅度變化曲線.從圖中可得：兩個方向的偏擺角均隨工作幅度的增加而變大且二者成線性關(guān)系.

圖8 偏擺角隨工作幅度變化規(guī)律Fig.8 Regularity for partial vibration angle with working range changing

如圖9所示，表示在任意一幅度（在此取lfd＝36m）下，分別在l＝6～21m繩長時，切向最大偏擺角β隨斜坡時間變化曲線.從圖可得：隨斜坡時間增加，切向偏擺角減小且趨于穩(wěn)定.同時當斜坡時間較短時，繩長越短，切向偏擺角越大，當斜坡時間大于一定值時，繩長越長，切向偏擺角越大.如圖10所示，表示在任意一幅度（在此取lfd＝36m）下，分別在t＝1～8s斜坡時，切向最大偏擺角β隨吊繩長度變化曲線.從圖可得：當斜坡時間較短時，繩長越短，切向偏擺角越大，當斜坡時間大于一定值時，繩長越長，切向偏擺角越大.同時當繩長超過一定值后切向偏擺角趨于穩(wěn)定.徑向最大偏擺角φ與切向最大偏擺角β有著相同的變化規(guī)律，在此不再贅述.

圖9 切向偏擺角隨斜坡時間變化規(guī)律Fig.9 Regularity for partial vibration angle with ramp time changing

圖10 切向偏擺角隨吊繩長度變化規(guī)律Fig.10 Regularity for partial vibration angle with cable length changing

3 結(jié)論

本文利用機器人動力學理論建立吊重擺振的動力學方程，對全地面起重機塔臂工況回轉(zhuǎn)吊重擺振動態(tài)特性進行分析研究.通過研究可知：

（1）吊重在切向和徑向兩個方向上的穩(wěn)態(tài)擺振隨著回轉(zhuǎn)時間均以一定的周期循環(huán)，二者擺振頻率相等且與等繩長簡單鐘擺的擺振頻率近似相等.同時，最大穩(wěn)態(tài)徑向擺振幅度發(fā)生在穩(wěn)態(tài)切向擺振幅度接近最小值時，反之亦然，而且兩個方向上的擺振關(guān)于90°的回轉(zhuǎn)距離是對稱的.

（2）系統(tǒng)擺振最原始激勵主要來源于回轉(zhuǎn)加速啟動時切向慣性沖擊載荷，徑向擺振是隨著回轉(zhuǎn)距離的變化由切向擺振傳遞而來.啟動加速停止時刻和制動開始時刻對吊重在切向和徑向兩個方向上的穩(wěn)態(tài)擺振幅度均有較大影響.

（3）吊重切向最大偏擺角和徑向最大偏擺角會隨著工作幅度的增加而變大，隨啟動加速時間的增加而變小，吊繩長度對偏擺角的影響因斜坡時間的不同而不同.

［1］賈體鋒，張艷俠.全地面起重機關(guān)鍵技術(shù)發(fā)展探析［J］.建筑機械，2011（1－2）：55－61.JIA Tifeng，ZHANG Yanxia.Discuss and analyze the key technique of all－terrain crane［J］.Construction Machinery，2011（1－2）：55－61.

［2］SINGHOSE W，PORTER L，KENINSON M.Effects of hoisting on the input shaping control of gantry crane［J］.Control Engineering Practice，2000，8（10）：1159－1165.

［3］吳曉，鐘斌，張則強.小車吊重系統(tǒng)擺振動力學模型及仿真［J］.計算機仿真，2007，24（11）：316－319.WU Xiao，ZHONG Bin，ZHANG Zeqiang.A dynamic model of load sway for trolley load system and its simulation［J］.Computer Simulation，2007，24（11）：316－319.

［4］董明曉，鄭康平，姜紅，等.塔式起重機載荷擺動特性研究［J］.機械科學與技術(shù)，2004，23（8）：976－978.DONG Mingxiao，ZHENG Kangping，JIANG Hong，et al.Research on payload oscillation behavior of a tower crane［J］.Mechanical Science and Technology，2004，23（8）：976－978.

［5］王幫峰，張瑞芳，張國忠.回轉(zhuǎn)起重機吊重擺振的動力學模型與控制［J］.中國機械工程，2001，12（11）：1214－1217.WANG Bangfeng，ZHANG Ruifang，ZHANG Guozhong.Dynamic model and control of slewing crane load sway［J］.China Mechanical Engineering，2001，12（11）：1214－1217.

［6］王庭樹.機器人運動學及動力學［M］.西安：西安電子科技大學出版社，1990.WANG Tingshu.Robot kinematics and dynamics［M］.Xi’an：Xidian University Press，1990.