張桂欣， 胡相捧， 李雪偉

（1.中煤科工集團 國際工程有限公司,北京100013；2.中國礦業(yè)大學(xué)（北京）機電與信息工程學(xué)院，北京100083；3.河南能源化工集團 重型裝備有限公司，河南 開封475004）

0 引 言

煤礦井下設(shè)備不僅種類多，而且形狀和質(zhì)量各異，在井下利用起重機進行設(shè)備的起吊和安裝時，也面臨類似于港口碼頭起吊作業(yè)時重物的擺動問題。很多學(xué)者采用不同的控制方法對起重機消擺進行了研究，例如，采用經(jīng)典的PID控制或模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等智能控制方法[1-7]。在起吊運行過程中如果考慮吊重提升運動，其擺振模型是一個非常復(fù)雜的非線性問題，大多數(shù)學(xué)者都把擺振非線性模型簡化為線性方程進行防擺控制研究，也有學(xué)者對擺振非線性模型進行智能控制的研究。即使個別研究者考慮了吊重提升運動對擺振的影響，但也沒有考慮到通過提升電動機來實現(xiàn)吊重的消擺。本文基于井下作業(yè)空間的限制，起重的高度往往不會像地面那么高，在考慮繩長變化的條件下建立起重機吊重的擺振模型，運用非線性振動理論求得吊重擺角的解析表達式，然后采用MATLAB的Simulink工具進行仿真。結(jié)果顯示，起吊重物時通過控制繩長能夠很好地控制吊重的擺動。

1 數(shù)學(xué)模型的建立

建立吊重擺振數(shù)學(xué)模型時基于以下假設(shè)：1）纜繩的質(zhì)量相對于抓斗及重物的質(zhì)量可忽略不計, 纜繩的剛度足夠大；2）吊重與纜繩運行過程中所受阻力不計。

代入上面的加速度表達式得吊重擺動的數(shù)學(xué)表達式[8]：

2 方程的近似解

式（2）和蕩秋千的數(shù)學(xué)模型相似，由經(jīng)驗可知，在秋千最大擺角處突然下蹲和平衡位置處突然起立會使秋千越蕩越高，對起重機的擺振模型我們采用逆向思維，即采用相反的處理過程，在吊重最大擺角處突然提升重物和平衡位置處突然下放重物[9-10]。為此，設(shè)擺長的變化式[11]為：

令式（3）的解為

其中振幅A和相位φ均是時間t的慢變函數(shù)，令函數(shù)

依據(jù)慢變振幅和相位法[12]有：

同理可求得：

把式（4）代入上式，并設(shè)φ（t=0）=φ0，積分求得：

3 數(shù)值模擬及仿真

使用MATLAB的Simulink仿真工具對上述吊重擺振模型進行仿真[8]，仿真模型如圖2所示。當(dāng)起重機小車加速度分別為0、2、-5時的吊重擺振曲線如圖3～圖5所示。

從圖3～圖5可以看出，在不考慮阻尼情況下，當(dāng)加速度等于0時，吊重做等幅振蕩，當(dāng)有加速度時，吊重也做等幅振蕩，但動態(tài)平衡位置發(fā)生了變化，圖4表示a=2時吊重在平衡位置θ=-0.2 rad處做等幅振蕩。從能量角度解釋這是合理的，不考慮阻尼，表明系統(tǒng)沒有能量損耗，吊重將做等幅振蕩。如果考慮吊重的升降運動，在這個過程中繩的拉力是要做功的，這就引起了系統(tǒng)能量的變化，可以使吊重做等幅、減幅或增幅運動。

圖2 吊重擺振仿真模型

圖3 吊重擺振曲線（a=0）

圖4 吊重擺振曲線（a=2）

圖5 吊重擺振曲線（a=-5）

對式（7）我們利用MATLAB中的Plot 函數(shù)繪制擺角曲線。設(shè)初始擺長L0=5 m，g=9.81 m/s2，A0=20°=0.35 rad，初始相位φ0=-π/2，γ=0.02，擺角曲線如圖6所示。

圖6 吊重擺角與時間的關(guān)系

從圖6可以看出，采取與蕩秋千相反的動作方式，即在最大擺角處提升吊重和平衡位置處下放吊重可以實現(xiàn)吊重的消擺。

4 結(jié) 論

本文針對井下起吊重物的擺動問題，采用與蕩秋千模型相反的逆向思維過程，運用慢變振幅和相位法求得了吊重擺動的一次近似解，采用作圖法繪制擺角曲線，可以直觀地看出吊重的升降運動對吊重擺動的影響，即在最大擺角處提升吊重和在平衡位置處下放吊重能夠?qū)崿F(xiàn)吊重的減擺，在實際操作中，操作者可以通過簡單的提升和下放來實現(xiàn)重物的消擺。此外，起重機小車加速度將使吊重擺幅增大，但它改變的是吊重的動態(tài)平衡位置。