王綱居，穆銘豪，孫遠(yuǎn)韜

（1.上海市建筑科學(xué)研究院，上海 200032；2.同濟(jì)大學(xué) 機(jī)械與能源工程學(xué)院，上海 201804）

塔式起重機(jī)（以下簡稱塔機(jī)，見圖1）是一種廣泛應(yīng)用于建筑施工的起重設(shè)備，主要由塔身、起重臂、塔帽和平衡臂組成，是典型的空間桁架結(jié)構(gòu).塔機(jī)在經(jīng)常性的啟、制動和進(jìn)行復(fù)雜耦合運(yùn)動時，塔機(jī)系統(tǒng)會產(chǎn)生強(qiáng)烈的沖擊和振動，如產(chǎn)生大振幅的強(qiáng)迫振動且難以衰減，容易導(dǎo)致金屬結(jié)構(gòu)破壞，縮短使用壽命.為了避免塔機(jī)金屬結(jié)構(gòu)產(chǎn)生共振現(xiàn)象，同時使塔機(jī)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)理論和方法更加合理，盡可能地提高結(jié)構(gòu)的可靠性，所以有必要對塔機(jī)金屬結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性進(jìn)行研究，確保塔機(jī)在工作過程中滿足強(qiáng)度條件和相關(guān)的動力性能要求.

本文通過有限元模型進(jìn)行塔機(jī)動力學(xué)仿真，確定塔機(jī)的振動特性，獲得了結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型，可以對塔機(jī)受力特性作全面、詳細(xì)的了解，分析影響其結(jié)構(gòu)模態(tài)的主要因素，預(yù)測其結(jié)構(gòu)在各種載荷與邊界條件下的動態(tài)特性［1］.在保證安全使用的前提下，獲得較好的經(jīng)濟(jì)性.

1 結(jié)構(gòu)模態(tài)分析的有限元法

在復(fù)雜結(jié)構(gòu)的振動分析中，一般都需要建立結(jié)構(gòu)的離散化力學(xué)模型，即把一個無窮多自由度的連續(xù)系統(tǒng)，通過離散化的方法，轉(zhuǎn)變成為一個近似的多自由度系統(tǒng)來進(jìn)行研究［2］.塔機(jī)金屬結(jié)構(gòu)可以簡化為由空間梁單元和桿單元組成的多自由度系統(tǒng)，系統(tǒng)的動力學(xué)方程為［3］

式中：［M］為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣；［C］為系統(tǒng)的阻尼矩陣；［K］為系統(tǒng)的剛度矩陣；｛x｝為廣義坐標(biāo)；｛Q｝為廣義力.

若忽略阻尼的作用，則系統(tǒng)的模態(tài)分析求解的是如式（2）所示的典型的廣義特征值問題：

式中：ωr為第r階模態(tài)的固有頻率；｛φr｝為第r階模態(tài)的振型向量.

機(jī)械結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性優(yōu)劣可以用結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)（結(jié)構(gòu)振動的各階頻率、阻尼及振型）判斷.通過模態(tài)分析結(jié)果，可直觀地顯示塔機(jī)的動態(tài)特性和薄弱環(huán)節(jié)，為塔機(jī)的運(yùn)行參數(shù)提供直接的理論分析依據(jù).

2 有限元模型建立

某QTZ125型塔式起重機(jī)總高約57.9m（其中塔帽高7.6m），塔臂長約65.2m，平衡臂長13.4m，如圖1a.塔身和起重臂臂桿件數(shù)目比較多，布置比較類似，基本都是由許多拓?fù)湫螤钕嗤臈U件組成.

塔身、平衡臂弦桿和斜撐桿件均采用箱形截面三維beam189梁單元建模；水平塔臂、塔頂弦桿和斜撐桿件分別采用箱形和圓形截面三維梁單元建模；前后拉桿均采用矩形截面的桿單元建模.塔身、起重臂、塔帽和平衡臂的連接處結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，關(guān)鍵部位的連接用變截面梁或假梁實(shí)現(xiàn)連接，如圖1b、1c，次要部位的連接用節(jié)點(diǎn)直接布置在一起.配重箱、司機(jī)室等部件簡化為質(zhì)量點(diǎn)采用集中質(zhì)量單元建模.

為了模擬實(shí)際約束情況把豎直塔身底部相應(yīng)節(jié)點(diǎn)6個自由度全部約束.最后，塔機(jī)完整模型共有節(jié)點(diǎn)14 023個，單元7 352個.模態(tài)分析中，結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型只與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量分布、剛度分布和阻尼特性有關(guān)，和外載荷無關(guān).

3 模態(tài)分析及結(jié)果

由振動理論可知，低階固有頻率對系統(tǒng)的動力響應(yīng)貢獻(xiàn)較大，而高階固有頻率影響較小，所以對塔機(jī)系統(tǒng)而言只要提取其低階固有頻率就能很好反映系統(tǒng)動力特性［4］.

對塔機(jī)進(jìn)行模態(tài)分析，計(jì)算了塔架金屬結(jié)構(gòu)7Hz以內(nèi)的頻率，1Hz以內(nèi)的前5階模態(tài)結(jié)果如表1所示.取固定工況下塔機(jī)的7Hz以內(nèi)固有頻率繪制成曲線，如圖2所示.

圖1 某型塔式起重機(jī)有限元模型Fig.1 Tower crane finite element model

表1 QTZ125塔機(jī)金屬結(jié)構(gòu)前5階模態(tài)Tab.1 First 5th order modal of QTZ125tower crane

圖2 固定工況下塔機(jī)7Hz以內(nèi)固有頻率Fig.2 Fixed condition natural frequency in 7Hz

根據(jù)固定工況下塔機(jī)的7Hz以內(nèi)固有頻率模態(tài)分析結(jié)果，塔機(jī)前5階振動頻率均較低，表明這類塔機(jī)整體振動頻率偏低，雖然結(jié)構(gòu)強(qiáng)度滿足，但動剛度不足，抗變形能力弱，如需要可以通過扶墻適當(dāng)加強(qiáng)其剛度，塔機(jī)1—6階振型圖3—8.

塔機(jī)第1、第5階振型（見圖3和圖7）均是起重臂在回轉(zhuǎn)平面的彎曲，說明了該型該平面內(nèi)的剛度偏小，容易激發(fā)風(fēng)載、重物傾斜等側(cè)向載荷作用下側(cè)向振動.

塔機(jī)第2—4階振型（圖4—6所示）均是塔身的模態(tài)，其中第1，2階彎曲模態(tài)說明塔身的動剛度不足，承受風(fēng)載等側(cè)向載荷能力偏弱.

塔機(jī)第5階振動頻率為0.78Hz，而第6階振動頻率急劇變大為1.76Hz.第6階振型是塔臂在回轉(zhuǎn)平面內(nèi)的3階彎曲（圖8）.塔臂振型由2階彎曲升為3階彎曲，因此振動頻率有了大幅提高.

圖3 塔機(jī)第1階振型（頻率0.11Hz）Fig.3 1st order mode shape

圖4 塔機(jī)第2階振型（頻率0.19Hz）Fig.4 2nd order mode shape

圖5 塔機(jī)第3階振型（頻率0.21Hz）Fig.5 3rd order mode shape

圖6 塔機(jī)第4階振型（頻率0.54Hz）Fig.6 4th order modal shape

圖7 塔機(jī)第5階振型（頻率0.78Hz）Fig.7 5th order modal shape

圖8 塔機(jī)第6階振型（頻率1.76Hz）Fig.8 6th order modal shape

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證數(shù)值分析的準(zhǔn)確性，在現(xiàn)場對該型塔機(jī)進(jìn)行了模態(tài)測試.測試方案如圖9和圖10所示.測試儀器為東華DH5907A無線環(huán)境激勵實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)測試分析系統(tǒng)，傳感器為磁電式速度傳感器DH610，圖11為現(xiàn)場測點(diǎn)傳感器布置.

圖9 僅測臂架振動傳感器布置圖Fig.9 Vibration sensor layout only for job

在塔機(jī)現(xiàn)場實(shí)測中，對風(fēng)載荷作用下起重臂、平衡臂和塔身的速度響應(yīng)進(jìn)行了現(xiàn)場實(shí)測，記錄了各測點(diǎn)的速度響應(yīng)時間歷程，響應(yīng)時間歷程的采樣率100Hz，共進(jìn)行6次豎向振動速度實(shí)驗(yàn)，圖12是空載風(fēng)振測試的豎向最大振動速度響應(yīng).

在實(shí)測風(fēng)振響應(yīng)的基礎(chǔ)上，采用時域的隨機(jī)子空間方法進(jìn)行了塔機(jī)的試驗(yàn)?zāi)B(tài)參數(shù)識別，獲得了塔機(jī)的低階固有頻率.

圖11 現(xiàn)場振動傳感器布置圖Fig.11 Vibration sensor layout on site

圖12 空載風(fēng)振測試的豎向最大振動速度響應(yīng)Fig.12 Maximum vertical vibration velocity response of no－live load wind vibration test

與傳統(tǒng)方法相比，隨機(jī)子空間法有以下幾點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：一是該方法所需確定的參數(shù)少，只需確定模型的階次；二是該方法無須迭代，也不涉及迭代的收斂性問題；三是模型縮減可直接從輸入到輸出數(shù)據(jù)中獲得，無須計(jì)算1階或高階模型.

目前，隨機(jī)子空間法有兩種，一種是基于輸出協(xié)方差的隨機(jī)子空間法，另一種是基于數(shù)據(jù)的隨機(jī)子空間法.

基于輸出協(xié)方差的隨機(jī)子空間法是將系統(tǒng)輸出數(shù)據(jù)的協(xié)方差組合成Toeplitz矩陣，然后對Toeplitz矩陣進(jìn)行奇異值分解（SVD），進(jìn)而得到矩陣行列空間的信息——系統(tǒng)的可觀性矩陣和可控性矩陣，利用系統(tǒng)可觀性矩陣推移不變性質(zhì)計(jì)算出系統(tǒng)的動態(tài)參數(shù)，進(jìn)而識別出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù).基于輸出數(shù)據(jù)的隨機(jī)子空間法是將系統(tǒng)的輸出數(shù)據(jù)直接組合成Hankel矩陣，利用正交分解（QR分解）計(jì)算將來輸出向過去輸出上的投影，然后對投影進(jìn)行奇異值分解，得到可觀性矩陣和系統(tǒng)狀態(tài)的卡爾曼濾波，由于環(huán)境激勵與系統(tǒng)的狀態(tài)無關(guān)，所以將卡爾曼濾波和輸出代入到系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程，求解出結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù).

兩種方法相比，第一種方法理論比較簡單，但計(jì)算量比較大，第二種理論上比較難理解，但計(jì)算步驟清晰，計(jì)算量相對第一種較小.由于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的輸出向量較少，所以采用第一種方法——基于輸出協(xié)方差的隨機(jī)子空間法.

表2 試驗(yàn)機(jī)型的前5階模態(tài)Tab.2 5orders modal of test machine

表3是試驗(yàn)機(jī)型的低階固有頻率的試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析結(jié)果與有限元分析結(jié)果的對比，這表明，所建立的有限元模型的整體質(zhì)量分布和剛度分布是準(zhǔn)確的，試驗(yàn)振型的低階固有振動性態(tài)（振型）有限元分析結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果一致.

表3 低階固有頻率試驗(yàn)值與分析值對比Tab.3 Test value comparison with analysis of value of the low order natural frequency

5 結(jié)論

本文對某QTZ125型塔式起重機(jī)的金屬結(jié)構(gòu)進(jìn)行了模態(tài)分析，得到了結(jié)構(gòu)的7Hz以內(nèi)固有頻率及振型.研究結(jié)果表明：該型塔機(jī)模態(tài)分析模型正確.整機(jī)的主要低階頻率偏低，動剛度不足，容易受低頻載荷激擾而發(fā)生振動，需要引起后續(xù)設(shè)計(jì)及使用注意.

［1］沃德 海倫，斯蒂芬 拉門茲.模態(tài)分析理論與試驗(yàn)［M］.白化同，郭繼忠 譯.北京：北京理工大學(xué)出版社，2001.WARD H，STEFAN L.Modal analysis theory and testing［M］.BAI Huatong，GUO Jizhong translation.Beijing：Beijing Institute of Technology Press，2001.

［2］殷學(xué)鋼，陳淮，蹇開林.結(jié)構(gòu)振動分析的子結(jié)構(gòu)方法［M］.北京：中國鐵道出版社，1991.YIN Xuegang，CHEN Huai，SAI Kailin.The substructure method of structure vibration analysis［M］.Beijing：China Railway Publishing House，1991.

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