曾志峰，湯一華，陳士櫓，徐 敏

(1.西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院,西安710072; 2.航天飛行動(dòng)力學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安710072)

隨著MEMS(微機(jī)電系統(tǒng))技術(shù)的發(fā)展[1], 人們把更多目光投向了微小型航天器.通過(guò)近年迅猛發(fā)展，微小型航天器已然成為大型航天器的一個(gè)有力補(bǔ)充.相對(duì)大型航天器，微小型航天器雖結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、功能較單一，但其集群可在一定群控制律下虛擬成一大型航天器，從而實(shí)現(xiàn)甚至超越大型航天器的功用，其優(yōu)點(diǎn)可以歸結(jié)為以下幾點(diǎn)：1)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，2)魯棒性高，3)任務(wù)適應(yīng)性、拓展性強(qiáng)，4)經(jīng)濟(jì).

一般地，航天器群任務(wù)可分為以下兩種，即圖形編隊(duì)任務(wù)和協(xié)同任務(wù).前者主要通過(guò)相應(yīng)群控技術(shù)將群編成靜態(tài)或動(dòng)態(tài)(相對(duì)于軌道坐標(biāo)系)目標(biāo)構(gòu)型，群體有序性體現(xiàn)在幾何構(gòu)型的層次；而后者，群體有序性體現(xiàn)在任務(wù)實(shí)施的層次，諸如協(xié)同搜救和協(xié)同攻擊等任務(wù)，其幾何構(gòu)型不固定隨時(shí)可能發(fā)生變化.基于圖形編隊(duì)的基礎(chǔ)、重要性，本文著重于此展開研究.在此領(lǐng)域，Izzo基于人工勢(shì)場(chǎng)法(APF, artificial potential field)開發(fā)了一名為速度平衡塑形技術(shù)(equilibrium shaping approach)的方法[2].此法能使群體成員僅在局部感知信息下自組織地編成目標(biāo)空間構(gòu)型，但由于此法利用幾何對(duì)稱性來(lái)消減方程數(shù)量求解人工勢(shì)場(chǎng)參數(shù)，故而只能編制特定幾何對(duì)稱性的構(gòu)型.文獻(xiàn)[3]中，Derek采用分叉理論[4]設(shè)計(jì)全局勢(shì)場(chǎng)，仿真結(jié)果顯示，采用音叉式分叉場(chǎng)(pitchfork bifurcation)，群體成員可自發(fā)編成單圓、雙圓及圓面均布構(gòu)型，且通過(guò)更改幾個(gè)分叉場(chǎng)參數(shù)，便可在構(gòu)型間切換.與上兩方法中采用簡(jiǎn)單成對(duì)指數(shù)函數(shù)構(gòu)建局部勢(shì)場(chǎng)用以避免成員相撞不同，Pinciroli等人[5]利用著名分子間相互作用力經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛡惣{德-瓊斯勢(shì)[6](LJP, Lennard-Jones potential)構(gòu)造局部勢(shì)場(chǎng)，使成員在避撞同時(shí)編制成正六邊形局部構(gòu)型(帶中心)，構(gòu)型中相鄰成員間距幾乎一直(值為預(yù)先設(shè)定)，美中不足的是整個(gè)構(gòu)型的外圍形狀不能精確地表現(xiàn)，成員較少的情況下尤是.對(duì)于以上方法，中國(guó)也進(jìn)行了相關(guān)的研究，但從可以獲得的文獻(xiàn)看，大多集中在機(jī)器人編隊(duì)領(lǐng)域，而航天領(lǐng)域尚處在技術(shù)移植階段，相關(guān)文獻(xiàn)較少.姚紅、湯亞鋒把常規(guī)的人工勢(shì)場(chǎng)法擴(kuò)展應(yīng)用于航天器編隊(duì)的協(xié)同控制[7]，指出基于人工勢(shì)場(chǎng)法的協(xié)同控制算法計(jì)算量較小,適于多智能體的實(shí)時(shí)協(xié)同控制；分叉勢(shì)場(chǎng)法和倫納德-瓊斯勢(shì)法則尚未發(fā)現(xiàn)相關(guān)文獻(xiàn).

通過(guò)分析可知，以上各個(gè)方法均有各自的優(yōu)缺點(diǎn)和適用范圍，從本質(zhì)上講均屬于人工勢(shì)場(chǎng)法范疇，不同之處在于所用勢(shì)場(chǎng)的類型、腳本、穩(wěn)定收斂的方法以及目標(biāo)構(gòu)型的特點(diǎn).相比之下，本文尤其關(guān)注Pinciroli C文獻(xiàn)[5]，從中能夠看到從分子動(dòng)力學(xué)模擬角度進(jìn)行群控研究的可能.與Pinciroli C文獻(xiàn)不同，鑒于碳?xì)浞肿?，尤其是碳元素同素異形體(諸如石墨、金剛石、石墨烯、碳納米管及其它富勒烯)結(jié)構(gòu)的優(yōu)良特性(作者認(rèn)為其定將在未來(lái)航天群任務(wù)中有著廣闊的應(yīng)用前景)，以及考慮到Tersoff-Brenner經(jīng)驗(yàn)勢(shì)模型在以上結(jié)構(gòu)分子動(dòng)力學(xué)模擬中的成功應(yīng)用，首先將以該勢(shì)模型為基礎(chǔ)，開發(fā)出一種新穎的圖形編隊(duì)方法，其次通過(guò)實(shí)例仿真，驗(yàn)證該法在航天器群任務(wù)中的可行性，最后對(duì)該法進(jìn)行總結(jié)并對(duì)其發(fā)展做一些前瞻性探究.

1 方法介紹

與文獻(xiàn)[5]方法類似，編隊(duì)過(guò)程中，成員期望控制加速度矢量u也由三部分構(gòu)成，即u=g+l+d，其中g(shù)為匯聚勢(shì)場(chǎng)加速度矢量，l為局部勢(shì)場(chǎng)加速度矢量，d為耗散加速度矢量(為敘述方便，文中g(shù)、l等亦指相應(yīng)人工勢(shì)場(chǎng)).航天任務(wù)中，為減少能耗，可利用萬(wàn)有引力來(lái)匯聚成員，與文獻(xiàn)[2]類似，將g分成兩部分：遠(yuǎn)端匯聚場(chǎng)gfar及近端匯聚場(chǎng)gnear.gfar基于C-W方程[8]改造而來(lái)，自編隊(duì)過(guò)程開始絕大部分時(shí)間內(nèi)成員受此勢(shì)場(chǎng)驅(qū)動(dòng)，向目標(biāo)構(gòu)型中心匯聚；不過(guò)由于gfar臨近構(gòu)型中心時(shí)，會(huì)因系數(shù)陣奇異導(dǎo)致失效，此時(shí)成員將在近端匯聚場(chǎng)gnear導(dǎo)引下進(jìn)一步向構(gòu)型中心匯聚.除匯聚場(chǎng)g外，局部塑形場(chǎng)l基于Tersoff-Brenner勢(shì)構(gòu)建，耗散項(xiàng)d采用文獻(xiàn)[5]形式.

在介紹以上各項(xiàng)具體形式前，先簡(jiǎn)介本文方法運(yùn)行腳本.以目標(biāo)構(gòu)型中心為匯聚中心，可將其周邊區(qū)域粗分為兩大部分：遠(yuǎn)程段和近程段.遠(yuǎn)程段占編隊(duì)空域絕大部分，其間成員以極小能耗自初始位置匯聚到目標(biāo)構(gòu)型周邊，期間避免碰撞，藉此目的，此段勢(shì)場(chǎng)由gfar及l(fā)構(gòu)成.相應(yīng)地，近程段目的在于進(jìn)一步匯聚成員、避碰、編制目標(biāo)構(gòu)型并確保過(guò)程穩(wěn)定收斂，故而此段勢(shì)場(chǎng)由gnear和l組成，成員兼受耗散項(xiàng)d作用，并在三者共同作用下，最終自發(fā)完成圖形編隊(duì)任務(wù).

以下介紹各人工勢(shì)場(chǎng)及耗散項(xiàng)構(gòu)造，假定成員均知道參考坐標(biāo)系o-xyz下各自位置矢量r和速度矢量v.

1.1 全局匯聚勢(shì)場(chǎng)

1)遠(yuǎn)端匯聚場(chǎng)gfar：設(shè)置與文獻(xiàn)[2]類似，與之不同的是，本文建立的是力勢(shì)場(chǎng)，不是文獻(xiàn)[2]中的速度勢(shì)場(chǎng)，故而文中g(shù)far值實(shí)為基于C-W方程推導(dǎo)所得期望速度融合控制律所得出的控制加速度值，簡(jiǎn)要推導(dǎo)整理如下：

(1)

gfar=(kI+B-1A)vg

(2)

式中：k為一正實(shí)數(shù)，仿真中適當(dāng)選定；ain為航天器成員由慣性力在參考坐標(biāo)系中產(chǎn)生的加速度矢量；I為3×3單位矢量；系數(shù)矩陣A，B-1的具體形式參見文獻(xiàn)[9].

2)近端匯聚場(chǎng)gnear：鑒于矩陣B-1在臨近目標(biāo)點(diǎn)時(shí)會(huì)出現(xiàn)奇異，為繼續(xù)匯聚成員，將利用Morse勢(shì)[10]構(gòu)造近端匯聚場(chǎng)gnear以替代gfar.先介紹起純匯聚作用的基本勢(shì)場(chǎng)gfree，假定匯聚目標(biāo)點(diǎn)為r0=[x0y0z0](一般為參考系o-xyz原點(diǎn))，則當(dāng)前位置r的成員所受該勢(shì)場(chǎng)引起的加速度為

gfree=αf(r0-r)e-(r0-r)2/kf

(3)

式中：αf為增益參數(shù)；kf為作用范圍參數(shù).當(dāng)對(duì)構(gòu)型朝向相位有要求時(shí)，可在gfree基礎(chǔ)上附加或直接替換為駐留勢(shì)場(chǎng)gdock.通過(guò)駐留個(gè)別成員來(lái)達(dá)到朝向相位要求.gdock形式與gfree相同，r0為所選駐留點(diǎn)位置，增益和作用范圍參數(shù)分別為αd、kd.

1.2 局部塑形場(chǎng)

本文采用Tersoff-Brenner經(jīng)驗(yàn)勢(shì)[11]構(gòu)建的局部塑形勢(shì)場(chǎng)，避撞的同時(shí)使臨近成員編成局布構(gòu)型.Tersoff-Brenner勢(shì)是一種半經(jīng)驗(yàn)多體勢(shì)模型，廣泛用于碳?xì)浞肿拥姆肿觿?dòng)力學(xué)模擬，模擬碳碳原子間、碳?xì)湓娱g化學(xué)鍵作用.雖因高精度較同類型勢(shì)場(chǎng)模型復(fù)雜，但因模型中函數(shù)均屬短程函數(shù)，結(jié)果能迅速算出，故而在碳碳及碳?xì)湎到y(tǒng)的計(jì)算機(jī)模擬中發(fā)揮著舉足輕重的作用.以下介紹Tersoff-Brenner勢(shì)的具體形式.

系統(tǒng)中i原子的總勢(shì)矢量Ei可以表示為：

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

式中：

(9)

(10)

Gi(θijk)為原子i-j和i-k化學(xué)鍵鍵角函數(shù).

通過(guò)對(duì)Ei求ri的偏導(dǎo)數(shù)就可以得到i原子所受其他原子的作用合力Fi，即

(11)

式中：n為原子數(shù)目.由于篇幅有限，偏導(dǎo)數(shù)具體形式請(qǐng)參見文獻(xiàn)[12].為將Tersoff-Brermer勢(shì)成功移植到航天器群任務(wù)中，將進(jìn)行以下兩個(gè)處理： 其一，為計(jì)算簡(jiǎn)便，常把系統(tǒng)的單位歸一化，使R(e)等于1，作為對(duì)應(yīng)，航天應(yīng)用中，航天器間距值為同單位制下實(shí)際間距除以期望間距所得商；其二，引入常量μ，用以調(diào)配原子鍵間力量級(jí)與實(shí)際航天器動(dòng)力量級(jí)之間的差別，如此之后，對(duì)于群體中的第i個(gè)成員，局部塑形勢(shì)場(chǎng)引起的加速度矢量li可表達(dá)為：

li=μ(Fi/ms)

(12)

式中：ms為碳原子質(zhì)量.方程(5)～(12)中其他參數(shù)參見文獻(xiàn)[11].

1.3 耗散項(xiàng)

以上匯聚勢(shì)場(chǎng)g和局部勢(shì)場(chǎng)l本質(zhì)上屬保守勢(shì)場(chǎng)，需引入耗散項(xiàng)耗散虛擬能量以確保編隊(duì)收斂，這里耗散項(xiàng)d采用文獻(xiàn)[5]形式，具體表達(dá)式如下：

d=-ξv

(13)

式中：ξ為耗散系數(shù).

2 仿 真

為驗(yàn)證方法的有效性，作為先期研究，本文以金剛石結(jié)構(gòu)單元帶心正四面體為航天器群圖形編隊(duì)任務(wù)的目標(biāo)構(gòu)型，如圖1限定朝向和相位.鑒于地球同步軌道(GEO)的巨大應(yīng)用價(jià)值，本文將其作為參考軌道，當(dāng)然本文方法也同樣適用于其他行星中心開普勒軌道.

首先，在GEO上建立參考坐標(biāo)系o-xyz(即軌道坐標(biāo)系，見圖1)，其中原點(diǎn)o為目標(biāo)構(gòu)型中心點(diǎn)，x軸為地心原點(diǎn)連線，背離地心方向；z軸與GEO軌道角動(dòng)量方向保持一致，y軸與x、z軸相互垂直，三者滿足右手定則.

其次，依照方法介紹部分介紹，通過(guò)設(shè)置以目標(biāo)構(gòu)型中心點(diǎn)為球心的外、中、內(nèi)三個(gè)球面(見圖1，其中router?rmiddle>rinner)，將目標(biāo)構(gòu)型中心點(diǎn)周邊空域由外到內(nèi)進(jìn)一步分為以下三個(gè)區(qū)域：

(1)借力匯聚層

范圍從各航天器成員初始化(o-xyz下零初速)的外球面到gfar勢(shì)場(chǎng)內(nèi)邊界.域內(nèi)gfar為主要?jiǎng)輬?chǎng)函數(shù)，航天器主要借助萬(wàn)有引力飛行.需要說(shuō)明的是，gfar勢(shì)場(chǎng)的內(nèi)界包含兩個(gè)：其一為中球面，用以標(biāo)定gfar的空間最大延伸范圍；其二為時(shí)間邊界tnatural，用以標(biāo)定gfar的最長(zhǎng)作用時(shí)間.

圖1 仿真示意圖(黑點(diǎn)代表目標(biāo)構(gòu)型，右上角視圖為目標(biāo)構(gòu)型在xy面上投影，D、O、A分別為所選朝向與相位駐留點(diǎn).)

(2)自力匯聚層

范圍由gfar勢(shì)場(chǎng)的內(nèi)邊界到內(nèi)球面，gnear代替gfar繼續(xù)匯聚成員，航天器軌跡不再是萬(wàn)有引力下的自然飛行軌道.

(3)塑形球域

即內(nèi)球域，目標(biāo)是在gnear匯聚控向基礎(chǔ)上，通過(guò)局部塑形勢(shì)場(chǎng)l使成員自動(dòng)編制構(gòu)型，并通過(guò)耗散項(xiàng)d確保編隊(duì)過(guò)程穩(wěn)定收斂.當(dāng)目標(biāo)構(gòu)型有朝向相位要求時(shí)，可依構(gòu)型特點(diǎn)啟用gdock.

編隊(duì)過(guò)程中以上三球?qū)佑蛉淌┘泳植克苄蝿?shì)場(chǎng)l避撞，耗散項(xiàng)d僅后兩層域施加，保證快速性.

再其次，本文假定在參考系o-xyz下，各成員除知道自身位置及速度外，還可通過(guò)在軌測(cè)量或是局部通信等手段獲知自身感知球(球徑rsensor)內(nèi)其它成員的位置.發(fā)動(dòng)機(jī)采用連續(xù)小推力式，加速度大小限幅umax.

最后設(shè)定仿真參數(shù)開始仿真，表1列出了仿真中所用參數(shù)，Tersoff-Brenner 模塊參數(shù)參見文獻(xiàn)[11]中表1.為方便及減少數(shù)值誤差，仿真中各參量采用無(wú)量綱形式.其中航天動(dòng)力學(xué)模塊無(wú)量綱化因子分別為：地球質(zhì)量、赤道半徑、自轉(zhuǎn)角速度；Tersoff-Brenner模塊則為：碳原子質(zhì)量、碳原子間平衡距離及勢(shì)阱深度.

表1 仿真中所用參數(shù)

如上分析設(shè)置后，詳細(xì)仿真結(jié)果及分析如下：

(e)yz平面視

如圖2～4所示，仿真開始后不到20000s，航天器群便穩(wěn)定收斂形成目標(biāo)構(gòu)型，中心成員位于參考系原點(diǎn)，朝向相位均滿足要求，編隊(duì)過(guò)程無(wú)成員碰撞.其中圖2(a)主要顯示航天器群在借力匯聚層的運(yùn)行情形，此階段匯聚勢(shì)場(chǎng)為改造自C-W方程的gfar，航天器絕大部分時(shí)間在萬(wàn)有引力作用下“滑翔”運(yùn)行，軌跡自然順滑；圖2(b)顯示的是航天器群接近目標(biāo)構(gòu)型時(shí)(自力匯聚層及塑形球域)的匯聚塑形情形，該圖顯示在勢(shì)場(chǎng)gnear、l及耗散項(xiàng)d共同作用下，成員能自組織地形成期望構(gòu)型，軌跡較借力匯聚層軌跡更彎折；圖2(c)～(e)依次描繪了成員終態(tài)構(gòu)型在xy、xz及yz面上的投影.圖3為成員速度視圖，從零初速開始，在最初的約莫20s內(nèi)，航天器速度在gfar作用下急劇升至“自然滑翔”軌道速度，此后成員循“滑翔”軌道滑向目標(biāo)構(gòu)型中心，直至約莫16880s左右gfar由gnear替代，經(jīng)過(guò)一小段較大幅振蕩后，在gnear、l及d聯(lián)合作用下，各航天器逐步減速并近乎靜止于各目標(biāo)點(diǎn)附近，仿真結(jié)束時(shí)刻速度量級(jí)為10-5m/s.圖4為各成員控制加速度圖，由(a)、(b)兩圖可看出，整個(gè)編隊(duì)過(guò)程中，能耗最大的地方主要有兩處：其一就是編隊(duì)開始的前約20s，發(fā)動(dòng)機(jī)滿偏，使成員迅速“爬”上“滑翔”軌道，其二就是在約16880s后，對(duì)應(yīng)自力匯聚層和塑形球域，此時(shí)段航天器需克服萬(wàn)有引力，在gnear、l及d聯(lián)合作用下使成員穩(wěn)定收斂形成期望構(gòu)型.整個(gè)編隊(duì)仿真中，航天器最大速度小于0.46m/s，加速度均未超出發(fā)動(dòng)機(jī)最大允許值，平均相對(duì)到位誤差3.9932×10-4，即在本文仿真目標(biāo)構(gòu)型棱長(zhǎng)為10m的情況下，各成員的平均到位誤差僅不到4mm.

(a)前200s

(b)仿真全程

(a)前200s

(b)仿真全程

需要說(shuō)明的是，仿真中所用參數(shù)，尤其是勢(shì)場(chǎng)參數(shù)的設(shè)置很關(guān)鍵，主要應(yīng)滿足兩方面要求：其一為合理性要求，目的在于消除勢(shì)場(chǎng)法固有的假平衡現(xiàn)象，其二為性能要求，目的為以最短時(shí)間最小能耗完成任務(wù).因本文著重驗(yàn)證方法的可行性，為簡(jiǎn)便起見，仿真所用參數(shù)僅調(diào)整至合理值，故爾從圖4b中依然可看出 后段依然有小的振蕩(最大值為5.39×10-4m/s2).

由上可看出，本法能在避碰前提下自動(dòng)導(dǎo)引航天器編成預(yù)定構(gòu)型，且導(dǎo)引過(guò)程中各航天器僅需制導(dǎo)自身的位置速度，以及感應(yīng)區(qū)內(nèi)其它航天器的位置信息.值得說(shuō)明的是，本方法同樣適用于其它行星中心開普勒軌道的圖形編隊(duì)任務(wù)，僅需依照新的C-W方程推導(dǎo)出gfar置換即可.另外，方法中的目標(biāo)構(gòu)型除了金剛石結(jié)構(gòu)單元體心正四面體之外，還可為其它基本構(gòu)型和基于基本構(gòu)型的組裝構(gòu)型.限于篇幅，僅以如下石墨結(jié)構(gòu)單元正六邊形為例說(shuō)明.

圖5 正六邊形構(gòu)型仿真近程3D圖(五角星：航天器到達(dá)gfar勢(shì)場(chǎng)內(nèi)邊界時(shí)位置；圓：航天器最終穩(wěn)定位置；星形：航天器目標(biāo)構(gòu)型位置；實(shí)線：航天器運(yùn)行軌跡)

3 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種基于Tersoff-Brenner勢(shì)的自組織圖形編隊(duì)方法，適用于行星中心開普勒軌道上的航天器群圖形編隊(duì)任務(wù).通過(guò)GEO上的該型任務(wù)仿真顯示，航天器能在有限感知信息條件下，消耗少量的計(jì)算資源，自發(fā)地形成目標(biāo)構(gòu)型，且編隊(duì)過(guò)程無(wú)碰撞.顯然，此法亦可方便地移植到其它平臺(tái)群任務(wù)中，諸如機(jī)器人、無(wú)人機(jī)、無(wú)人水下潛行器等.

驗(yàn)證完方法可行性，接下來(lái)的工作，一方面將重心放在大型擬碳?xì)浞肿涌臻g結(jié)構(gòu)的模擬上，如金剛石、石墨烯、碳納米管、足球烯等空間結(jié)構(gòu)，相信這些結(jié)構(gòu)在空間任務(wù)中將發(fā)揮奇特功用；另一方面，結(jié)合分子動(dòng)力學(xué)模擬最新技術(shù)成果，研究開發(fā)出基于其他勢(shì)場(chǎng)模型的類分子結(jié)構(gòu)的群控技術(shù).通過(guò)以上努力擬將群控技術(shù)和分子動(dòng)力學(xué)模擬技術(shù)二者結(jié)合起來(lái)，以期達(dá)到“分子構(gòu)型打印機(jī)”的效果，為群控技術(shù)的發(fā)展提供一個(gè)全新的思路，即針對(duì)群任務(wù)，只需選取適合任務(wù)實(shí)現(xiàn)的分子構(gòu)型，再基于分子構(gòu)型的模擬勢(shì)場(chǎng)，便可群控編隊(duì)，完成任務(wù).

參 考 文 獻(xiàn)

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