鐘晨星,郭 毓,周 川,陳慶偉

(南京理工大學自動化學院，南京 210094)

隨著航天技術(shù)的發(fā)展，現(xiàn)代航天器通常采用中心剛體加撓性附件的典型結(jié)構(gòu).這類航天器在飛行和控制中,隨著撓性附件的伸展和收縮，航天器的轉(zhuǎn)動慣量變化很大，同時還受到外部干擾力矩的作用,這些因素使得航天器對象具有很大的不確定性.而且，在此過程中,由于中心剛體和撓性附件之間存在強耦合,姿態(tài)運動常常導致?lián)闲越Y(jié)構(gòu)的持續(xù)振動,進而影響航天器的姿態(tài)運動與控制.因此,在設計撓性航天器姿態(tài)控制律時,尋求一種既能進行姿態(tài)控制又能抑制撓性結(jié)構(gòu)振動的強魯棒性控制方法就顯得尤為重要.滑模變結(jié)構(gòu)控制由于具有良好的魯棒性和處理非線性問題的獨到優(yōu)點，在航天器姿態(tài)控制上得到了廣泛的應用[1-3].Vadali[4]成功地將變結(jié)構(gòu)控制理論引入到剛體航天器的姿態(tài)大角度機動中.Lo和Chen[5]提出了一種通用的航天器姿態(tài)滑?？刂品椒ǎ跏紩r刻輸出力矩較大，容易激起撓性體彈性振動.滑模控制雖然具有良好的魯棒性，但其本質(zhì)上的開關(guān)特性也會帶來抖振這一突出問題，而且控制量的抖振又會激發(fā)航天器姿態(tài)和撓性附件的振動，影響控制精度.對此，不少學者采用“邊界層法”和引入模糊技術(shù)對其進行改進.文獻[6]用飽和函數(shù)代替符號函數(shù)以減弱抖振，對于剛體航天器有較好的控制效果，但是對于撓性航天器仍然會激發(fā)撓性附件的持續(xù)振動，從而影響航天器姿態(tài)的穩(wěn)定度.管萍等[7]將自適應模糊變結(jié)構(gòu)控制方法應用到航天器的姿態(tài)穩(wěn)定控制中，通過引入模糊控制技術(shù)抑制抖振，但其控制算法較為復雜.

針對上述問題，本文改進了滑模變結(jié)構(gòu)控制中的“邊界層”法，設計了一種改進的滑模變結(jié)構(gòu)控制器以抑制抖振.在建立撓性航天器數(shù)學模型的基礎上，采用Lyapunov方法設計姿態(tài)滑模變結(jié)構(gòu)控制律.針對滑模變結(jié)構(gòu)控制的不連續(xù)特性引起的抖振，提出采用反正切函數(shù)代替“邊界層”法中的飽和函數(shù)；為柔化控制量和避免機動初始時刻控制力矩過大引起航天器本體姿態(tài)的振動和激發(fā)撓性附件振動，在滑?？刂破鞯牡竭_控制律中引入滯后因子.最后，將所提控制算法用于撓性航天器的三軸姿態(tài)機動與穩(wěn)定控制中，仿真結(jié)果驗證了算法的有效性.

1 撓性航天器模型

采用四元數(shù)法描述航天器姿態(tài)，其運動學方程為[8]

(1)

撓性航天器姿態(tài)動力學方程和撓性附件振動方程分別為[8]

(2)

(3)

其中：J∈R3×3為航天器轉(zhuǎn)動慣量，u∈R3×1為控制力矩，δ∈Rn×3為航天器本體與撓性附件振動的耦合矩陣，η∈Rn×1為撓性附件振動的模態(tài)坐標，ζ∈Rn×n為撓性附件振動阻尼比矩陣，Λ∈Rn×n為撓性附件振動頻率矩陣，d∈R3×1為干擾力矩矢量，符號ω×表示矢量ω的斜對稱矩陣.

(4)

假設期望姿態(tài)四元數(shù)為qd，則姿態(tài)誤差四元數(shù)定義為[8]

(5)

式中，關(guān)于四元數(shù)p和q的4×4矩陣均為正交矩陣，且可逆.

假設期望姿態(tài)角速度為ωd，姿態(tài)角速度誤差定義為

ωe=ω-ωr

(6)

(7)

由式(4)～(7)可得，航天器姿態(tài)誤差方程

(8)

(9)

2 滑模變結(jié)構(gòu)控制器設計

2.1 滑模控制律設計

根據(jù)航天器姿態(tài)數(shù)學模型，定義切換函數(shù)為[5]：

s=ωe+kqve

(10)

式中：s=[s1,s2,s3]T∈R3,k=diag{k,k,k}，k>0.

滑動模態(tài)的存在是使用滑模變結(jié)構(gòu)控制的前提，即需要滿足下列到達條件：

(11)

針對非線性的撓性航天器姿態(tài)動力學方程(8)，設計滑動模態(tài)控制律u為：

u=-K1s-D1F(s)+ueq

(12)

式中：K1=diag{ki}，D1=diag{di}，ki>0，di>0，i=1,2,3，F(xiàn)(s)={sgn(s1),sgn(s2),sgn(s3)}T，此處，sgn(si)為符號函數(shù).

(13)

證明.將滑模到達條件式(11)，表達成Lyapunov函數(shù)型條件，選取Lyapunov函數(shù)為：

(14)

對其求導，可得：

將式(12)代入上式，可得：

利用邊界層法對所設計控制律(12)做改進，用飽和函數(shù)替換符號函數(shù)，所得控制律為

u=-K1s-D1F1(s)+ueq

(15)

式中：F1(s)=[sat(s1),sat(s2),sat(s3)]T,，此處，sat(si)為飽和函數(shù)，K1和D1為正定對角陣.

2.2 改進滑模控制律設計

設計改進控制律為：

u=-aK1s-D1F2(s)+ueq

(16)

其中：a=diag{ai},(i=1,2,3)，ai=(1+ε-e-βt)，滯后因子數(shù)值從ε開始以指數(shù)函數(shù)形式趨近于1，趨近于1后，對控制不再起滯后作用.β數(shù)值的大小決定滯后作用的長短，β數(shù)值越大滯后作用越短，經(jīng)過多次仿真，當β=0.1時，系統(tǒng)綜合性能指標較好.ε為很小的數(shù)，主要避免機動初始時刻滯后因子數(shù)值為0的情況，此處選擇為ε=0.001.f(si)為改進的“反正切”函數(shù)，F(xiàn)2(s)=[f(s1),f(s2),f(s3)]T

(17)

采用更加光滑的“反正切函數(shù)”替代“飽和函數(shù)”漸變段，減小滑?？刂茙淼亩墩?，使控制量更加柔化，減小由此引起的航天器本體和撓性附件的振動，提高控制精度.針對撓性航天器在機動初始時刻誤差較大、控制量幅值較大，容易引起超調(diào)和航天器本體姿態(tài)和撓性附件的振動.加入利用指數(shù)函數(shù)設計的滯后因子：ai=(1+ε-e-βt)，避免初始誤差較大帶來的超調(diào)，減小最大控制力矩和由此引發(fā)的航天器振動，并且降低對執(zhí)行機構(gòu)要求，從而減小執(zhí)行機構(gòu)體積和質(zhì)量.在經(jīng)歷機動初始階段后，隨著時間的增長，滯后因子數(shù)值接近于1，滯后作用逐漸減弱并消除，控制律又回到原本的滑模控制，航天器繼續(xù)以較快的速度進行機動，控制量幅值明顯降低，而且控制量輸出更加柔化，變化更加平穩(wěn).

3 仿真研究

利用MATLAB/Simulink軟件對航天器進行姿態(tài)機動和穩(wěn)定控制進行仿真，檢驗所提控制方法的有效性.航天器的標稱轉(zhuǎn)動慣量陣為[10]：

撓性附件與航天器本體姿態(tài)的耦合矩陣：

撓性附件的標稱振動頻率陣：

Λ0=diag{1.02464,1.23670,1.91610,

2.85637,3.87904}(rad/s)，

撓性附件振動阻尼陣：

ξ=diag{0.001,0.001,0.001,0.001,0.001}，

控制器參數(shù)選擇為：

K1=diag{1500,1500,1500},

D1=diag{0.95,0.95,0.95}.

取航天器實際轉(zhuǎn)動慣量J=J0，撓性附件振動頻率Λ=Λ0.初始姿態(tài)歐拉角為[0° 0° 0°]T，期望姿態(tài)歐拉角為[10° -10° 10°]T，初始和期望姿態(tài)角速度均為[0 0 0]T(°)/s，不考慮外部干擾即d=0，控制力矩限幅±100N·m.采樣時間ts=0.1s，仿真時間長度tf=150s.采用本文所提改進滑模控制(ISMC)算法(16)的仿真結(jié)果如圖1所示.為進行對比，在相同條件下，采用邊界層滑?？刂?BLSMC)算法(15)的仿真結(jié)果如圖2所示.

(a)姿態(tài)角響應曲線

(b)姿態(tài)角速度響應曲線

(c)撓性附件振動模態(tài)

(d)控制力矩

對比圖1(a)和圖2(a)可知，兩種算法均能完成姿態(tài)機動任務，改進的滑?？刂坡稍跈C動速度上略有下降，但機動路徑更加平穩(wěn)；對比圖1(a)、(b)與圖2(a)、(b)可知，改進后的滑模控制律能夠使姿態(tài)角誤差和姿態(tài)角速度誤差更快進入±(1×10-3)穩(wěn)態(tài)誤差帶且穩(wěn)態(tài)誤差更小，而且機動所需最大速度也更小，更加平穩(wěn)；對比圖1(c)和圖2(c)可以看出，算法改進后有效地抑制了撓性附件振動，將振動幅值減小了約一個數(shù)量級；對比圖1(d)與圖2(d)可見，完成相同機動任務，邊界層滑?？刂扑惴ㄋ蟮淖畲罂刂屏貛缀跏歉倪M滑模控制算法所要求最大控制力矩的10倍；由此可見使用“反正切”函數(shù)替代飽和函數(shù)，實現(xiàn)了對控制量的柔化和抖振的抑制，有效地減小了姿態(tài)的振動，顯著提高了航天器機動后的指向精度和穩(wěn)定度.加入滯后因子明顯減小了所需最大控制力矩，柔化了控制力矩，減小了由此引起航天器姿態(tài)和撓性附件的振動，控制精度更高.

為考察算法對系統(tǒng)參數(shù)攝動的魯棒性，當轉(zhuǎn)動慣量和模態(tài)振動頻率攝動±20%時，其它條件不變，分別進行機動仿真,仿真結(jié)果如下表1與表2所示.

(a)姿態(tài)角響應曲線

(b)姿態(tài)角速度響應曲線

(c)撓性附件振動模態(tài)

(d)控制力矩

為便于對比，定義如下幾項性能指標：機動時間：單軸姿態(tài)角進入穩(wěn)態(tài)值與期望值之差的±0.5%角誤差帶的時間，；穩(wěn)定時間：航天器單軸角速度進入穩(wěn)態(tài)值與期望值之差的±0.1%角速度誤差帶；指向精度：機動90s后單軸姿態(tài)角誤差的均方值；穩(wěn)定度：機動90s后單軸姿態(tài)角速度的均方值.

表1 改進滑?？刂茖Σ煌瑧T量參數(shù)下魯棒性

由表1中改進滑模控制的性能指標和可知，當航天器慣量J=1.2J0、J=0.8J0時,系統(tǒng)的控制性能與慣量J=J0指標變化不大，說明改進滑?？刂茖D(zhuǎn)動慣量的變化具有較強的魯棒性.

由表2中改進滑模控制的性能指標和可知，當航天器模態(tài)振動頻率攝動±20%時，系統(tǒng)的控制性能與Λ=Λ0時指標變化不明顯，表明改進滑模控制對模態(tài)振動頻率的攝動具有良好的魯棒性.

表2 改進滑?？刂茖Σ煌B(tài)振動頻率參數(shù)下魯棒性

4 結(jié) 論

本文研究了撓性航天器姿態(tài)的滑?？刂茊栴}，基于Lyapunov方法，提出了一種改進的滑?？刂破髟O計方法.在該滑?？刂破髦?，采用更為光滑的“反正切”函數(shù)代替飽和函數(shù)以抑制“抖振”現(xiàn)象，在到達運動控制律中引入滯后因子以減小最大控制力矩和柔化控制量.對撓性航天器姿態(tài)機動控制的仿真結(jié)果表明，采用本文所設計的改進滑?？刂破鳎軌蛳魅醵墩?，提高姿態(tài)機動的快速性和控制的穩(wěn)定度，抑制了撓性附件的振動；減小控制力矩最大幅值，柔化控制量，大大降低了對執(zhí)行機構(gòu)最大輸出力矩的要求，從而避免了大控制力矩所引起的撓性附件振動.此外，該控制器對航天器自身參數(shù)的不確定具有良好的魯棒性.

參 考 文 獻

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