鐘晨星,郭 毓,周 川,陳慶偉

(南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，南京 210094)

隨著航天技術(shù)的發(fā)展，現(xiàn)代航天器通常采用中心剛體加撓性附件的典型結(jié)構(gòu).這類航天器在飛行和控制中,隨著撓性附件的伸展和收縮，航天器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化很大，同時(shí)還受到外部干擾力矩的作用,這些因素使得航天器對(duì)象具有很大的不確定性.而且，在此過程中,由于中心剛體和撓性附件之間存在強(qiáng)耦合,姿態(tài)運(yùn)動(dòng)常常導(dǎo)致?lián)闲越Y(jié)構(gòu)的持續(xù)振動(dòng),進(jìn)而影響航天器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)與控制.因此,在設(shè)計(jì)撓性航天器姿態(tài)控制律時(shí),尋求一種既能進(jìn)行姿態(tài)控制又能抑制撓性結(jié)構(gòu)振動(dòng)的強(qiáng)魯棒性控制方法就顯得尤為重要.滑模變結(jié)構(gòu)控制由于具有良好的魯棒性和處理非線性問題的獨(dú)到優(yōu)點(diǎn)，在航天器姿態(tài)控制上得到了廣泛的應(yīng)用[1-3].Vadali[4]成功地將變結(jié)構(gòu)控制理論引入到剛體航天器的姿態(tài)大角度機(jī)動(dòng)中.Lo和Chen[5]提出了一種通用的航天器姿態(tài)滑?？刂品椒ǎ跏紩r(shí)刻輸出力矩較大，容易激起撓性體彈性振動(dòng).滑模控制雖然具有良好的魯棒性，但其本質(zhì)上的開關(guān)特性也會(huì)帶來抖振這一突出問題，而且控制量的抖振又會(huì)激發(fā)航天器姿態(tài)和撓性附件的振動(dòng)，影響控制精度.對(duì)此，不少學(xué)者采用“邊界層法”和引入模糊技術(shù)對(duì)其進(jìn)行改進(jìn).文獻(xiàn)[6]用飽和函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)以減弱抖振，對(duì)于剛體航天器有較好的控制效果，但是對(duì)于撓性航天器仍然會(huì)激發(fā)撓性附件的持續(xù)振動(dòng)，從而影響航天器姿態(tài)的穩(wěn)定度.管萍等[7]將自適應(yīng)模糊變結(jié)構(gòu)控制方法應(yīng)用到航天器的姿態(tài)穩(wěn)定控制中，通過引入模糊控制技術(shù)抑制抖振，但其控制算法較為復(fù)雜.

針對(duì)上述問題，本文改進(jìn)了滑模變結(jié)構(gòu)控制中的“邊界層”法，設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)的滑模變結(jié)構(gòu)控制器以抑制抖振.在建立撓性航天器數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，采用Lyapunov方法設(shè)計(jì)姿態(tài)滑模變結(jié)構(gòu)控制律.針對(duì)滑模變結(jié)構(gòu)控制的不連續(xù)特性引起的抖振，提出采用反正切函數(shù)代替“邊界層”法中的飽和函數(shù)；為柔化控制量和避免機(jī)動(dòng)初始時(shí)刻控制力矩過大引起航天器本體姿態(tài)的振動(dòng)和激發(fā)撓性附件振動(dòng)，在滑?？刂破鞯牡竭_(dá)控制律中引入滯后因子.最后，將所提控制算法用于撓性航天器的三軸姿態(tài)機(jī)動(dòng)與穩(wěn)定控制中，仿真結(jié)果驗(yàn)證了算法的有效性.

1 撓性航天器模型

采用四元數(shù)法描述航天器姿態(tài)，其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為[8]

(1)

撓性航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程和撓性附件振動(dòng)方程分別為[8]

(2)

(3)

其中：J∈R3×3為航天器轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，u∈R3×1為控制力矩，δ∈Rn×3為航天器本體與撓性附件振動(dòng)的耦合矩陣，η∈Rn×1為撓性附件振動(dòng)的模態(tài)坐標(biāo)，ζ∈Rn×n為撓性附件振動(dòng)阻尼比矩陣，Λ∈Rn×n為撓性附件振動(dòng)頻率矩陣，d∈R3×1為干擾力矩矢量，符號(hào)ω×表示矢量ω的斜對(duì)稱矩陣.

(4)

假設(shè)期望姿態(tài)四元數(shù)為qd，則姿態(tài)誤差四元數(shù)定義為[8]

(5)

式中，關(guān)于四元數(shù)p和q的4×4矩陣均為正交矩陣，且可逆.

假設(shè)期望姿態(tài)角速度為ωd，姿態(tài)角速度誤差定義為

ωe=ω-ωr

(6)

(7)

由式(4)～(7)可得，航天器姿態(tài)誤差方程

(8)

(9)

2 滑模變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)

2.1 滑?？刂坡稍O(shè)計(jì)

根據(jù)航天器姿態(tài)數(shù)學(xué)模型，定義切換函數(shù)為[5]：

s=ωe+kqve

(10)

式中：s=[s1,s2,s3]T∈R3,k=diag{k,k,k}，k>0.

滑動(dòng)模態(tài)的存在是使用滑模變結(jié)構(gòu)控制的前提，即需要滿足下列到達(dá)條件：

(11)

針對(duì)非線性的撓性航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程(8)，設(shè)計(jì)滑動(dòng)模態(tài)控制律u為：

u=-K1s-D1F(s)+ueq

(12)

式中：K1=diag{ki}，D1=diag{di}，ki>0，di>0，i=1,2,3，F(xiàn)(s)={sgn(s1),sgn(s2),sgn(s3)}T，此處，sgn(si)為符號(hào)函數(shù).

(13)

證明.將滑模到達(dá)條件式(11)，表達(dá)成Lyapunov函數(shù)型條件，選取Lyapunov函數(shù)為：

(14)

對(duì)其求導(dǎo)，可得：

將式(12)代入上式，可得：

利用邊界層法對(duì)所設(shè)計(jì)控制律(12)做改進(jìn)，用飽和函數(shù)替換符號(hào)函數(shù)，所得控制律為

u=-K1s-D1F1(s)+ueq

(15)

式中：F1(s)=[sat(s1),sat(s2),sat(s3)]T,，此處，sat(si)為飽和函數(shù)，K1和D1為正定對(duì)角陣.

2.2 改進(jìn)滑?？刂坡稍O(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)改進(jìn)控制律為：

u=-aK1s-D1F2(s)+ueq

(16)

其中：a=diag{ai},(i=1,2,3)，ai=(1+ε-e-βt)，滯后因子數(shù)值從ε開始以指數(shù)函數(shù)形式趨近于1，趨近于1后，對(duì)控制不再起滯后作用.β數(shù)值的大小決定滯后作用的長(zhǎng)短，β數(shù)值越大滯后作用越短，經(jīng)過多次仿真，當(dāng)β=0.1時(shí)，系統(tǒng)綜合性能指標(biāo)較好.ε為很小的數(shù)，主要避免機(jī)動(dòng)初始時(shí)刻滯后因子數(shù)值為0的情況，此處選擇為ε=0.001.f(si)為改進(jìn)的“反正切”函數(shù)，F(xiàn)2(s)=[f(s1),f(s2),f(s3)]T

(17)

采用更加光滑的“反正切函數(shù)”替代“飽和函數(shù)”漸變段，減小滑?？刂茙淼亩墩?，使控制量更加柔化，減小由此引起的航天器本體和撓性附件的振動(dòng)，提高控制精度.針對(duì)撓性航天器在機(jī)動(dòng)初始時(shí)刻誤差較大、控制量幅值較大，容易引起超調(diào)和航天器本體姿態(tài)和撓性附件的振動(dòng).加入利用指數(shù)函數(shù)設(shè)計(jì)的滯后因子：ai=(1+ε-e-βt)，避免初始誤差較大帶來的超調(diào)，減小最大控制力矩和由此引發(fā)的航天器振動(dòng)，并且降低對(duì)執(zhí)行機(jī)構(gòu)要求，從而減小執(zhí)行機(jī)構(gòu)體積和質(zhì)量.在經(jīng)歷機(jī)動(dòng)初始階段后，隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，滯后因子數(shù)值接近于1，滯后作用逐漸減弱并消除，控制律又回到原本的滑?？刂疲教炱骼^續(xù)以較快的速度進(jìn)行機(jī)動(dòng)，控制量幅值明顯降低，而且控制量輸出更加柔化，變化更加平穩(wěn).

3 仿真研究

利用MATLAB/Simulink軟件對(duì)航天器進(jìn)行姿態(tài)機(jī)動(dòng)和穩(wěn)定控制進(jìn)行仿真，檢驗(yàn)所提控制方法的有效性.航天器的標(biāo)稱轉(zhuǎn)動(dòng)慣量陣為[10]：

撓性附件與航天器本體姿態(tài)的耦合矩陣：

撓性附件的標(biāo)稱振動(dòng)頻率陣：

Λ0=diag{1.02464,1.23670,1.91610,

2.85637,3.87904}(rad/s)，

撓性附件振動(dòng)阻尼陣：

ξ=diag{0.001,0.001,0.001,0.001,0.001}，

控制器參數(shù)選擇為：

K1=diag{1500,1500,1500},

D1=diag{0.95,0.95,0.95}.

取航天器實(shí)際轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=J0，撓性附件振動(dòng)頻率Λ=Λ0.初始姿態(tài)歐拉角為[0° 0° 0°]T，期望姿態(tài)歐拉角為[10° -10° 10°]T，初始和期望姿態(tài)角速度均為[0 0 0]T(°)/s，不考慮外部干擾即d=0，控制力矩限幅±100N·m.采樣時(shí)間ts=0.1s，仿真時(shí)間長(zhǎng)度tf=150s.采用本文所提改進(jìn)滑模控制(ISMC)算法(16)的仿真結(jié)果如圖1所示.為進(jìn)行對(duì)比，在相同條件下，采用邊界層滑?？刂?BLSMC)算法(15)的仿真結(jié)果如圖2所示.

(a)姿態(tài)角響應(yīng)曲線

(b)姿態(tài)角速度響應(yīng)曲線

(c)撓性附件振動(dòng)模態(tài)

(d)控制力矩

對(duì)比圖1(a)和圖2(a)可知，兩種算法均能完成姿態(tài)機(jī)動(dòng)任務(wù)，改進(jìn)的滑?？刂坡稍跈C(jī)動(dòng)速度上略有下降，但機(jī)動(dòng)路徑更加平穩(wěn)；對(duì)比圖1(a)、(b)與圖2(a)、(b)可知，改進(jìn)后的滑?？刂坡赡軌蚴棺藨B(tài)角誤差和姿態(tài)角速度誤差更快進(jìn)入±(1×10-3)穩(wěn)態(tài)誤差帶且穩(wěn)態(tài)誤差更小，而且機(jī)動(dòng)所需最大速度也更小，更加平穩(wěn)；對(duì)比圖1(c)和圖2(c)可以看出，算法改進(jìn)后有效地抑制了撓性附件振動(dòng)，將振動(dòng)幅值減小了約一個(gè)數(shù)量級(jí)；對(duì)比圖1(d)與圖2(d)可見，完成相同機(jī)動(dòng)任務(wù)，邊界層滑?？刂扑惴ㄋ蟮淖畲罂刂屏貛缀跏歉倪M(jìn)滑模控制算法所要求最大控制力矩的10倍；由此可見使用“反正切”函數(shù)替代飽和函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)控制量的柔化和抖振的抑制，有效地減小了姿態(tài)的振動(dòng)，顯著提高了航天器機(jī)動(dòng)后的指向精度和穩(wěn)定度.加入滯后因子明顯減小了所需最大控制力矩，柔化了控制力矩，減小了由此引起航天器姿態(tài)和撓性附件的振動(dòng)，控制精度更高.

為考察算法對(duì)系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)的魯棒性，當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和模態(tài)振動(dòng)頻率攝動(dòng)±20%時(shí)，其它條件不變，分別進(jìn)行機(jī)動(dòng)仿真,仿真結(jié)果如下表1與表2所示.

(a)姿態(tài)角響應(yīng)曲線

(b)姿態(tài)角速度響應(yīng)曲線

(c)撓性附件振動(dòng)模態(tài)

(d)控制力矩

為便于對(duì)比，定義如下幾項(xiàng)性能指標(biāo)：機(jī)動(dòng)時(shí)間：?jiǎn)屋S姿態(tài)角進(jìn)入穩(wěn)態(tài)值與期望值之差的±0.5%角誤差帶的時(shí)間，；穩(wěn)定時(shí)間：航天器單軸角速度進(jìn)入穩(wěn)態(tài)值與期望值之差的±0.1%角速度誤差帶；指向精度：機(jī)動(dòng)90s后單軸姿態(tài)角誤差的均方值；穩(wěn)定度：機(jī)動(dòng)90s后單軸姿態(tài)角速度的均方值.

表1 改進(jìn)滑?？刂茖?duì)不同慣量參數(shù)下魯棒性

由表1中改進(jìn)滑?？刂频男阅苤笜?biāo)和可知，當(dāng)航天器慣量J=1.2J0、J=0.8J0時(shí),系統(tǒng)的控制性能與慣量J=J0指標(biāo)變化不大，說明改進(jìn)滑模控制對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的變化具有較強(qiáng)的魯棒性.

由表2中改進(jìn)滑?？刂频男阅苤笜?biāo)和可知，當(dāng)航天器模態(tài)振動(dòng)頻率攝動(dòng)±20%時(shí)，系統(tǒng)的控制性能與Λ=Λ0時(shí)指標(biāo)變化不明顯，表明改進(jìn)滑?？刂茖?duì)模態(tài)振動(dòng)頻率的攝動(dòng)具有良好的魯棒性.

表2 改進(jìn)滑?？刂茖?duì)不同模態(tài)振動(dòng)頻率參數(shù)下魯棒性

4 結(jié) 論

本文研究了撓性航天器姿態(tài)的滑?？刂茊栴}，基于Lyapunov方法，提出了一種改進(jìn)的滑?？刂破髟O(shè)計(jì)方法.在該滑?？刂破髦校捎酶鼮楣饣摹胺凑小焙瘮?shù)代替飽和函數(shù)以抑制“抖振”現(xiàn)象，在到達(dá)運(yùn)動(dòng)控制律中引入滯后因子以減小最大控制力矩和柔化控制量.對(duì)撓性航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)控制的仿真結(jié)果表明，采用本文所設(shè)計(jì)的改進(jìn)滑?？刂破?，能夠削弱抖振，提高姿態(tài)機(jī)動(dòng)的快速性和控制的穩(wěn)定度，抑制了撓性附件的振動(dòng)；減小控制力矩最大幅值，柔化控制量，大大降低了對(duì)執(zhí)行機(jī)構(gòu)最大輸出力矩的要求，從而避免了大控制力矩所引起的撓性附件振動(dòng).此外，該控制器對(duì)航天器自身參數(shù)的不確定具有良好的魯棒性.

參 考 文 獻(xiàn)

[1]Hu Q L, Ma G F, Xie L H. Robust and adaptive variable structure output feedback control of uncertain systems with input nonlinearity[J]. Automatica, 2008, 44(2): 552-559

[2]Hu Q L, Ma G F. Control of three-axis stabilized flexible spacecraft using variable structure strategies subject to input nonlinearities[J]. Journal of Vibration and Con-trol, 2006, 12(6): 659-681

[3]Liu H, Li J F, Hexi B Y．Sliding mode control for low thrust earth-orbiting spacecraft formation maneuvering [J]． Aerospace Science and Technology, 2006, 10(7):636-643

[4]Vadali S R. Variable structure control of spacecraft large attitude maneuvers[J]．Journal of Guidance, Control and Dynamics, 1986, 9(3):235-239

[5]Lo S C, Chen Y P．Smooth sliding mode control for spacecraft attitude tracking maneuvers[J]．Journal of Guidance, Control and Dynamics, 1995, 18(6):1345-1349

[6]呂建婷,李傳江,馬廣富.衛(wèi)星姿態(tài)調(diào)節(jié)的滑模PID控制器設(shè)計(jì)[J].哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2008,40(7): 1009-1012

Lv J T,Li C J,Ma G F. A sliding mode PID controller design for satellite attitude regulation[J].Journal of Harbin Institute of Technology, 2008, 40(7): 1009-1012

[7]管萍,劉小河,劉向杰.撓性衛(wèi)星的變結(jié)構(gòu)姿態(tài)控制[J].控制理論與應(yīng)用,2007,24(3):480-484

Guan P, Liu X H, Liu X J. Variable structure attitude control of flexible spacecraft [J]. Control Theory & Applications, 2007, 24(3): 480-484

[8]屠善澄.衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)與控制[M].北京：中國(guó)宇航出版社,1999

[9]Hu Q L. Variable structure maneuvering control with time-varying sliding surface and active vibration damping of flexible spacecraft with input saturation[J]. Acta Astronautica,2009,64:1085-1108

[10]李英波.撓性充液衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)分析與姿態(tài)控制研究[D].上海:上海交通大學(xué),2001

Li Y B. Studies on attitude dynamics and control for flexible satellite filled with liquid[D]. Shanghai: Shanghai Jiaotong University, 2001