摘要： 微元法是解決物理問題的基本思想方法之一，它貫穿于整個(gè)高中物理知識(shí)體系，也是大學(xué)普通物理常用方法。本文通過江蘇高考?jí)狠S題的分析，意在歸納應(yīng)用微元法處理電磁感應(yīng)問題的方法和突破技巧。

關(guān)鍵詞： 高考； 壓軸題；微元法；方法突破

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1006-5962（2013）05-0320-02

高考命題以能力測(cè)試為主導(dǎo)，考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的掌握程度和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析、解決問題的能力。微元法是解決物理問題的基本思想方法之一，它貫穿于整個(gè)高中物理知識(shí)體系，也是大學(xué)普通物理常用方法。在2006年至2009年江蘇高考連續(xù)四年的壓軸題，如出一轍地重點(diǎn)考查了用微元法解決電磁感應(yīng)背景下的實(shí)際問題，考題靈活多變，能力要求很高。雖然題目有點(diǎn)難，但還是有規(guī)律可尋的。本文通過江蘇高考題的分析，意在歸納用微元法處理電磁感應(yīng)問題的方法突破，以期給您有所啟發(fā)。

1 考題分析

1.1 （06年江蘇高考19題第④問）如圖1所示，頂角θ=45°的金屬導(dǎo)軌MON固定在水平面內(nèi)，導(dǎo)軌處在方向豎直、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，一根與ON垂直的導(dǎo)體棒在水平外力作用下以恒定的速度v0沿導(dǎo)軌MON向右運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體棒的質(zhì)量為m，導(dǎo)軌與導(dǎo)體棒單位長(zhǎng)度的電阻均為r.導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌的接觸點(diǎn)為a和b，導(dǎo)體棒在滑動(dòng)過程中始終保持與導(dǎo)軌良好接觸.t=0θ時(shí)，導(dǎo)體棒位于頂角O處，若在t0時(shí)刻將外力撤去，求導(dǎo)體棒最終在導(dǎo)軌上靜止時(shí)的坐標(biāo)x.

【分法突破】t0時(shí)刻撤去外力后，導(dǎo)體棒的速度在不斷變化，導(dǎo)體棒的有效長(zhǎng)度也在不斷變化，受力在變化，導(dǎo)體棒做變減速運(yùn)動(dòng)，用勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律求位移顯然不行。只能想到微元法來處理。設(shè)任意時(shí)刻t導(dǎo)體棒的坐標(biāo)為x，速度為v，取很短時(shí)間Δt，研究過程為t-t+Δt ，在Δt 內(nèi)導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)當(dāng)作勻速運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體棒的有效長(zhǎng)度、回路中的電動(dòng)勢(shì)、電阻、電流等均視為一定，把微元過程中回路變化的梯形面積視為矩形面積，再對(duì)這些矩形元求和。

【點(diǎn)評(píng)】本題進(jìn)行了微元轉(zhuǎn)化，由時(shí)間微元通過物理量的巧妙結(jié)合，轉(zhuǎn)換為面積微元，面積又與三角形邊長(zhǎng)（位移）有關(guān)，從而使得位置坐標(biāo)可求。

1.2 （07江蘇高考18題第③問）如圖3所示，空間等間距分布著水平方向的條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，豎直方向磁場(chǎng)區(qū)域足夠長(zhǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T，每一條形磁場(chǎng)區(qū)域的寬度及相鄰條形磁場(chǎng)區(qū)域的間距均為d=0.5m，現(xiàn)有一邊長(zhǎng)l=0.2m、質(zhì)量m=0.1kg、電阻R=0.1Ω的正方形線框MNOP以v0=7m/s的初速?gòu)淖髠?cè)磁場(chǎng)邊緣水平進(jìn)入磁場(chǎng)，求線框能穿過的完整條形磁場(chǎng)區(qū)域的個(gè)數(shù)n。

【分法突破】求線框能穿過的完整條形磁場(chǎng)區(qū)域的個(gè)數(shù)n，實(shí)質(zhì)上就是求線框在水平方向上運(yùn)動(dòng)的最大位移，若求位移，必須知道線框的運(yùn)動(dòng)情況.經(jīng)分析可知，線框豎直方向受到安培力的合力為零而作自由落體運(yùn)動(dòng)，水平方向受變化的安培力作變減速運(yùn)動(dòng)，所以只能用微元法處理。

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)題中變化的物理量取微元從根本上分為時(shí)間微元和空間微元。解法一中依據(jù)題目所求物理量直接取位移微元，用動(dòng)能定理建立微觀量與宏觀量之間的關(guān)系，但必須清楚在△x位移里是勻速運(yùn)動(dòng)， ，否則將無法進(jìn)行下去。解法二中取最為常見的時(shí)間微元，但要換元才能得到要求的位移。

3.（08江蘇高考18題第③問）如圖4所示，間距為L(zhǎng)的兩條足夠長(zhǎng)的平行金屬導(dǎo)軌與水平面的夾角為θ，導(dǎo)軌光滑且電阻忽略不計(jì).場(chǎng)強(qiáng)為B的條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向與導(dǎo)軌平面垂直，磁場(chǎng)區(qū)域的寬度為d1，間距為d2.兩根質(zhì)量均為m、有效電阻均為R的導(dǎo)體棒a和b放在導(dǎo)軌上，并與導(dǎo)軌垂直.（設(shè)重力加速度為g）

（2）若a進(jìn)入第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，b恰好離開第1個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域，此后a離開第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，b 又恰好進(jìn)入第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域且a 、b在任意一個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域或無磁場(chǎng)區(qū)域的運(yùn)動(dòng)時(shí)間均相等.求b穿過第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域過程中，兩導(dǎo)體棒產(chǎn)生的總焦耳熱Q.

（3）對(duì)于第（2）問所述的運(yùn)動(dòng)情況，求a穿出第k個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速率v.

【分法突破】要求a穿出第k個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速率v ，必須搞清楚a棒在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況。a棒在無磁場(chǎng)區(qū)域作加速度a=gsin θ的勻加速運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)除受重力、支持力外，還要受到變化的安培力作用，而做非勻變速運(yùn)動(dòng)，不可能用勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律求速度，再結(jié)合題中所給時(shí)間關(guān)系，應(yīng)該想到時(shí)間微元法。

【點(diǎn)評(píng)】此題情景較為復(fù)雜，不僅有兩個(gè)棒，多個(gè)有無磁場(chǎng)區(qū)域交替出現(xiàn)，而且整個(gè)裝置傾斜放置，考生看到圖形，心里發(fā)毛而無心作答。其實(shí)只要靜心有耐心讀完題目，按照常規(guī)的分析方法和思路進(jìn)行，并不是高不可攀。依據(jù)題中所給速度及時(shí)間關(guān)系，若腦中有"處理非勻變速運(yùn)動(dòng)想到時(shí)間微元法"這樣的穩(wěn)定認(rèn)知結(jié)構(gòu)，此題還是可以一試的。某種程度上本題是在考查考生的心理承受能力。

4.[2009江蘇高考15題第②問] 如圖5所示，兩平行的光滑金屬導(dǎo)軌安裝在一光滑絕緣斜面上，導(dǎo)軌間距為l、 足夠長(zhǎng)且電阻忽略不計(jì)，導(dǎo)軌平面的傾角為 ，條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)的寬度為d，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向與導(dǎo)軌平面垂直.長(zhǎng)度為2d的絕緣桿將導(dǎo)體棒和正方形的單匝線框連接在一起組成" "型裝置，總質(zhì)量為m，置于導(dǎo)軌上.導(dǎo)體棒中通以大小恒為I的電流（由外接恒流源產(chǎn)生，圖中未畫出）.線框的邊長(zhǎng)為d（d < l），電阻為R，下邊與磁場(chǎng)區(qū)域上邊界重合.將裝置由靜止釋放，導(dǎo)體棒恰好運(yùn)動(dòng)到磁場(chǎng)區(qū)域下邊界處返回，導(dǎo)體棒在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中始終與導(dǎo)軌垂直.重力加速度為g.求：線框第一次穿越磁場(chǎng)區(qū)域所需的時(shí)間t1.

【分法突破】本題要求的是線框第一次穿越磁場(chǎng)區(qū)域所需的時(shí)間t1.當(dāng)然需要知道線框在磁場(chǎng)是怎么運(yùn)動(dòng)的。經(jīng)分析不難發(fā)現(xiàn)線框穿過磁場(chǎng)的過程是一個(gè)加速度不斷變化的運(yùn)動(dòng)，要想得出線框第一次穿越所需時(shí)間，我們可以運(yùn)用微元法，將整個(gè)穿越過程分為許多元過程，運(yùn)用每個(gè)元過程都適用的牛頓第二定律，選取其中一個(gè)元過程，列出表達(dá)式，然后累積求和，即可解決問題。

【解答】（2）設(shè)線框剛離開磁場(chǎng)下邊界時(shí)的速度為v1 ，則接著向下運(yùn)動(dòng)2d 棒恰好運(yùn)動(dòng)到磁場(chǎng)下邊界速度減為零開始返回，此過程由動(dòng)能定理得。線框在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)裝置受到的合力F=mgsina-F' ，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) E=Bdv，感應(yīng)電流 I'=E/R ，安培力F' =BI'd =，由牛頓第二定律可得，線框在磁場(chǎng)中，t時(shí)刻速度為v，在t到t+△t 時(shí)間內(nèi)△v=△t ，則

【點(diǎn)評(píng)】此題是高考命題中常用的組合法。命題者巧妙地把電磁感應(yīng)中兩個(gè)常見又典型的模型結(jié)合

在一起：一個(gè)是桿與框架模型，另一個(gè)是線框進(jìn)出勻強(qiáng)磁場(chǎng)模型。變?yōu)榻Y(jié)構(gòu)更為復(fù)雜的框架結(jié)構(gòu)，而且還是一個(gè)多過程問題.但我們只要牢牢抓住受力分析和運(yùn)動(dòng)過程分析這一基本分析思路，掌握處理問題的基本方法，相信這類綜合問題還是可以迎刃而解的。

總結(jié)：由以上四道高考?jí)狠S題可以看出，微元法用在物體由于受到變化的安培力作用而使物體在磁場(chǎng)中做非勻變速運(yùn)動(dòng)過程，要求其運(yùn)動(dòng)學(xué)物理量，用勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律無能為力，只能取此過程中的一小段時(shí)間或位移，列出牛頓第二定律的表達(dá)式（或動(dòng)量定理，極少用動(dòng)能定理），然后求和即可，注意物理量結(jié)合在一起時(shí)的換元。

2 方法提煉

2.1 微元法是"化變?yōu)椴蛔?、"化曲為直"的重要手段。在電磁感應(yīng)問題中，常常遇到非勻變速運(yùn)動(dòng)過程中求時(shí)間、速度、位移、電量，能量等問題，靈活運(yùn)用微元的思想，把整體變化過程轉(zhuǎn)化為微小不變過程來處理，從而更深刻的理解物理過程和規(guī)律內(nèi)涵。此法要求考生能把宏觀過程和微觀過程有機(jī)地統(tǒng)一起來。

2.2 利用微元法解決問題，要求考生具備熟練構(gòu)建微元，合理地運(yùn)用已有的物理公式建立微觀量與宏觀量，微觀過程與宏觀過程的有機(jī)聯(lián)系，同時(shí)對(duì)取微元后涉及到的物理量變與不變要有辯證的理解，如勻變速直線運(yùn)動(dòng)中，在時(shí)間微元 內(nèi)可認(rèn)為速度是不變的，但位移是變化的，如求非恒定電流的電量時(shí)，在時(shí)間微元 內(nèi)可認(rèn)為電流是不變的，但電量是變化的等等。

2.3 微元法從根本上來說只有時(shí)間微元和空間微元兩種，只不過在實(shí)際問題中常常要進(jìn)行換"元"，具有一定的靈活性。如（1）時(shí)間元與空間元的相互代換；（2）線元與面元、體元的相互轉(zhuǎn)換；（3）線元與角元的相互轉(zhuǎn)換；（4）孤立元與組合元間的相互代換。在力電磁綜合題中經(jīng)常用到的換元有：v·△t→△x，L·△x→△S， I·△t→△q， R△θ→△L等，使式子向題中所求的結(jié)論或結(jié)果方向組合，這一點(diǎn)往往是整個(gè)題中的難點(diǎn)所在。

3 佳題演練

3.1 如圖6所示，兩根相距為d足夠長(zhǎng)的光滑平行金屬導(dǎo)軌位于水平的xOy平面內(nèi)，導(dǎo)軌與x軸平行，左端接有阻值為R的電阻.在x>0的一側(cè)存在豎直向下的磁場(chǎng)，金屬棒質(zhì)量為m，電阻為r，與金屬導(dǎo)軌垂直放置，且接觸良好.開始時(shí)，金屬棒位于x=0處，現(xiàn)給金屬棒一大小為v0、方向沿x軸正方向的初速度，金屬棒沿導(dǎo)軌滑動(dòng)，金屬導(dǎo)軌電阻可忽略不計(jì).問：

（1） 若導(dǎo)軌間的磁場(chǎng)是勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，導(dǎo)體棒最終在導(dǎo)軌上靜止時(shí)的坐標(biāo) x1；

（2）若導(dǎo)軌間的磁場(chǎng)是非勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B沿x軸正方向增加，且大小滿足 ，導(dǎo)體棒最終在導(dǎo)軌上靜止時(shí)的坐標(biāo) x2.

3.2 如圖7所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布在寬度為L(zhǎng)的區(qū)域內(nèi)，現(xiàn)有一個(gè)邊長(zhǎng)為a（a

作者簡(jiǎn)介：

卞志榮，男，（1962-2），江蘇句容人，工作單位：江蘇省天一中學(xué)（無錫），職稱：正高（江蘇省教授級(jí)中學(xué)高級(jí)教師），江蘇省物理特級(jí)教師。有多年畢業(yè)班、競(jìng)賽輔導(dǎo)、班主任工作經(jīng)歷，現(xiàn)仍在一線從事高中物理教學(xué)工作，主持或參與多個(gè)國(guó)家、省市級(jí)課題研究工作，研究方向主要是高中物理課堂教學(xué)、實(shí)驗(yàn)教學(xué)、校本課程開發(fā)研究。現(xiàn)已在正規(guī)期刊公開發(fā)表論文或文章100余篇，其中核心期刊50多篇。