董志明

分類(lèi)思想是一種很重要的數(shù)學(xué)思想，貫穿于整個(gè)初中數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)體系中。分類(lèi)討論的思想方法，就是對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi)，逐一討論滿(mǎn)足條件的各類(lèi)情況，達(dá)到問(wèn)題的全面解決。它實(shí)質(zhì)上就是按照數(shù)學(xué)對(duì)象的共同性和差異性，將其區(qū)分為不同種類(lèi)的思想方法。其作用是克服思維的片面性，防止漏解。要做到成功分類(lèi)，關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是要有分類(lèi)意識(shí)，善于從問(wèn)題情景中抓住分類(lèi)的對(duì)象；二是要斟酌問(wèn)題的實(shí)際情況，找出科學(xué)合理的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)當(dāng)遵循互斥、無(wú)漏、最簡(jiǎn)的原則。

數(shù)學(xué)思想的滲透是一個(gè)長(zhǎng)期的緩慢的過(guò)程，最終是要讓學(xué)生掌握它，并會(huì)用它解決問(wèn)題。本文就初一數(shù)學(xué)中的分類(lèi)思想作介紹。

一、概念教學(xué)中的分類(lèi)思想的滲透

初一數(shù)學(xué)中引進(jìn)入一些新的概念，而這些概念大都同分類(lèi)思想聯(lián)系在一起。

1.用分類(lèi)的思想來(lái)定義某些概念。

有些概念本身就是分類(lèi)思想的很好體現(xiàn)。例如：有理數(shù)的定義、整式的定義等。在有理數(shù)的概念理解上，一定要讓學(xué)生通過(guò)分類(lèi)的思想理解“有理數(shù)a”可能是一個(gè)正有理數(shù)、一個(gè)負(fù)有理數(shù)或零，而不能理解為有理數(shù)a一定是一個(gè)正有理數(shù)。又例如：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱(chēng)為整式。定義的本身就反映了整式可分為單項(xiàng)式和多項(xiàng)式，這既說(shuō)明了研究整式就是研究單項(xiàng)式和多項(xiàng)式，又說(shuō)明了整式同其他代數(shù)式（如分式、無(wú)理式等）的區(qū)別。

2.用分類(lèi)的思想進(jìn)一步挖掘概念的內(nèi)涵。

對(duì)某些概念的理解，我們可以借助分類(lèi)思想進(jìn)行進(jìn)一步探討。例如：絕對(duì)值的概念、相反數(shù)的概念、角的概念等。在絕對(duì)值的概念教學(xué)過(guò)程中，我們先讓學(xué)生理解一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是這個(gè)數(shù)到原點(diǎn)的距離。例如3的絕對(duì)值就是在數(shù)軸上3這個(gè)點(diǎn)離開(kāi)原點(diǎn)的距離，即3的絕對(duì)值等于3；-3的絕對(duì)值就是在數(shù)軸上-3這個(gè)點(diǎn)離開(kāi)原點(diǎn)的距離，即-3的絕對(duì)值等于3；0的絕對(duì)值就是在數(shù)軸上0這個(gè)點(diǎn)離開(kāi)原點(diǎn)的距離，即0的絕對(duì)值等于0。在此基礎(chǔ)上，利用分類(lèi)思想對(duì)數(shù)的絕對(duì)值進(jìn)行分類(lèi)：正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值還是0。這樣，學(xué)生對(duì)絕對(duì)值這個(gè)概念就有了全面、深刻的理解。再例如：在教學(xué)角的概念的過(guò)程中，學(xué)生在理解了角是由有公共端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)組成的圖形后，對(duì)小于平角的角進(jìn)行分類(lèi)，按照度數(shù)的大小可分為：鈍角、直角、銳角。理解了角分這三種情況，對(duì)后面理解三角形的分類(lèi)起到了鋪墊作用。

在概念教學(xué)中，運(yùn)用分類(lèi)的思想，按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行科學(xué)分類(lèi)，對(duì)學(xué)生正確地理解這些概念起到了促進(jìn)作用，同時(shí)也為后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)打下了良好的基礎(chǔ)。

二、運(yùn)用分類(lèi)的思想整體感知知識(shí)

教材的編寫(xiě)基本上是按單元、章節(jié)進(jìn)行編排的。在學(xué)完一個(gè)單元或一個(gè)章節(jié)以后，可以用分類(lèi)的思想方法對(duì)本單元或本章節(jié)的知識(shí)進(jìn)行概括性復(fù)習(xí)，這樣既有利于學(xué)生更好地理解這些概念，又有利于學(xué)生掌握這些知識(shí)之間的區(qū)別和聯(lián)系。例如在學(xué)完有理數(shù)的第一單元后，可以按正數(shù)、負(fù)數(shù)和零分別對(duì)有關(guān)概念進(jìn)行總結(jié)，分清這些概念之間的聯(lián)系與區(qū)別。

三、分類(lèi)的思想在解題中的運(yùn)用

1.分類(lèi)的思想方法在代數(shù)中的應(yīng)用

分類(lèi)的思想方法在初中代數(shù)中的應(yīng)用極其廣泛，如實(shí)數(shù)的分類(lèi)、代數(shù)式的分類(lèi)、方程的分類(lèi)、函數(shù)的分類(lèi)、統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分類(lèi)等，總之，整個(gè)初中代數(shù)可看做是一個(gè)分類(lèi)討論系統(tǒng)，所以，分類(lèi)的思想方法在代數(shù)方面的應(yīng)用很廣。在做這類(lèi)題目時(shí)，要有分類(lèi)意識(shí)，仔細(xì)分析遇到的問(wèn)題是否需要分類(lèi)，如何分類(lèi)，標(biāo)準(zhǔn)是什么，分類(lèi)時(shí)要熟悉問(wèn)題所涉及的基本概念、性質(zhì)、定義、法則、公式、定理等，把原問(wèn)題既不重復(fù)又不遺漏地分解成幾個(gè)較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，化整為零，各個(gè)擊破，最終使原問(wèn)題得以解決。

例1：（選擇題）已知|X|=3，|Y|=2，且XY<0，則X+Y的值等于（ ）

A.5或-5 B.1或-1 C.5或1 D.-5或-1

分析：由XY<0得X，Y異號(hào)，可以分兩種情況討論：

①當(dāng)X>0且Y<0時(shí)，X=3，Y=-2

得X+Y=3-2=1

②當(dāng)X<0且Y>0時(shí)，X=-3，Y=2

得X+Y=-3+2=-1

所以X+Y的值是1或-1，故應(yīng)選B。

說(shuō)明：這道選擇題，立意新穎，旨在通過(guò)分類(lèi)思想方法考查基礎(chǔ)知識(shí)，即只要有分類(lèi)意識(shí)，掌握分類(lèi)的方法，就可以不重復(fù)不遺漏地得到正確結(jié)論。

說(shuō)明：本題考查絕對(duì)值的意義。在去絕對(duì)值時(shí)要分類(lèi)討論。

2.分類(lèi)的思想在幾何中的應(yīng)用

分類(lèi)思想方法在幾何中的應(yīng)用更廣泛，如角的分類(lèi)、三角形的分類(lèi)、四邊形的分類(lèi)、兩直線(xiàn)的位置關(guān)系的分類(lèi)、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的分類(lèi)、直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系的分類(lèi)、兩圓的位置關(guān)系的分類(lèi)等，特別是一些重要定理的證明，如圓周角定理、弦切角定理都充分體現(xiàn)了分類(lèi)思想方法的應(yīng)用。總之，平面幾何的知識(shí)結(jié)構(gòu)中貫穿了分類(lèi)的思想方法，所以在幾何題目中，常常出現(xiàn)考查分類(lèi)思想方法的幾何題，這類(lèi)題的解題思路是：對(duì)具有位置關(guān)系的幾何圖形，要有分類(lèi)討論的意識(shí)，如圓周角的邊長(zhǎng)已知，求角時(shí)應(yīng)考慮圓心與圓周角的位置關(guān)系；圓內(nèi)兩平行弦相對(duì)于圓心也應(yīng)考慮其位置關(guān)系；兩圓相交公共弦與兩圓心的位置關(guān)系也應(yīng)分類(lèi)討論，等腰三角形的頂角情況要分三種可能加以研究；兩相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系也有多種情況，等等?？傊?，在熟悉幾何問(wèn)題所需要的基礎(chǔ)知識(shí)的前提下，正確應(yīng)用分類(lèi)的思想方法，恰當(dāng)?shù)剡x擇分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)是準(zhǔn)確全面求解的根本保證。

例1：如圖1中，直線(xiàn)上共有A、B、C、D、E五個(gè)點(diǎn)，問(wèn)直線(xiàn)上共有多少條線(xiàn)段？

解：可按點(diǎn)的順序考慮（即向一個(gè)方向），

以點(diǎn)A為一個(gè)端點(diǎn)的線(xiàn)段有4條，以B點(diǎn)為一個(gè)端點(diǎn)的線(xiàn)段有3條，以C點(diǎn)為一個(gè)端點(diǎn)的線(xiàn)段有2條，以D點(diǎn)為一個(gè)端點(diǎn)的線(xiàn)段有1條，所以圖中共有4+3+2+1=10條線(xiàn)段。

說(shuō)明：按分類(lèi)討論的方法來(lái)解數(shù)線(xiàn)段或數(shù)角的問(wèn)題，可把對(duì)問(wèn)題不重復(fù)、不遺漏地加以考慮，從而迅速正確地求解。

例2：已知線(xiàn)段AB=8cm，在直線(xiàn)AB上畫(huà)線(xiàn)段BC，使它等于3cm，求線(xiàn)段AC的長(zhǎng)。

分析：因?yàn)锽C=3cm，而C點(diǎn)的位置有兩種可能：點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上和點(diǎn)C在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上。這樣就要分兩種情況討論。

解：若C點(diǎn)在AB上，則AC+BC=AB

而B(niǎo)C=3cm，AB=8cm

∴AC=5cm

若C點(diǎn)在AB延長(zhǎng)線(xiàn)上，則AB+BC=AC

而AB=8cm，BC=3cm

∴AC=11cm

∴線(xiàn)段AC的長(zhǎng)為5cm或11cm。

很多幾何問(wèn)題解決過(guò)程中都滲透了分類(lèi)討論的思想。通過(guò)分類(lèi)討論，既能使問(wèn)題得到解決，又能使學(xué)生學(xué)會(huì)多角度、多方面地分析、解決問(wèn)題。