重慶 高仕學

高等數(shù)學中的n元線性方程組求解的問題是學生難以解決的問題，甚至無法解決的問題，為了更好地幫助學生學習，根據(jù)筆者多年的教學經(jīng)驗，對n元線性方程組的解法進行探討。

一、n元線性方程組相關(guān)定義

這里的m,n可以相等也可以不等，b1，b2，…，bm不全為零。

二、n元線性方程組解的判定

（一）齊次線性方程組解的判定

1.判定1（系數(shù)行列式）——克萊姆法則求解

當方程的個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相等時，如果系數(shù)行列式D≠0，則有零解（如果系數(shù)行列式D=0，則有非零解）。

2.解的判定2（矩陣的秩）——高斯消元法求解

注：齊次線性方程組一定有解

（二）非齊次線性方程組解的判定

1.解的判定1（系數(shù)行列式）——克萊姆法則求解

當方程的個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相等時，如果系數(shù)行列式D≠0，則方程有唯一解（如果系數(shù)行列式D=0，則方程組無解或無窮解）。

2.解的判定2（矩陣的秩）——高斯消元法求解

三、n元線性方程組的解法（高斯消元法）

（一）齊次線性方程組

步驟：1.判解 2.求解 1）唯一解 直接寫出零解；2）無窮解 將階梯形矩陣化為簡化梯形陣--寫出同解方程組——取自由變量——寫通解解 1）判解

階梯形矩陣

所以 R（A）=2=r n=4

故方程組有無窮解

2）求解

（二）非齊次線性方程組

步驟：1.判解 2.求解 1）唯一解 將階梯形矩陣化為簡化梯形陣而得解；2）無窮解 將階梯形矩陣化為簡化梯形陣——寫出同解方程組——取自由變量——寫通解

在這里，由于篇幅的限制，用克萊姆法則解n元線性方程組就不介紹了。值得注意是用逆矩陣也可解n元線性方程組。

總之，高等數(shù)學中n元線性方程組求解的問題很復雜，需要我們掌握多種求解方法，在求解時要根據(jù)題目確定具體方法，一般采用高斯消元法。只要我們多練習，而且不斷總結(jié)，再復雜問題也可解決。

[1]黃江等.高等數(shù)學.重慶大學出版社，2009年8月.

[2]鄭文等.高等數(shù)學.電子科技大學出版社，2010年7月.