摘 要：本文中，我們首先對(duì)滿(mǎn)足 possion跳躍擴(kuò)散模型的單一股票的美式看跌期權(quán)在理論上進(jìn)行了LSM方法定價(jià)分析。然后，我們嘗試對(duì)IBM股票的美式看漲和看跌期權(quán)進(jìn)行模擬定價(jià)，并進(jìn)行了結(jié)果分析、模型評(píng)價(jià)和對(duì)模型的修正。

關(guān)鍵詞：跳躍擴(kuò)散模型 LSM方法 美式期權(quán)

一、模型假設(shè)

（1）股票價(jià)格服從參數(shù)和為常數(shù)的隨機(jī)過(guò)程：

其中，是以泊松過(guò)程為計(jì)數(shù)過(guò)程的隨機(jī)變量

（2）市場(chǎng)是完全并有效的；

（3）期權(quán)有效期內(nèi)標(biāo)的股票沒(méi)有紅利支付；

（4）證券交易是連續(xù)的；

（5）無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為常數(shù)且對(duì)所有到期日都相同。

二、模型簡(jiǎn)述

（一）LSM方法

LSM方法模擬定價(jià)的基本原理是：在有限個(gè)離散的時(shí)間點(diǎn)上，根據(jù)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的模擬樣本路徑在每個(gè)時(shí)刻的截面數(shù)據(jù)，利用最小二乘法回歸求得繼續(xù)持有期權(quán)的期望收益，并將其與該時(shí)刻立即執(zhí)行期權(quán)的收益相比較，如果后者大于前者，則立即執(zhí)行期權(quán)，否則，繼續(xù)持有期權(quán)。其基本步驟如下：

首先，生成標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的樣本路徑。其次，從期權(quán)到期日開(kāi)始逆向求解，得到每條樣本路徑上的最優(yōu)期權(quán)執(zhí)行時(shí)間和相應(yīng)的期權(quán)收益。最后，將每條樣本路徑的期權(quán)收益用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)，然后取它們的均值即得到模擬的期權(quán)價(jià)值。下面，我們以單一標(biāo)的資產(chǎn)美式看跌期權(quán)定價(jià)為例，說(shuō)明LSM模擬方法的算法實(shí)現(xiàn)步驟：

第一步：生成標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格樣本路徑。

根據(jù)期權(quán)理論，我們假設(shè)期權(quán)的到期日為，執(zhí)行時(shí)間為則對(duì)歐式期權(quán)而言，期權(quán)只能在到期日?qǐng)?zhí)行；對(duì)美式期權(quán)而言，期權(quán)可以在到期日前的任意時(shí)刻執(zhí)行。因此，期權(quán)在執(zhí)行時(shí)間的價(jià)值為 （1）

其中，為風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下的期望值，為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率， 為從發(fā)行日至到期日之間標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的路徑。我們模擬期權(quán)定價(jià)的第一步便是運(yùn)用蒙特卡洛方法生成標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的樣本路徑。假設(shè)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，根據(jù)伊藤定理，在風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)下，我們可以得到： （2）

為應(yīng)用蒙特卡洛方法，我們將（2）式離散化：將均分個(gè)子區(qū)間，每個(gè)子區(qū)間的長(zhǎng)度為，可得： （3）

其中，為服從均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)樣本。由（3）式可以得出，給定發(fā)行日的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格，任意時(shí)刻的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格由下式給定： （4）

由（4）式可以得到的一條樣本路徑其中，為模擬樣本路徑的數(shù)量。經(jīng)過(guò)次模擬，我們得到樣本路徑矩陣。

第二步：計(jì)算每條樣本路徑的最優(yōu)執(zhí)行時(shí)間和期權(quán)收益

在時(shí)刻，看跌期權(quán)在樣本路徑上的內(nèi)在價(jià)值其中，為執(zhí)行價(jià)格，為樣本路徑在執(zhí)行時(shí)間的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格。對(duì)于歐式期權(quán)，我們只需計(jì)算到期日各樣本路徑上的期權(quán)收益。對(duì)于美式期權(quán)，由于可以提前執(zhí)行，我們必須權(quán)衡該時(shí)刻立即執(zhí)行期權(quán)的即時(shí)收益（即內(nèi)在價(jià)值）與繼續(xù)持有該期權(quán)的期望收益，即： （5）

其中，為在當(dāng)前標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格條件下繼續(xù)持有期權(quán)的期望收益，因?yàn)橐蕾?lài)于下一步執(zhí)行期權(quán)的決策，該期望收益只有通過(guò)逆向求解的方法求得。這正是用蒙特卡洛方法模擬美式期權(quán)定價(jià)的難點(diǎn)所在，因此，直接應(yīng)用（5）式進(jìn)行模擬是不可行的，我們使用LSM方法近似計(jì)算該期望收益。

LSM方法通過(guò)同歸得到一個(gè)當(dāng)前標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的簡(jiǎn)單的二次多項(xiàng)式，并用它逼近（5）式中的條件期望，即： （6）

我們將所有樣本路徑在時(shí)刻的價(jià)格，作為，將對(duì)應(yīng)的樣本路徑上的未來(lái)收益作為并采用最小二乘法進(jìn)行回歸，求得回歸系數(shù)，和。

由于提前執(zhí)行期權(quán)的條件是期權(quán)在執(zhí)行時(shí)刻是溢價(jià)的，所以，我們僅以那些在時(shí)刻處于溢價(jià)的樣本路徑為基礎(chǔ)進(jìn)行回歸。我們用以下回歸方程近似繼續(xù)持有期權(quán)的期望收益： （7）

這樣我們?cè)谶M(jìn)行提前執(zhí)行的決策時(shí)，只需比較時(shí)刻的內(nèi)在價(jià)值與繼續(xù)持有期權(quán)的期望價(jià)值，它們均只與當(dāng)前的價(jià)格有關(guān)。同理，我們可以求得時(shí)刻繼續(xù)持有期權(quán)的期望收益。因此，樣本路徑在時(shí)刻繼續(xù)持有期權(quán)的期望收益為：（8）

其中，是在時(shí)刻期權(quán)處于溢價(jià)（即）的樣本路徑的集合。在初始狀態(tài)， ，在時(shí)刻，如果繼續(xù)持有期權(quán)，則不變；如果執(zhí)行期權(quán)，則，依此類(lèi)推。由于每條路徑只有一個(gè)最優(yōu)執(zhí)行時(shí)間，我們只保存最新的，最后我們便求得每條路徑的最優(yōu)執(zhí)行時(shí)間。相應(yīng)地，樣本路徑在最優(yōu)執(zhí)行時(shí)間的期權(quán)收益為。

第三步：對(duì)每條樣本路徑的期權(quán)收益貼現(xiàn)并求均值

經(jīng)過(guò)次模擬后，得到條樣本路徑，以及每條樣本路徑上最優(yōu)執(zhí)行時(shí)間的期權(quán)收益。由于每條樣本路徑的執(zhí)行時(shí)間不同，所以，必須按相應(yīng)的貼現(xiàn)因子貼現(xiàn)，然后求均值即得到式（1）中美式期權(quán)LSM模擬的一個(gè)模擬值：

（9）

（二）加入跳躍擴(kuò)散模型的LSM定價(jià)模型

一般期權(quán)定價(jià)中都是假設(shè)股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，但是由于幾何布朗運(yùn)動(dòng)是連續(xù)隨機(jī)過(guò)程，所以假設(shè)股票的價(jià)格是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)。但實(shí)際研究發(fā)現(xiàn)，股票價(jià)格可能會(huì)出現(xiàn)間斷的“跳躍”。本文假定股票價(jià)格過(guò)程遵循帶Poisson跳躍的擴(kuò)散過(guò)程：

（10）

其中是以泊松過(guò)程為計(jì)數(shù)過(guò)程的隨機(jī)數(shù)序列。然后，我們將（4）式替換成（10）式，并按LSM的算法接著往下進(jìn)行就成了加入跳躍擴(kuò)散模型的LSM定價(jià)模型。

三、模型的實(shí)證研究

我們?cè)赮ahoo Finance網(wǎng)站上下載了IBM公司從1995年4月16日至2010年4月16日之間為時(shí)五年的股票價(jià)格的歷史數(shù)據(jù)和當(dāng)期期權(quán)信息，并用Excel算出了其股票的年化波動(dòng)率在假設(shè)跳躍幅度并且計(jì)數(shù)過(guò)程是年化均值的泊松過(guò)程的條件下，我們嘗試用帶跳躍擴(kuò)散過(guò)程的LSM美式期權(quán)定價(jià)模型對(duì)獲得的IBM看漲和看跌期權(quán)進(jìn)行定價(jià)分析。

美式看跌期權(quán)

首先我們得到了到期日為2010年10月15日的美式看跌期權(quán)的價(jià)格信息，從2010年4月16日至2010年10月15日共有128個(gè)交易日。2010年4月16日的股價(jià)，執(zhí)行價(jià)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率取當(dāng)日一年期Libor利率，即，到期期限。同時(shí)假設(shè)跳躍發(fā)生次數(shù)滿(mǎn)足的泊松過(guò)程的年化均值。用Matlab編程求解，得到其理論價(jià)值在附近，實(shí)際的市場(chǎng)價(jià)格為附近。

美式看漲期權(quán)

同理我們得到了其美式看漲期權(quán)，執(zhí)行價(jià)，波動(dòng)率，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，到期期限，假設(shè)跳躍發(fā)生次數(shù)滿(mǎn)足的泊松過(guò)程的年化均值。用Matlab編程求解，得到其理論價(jià)值在附近，實(shí)際的市場(chǎng)價(jià)格為附近。

四、結(jié)果分析以及模型改進(jìn)

很明顯，帶跳躍擴(kuò)散過(guò)程的LSM美式期權(quán)定價(jià)模型計(jì)算得到的期權(quán)價(jià)格和該期權(quán)的實(shí)際價(jià)格相差很大。這主要有以下原因：首先，模型假設(shè)的是無(wú)股利支付但是IBM每季度存在股利的分配，所以這造成了一定的定價(jià)誤差，結(jié)果算出來(lái)期權(quán)定價(jià)略高；其次，美國(guó)股票市場(chǎng)屬于半強(qiáng)式有效市場(chǎng)，并且IBM股票屬于大盤(pán)藍(lán)籌股，流動(dòng)性好，市場(chǎng)定價(jià)效率比較高，帶跳躍的擴(kuò)散過(guò)程可能并不成立。

由此，排除跳躍擴(kuò)散過(guò)程的假設(shè)再次進(jìn)行定價(jià)，于是我們得到以下結(jié)果：

表一：美式看跌期權(quán)

表二：美式看漲期權(quán)

計(jì)算出美式看跌期權(quán)價(jià)格為，實(shí)際的市場(chǎng)價(jià)格為；美式看漲期權(quán)價(jià)格為，而實(shí)際的市場(chǎng)價(jià)格為，誤差大大減小。故IBM的股價(jià)并不滿(mǎn)足跳躍擴(kuò)散模型的假設(shè)。這說(shuō)明，在排除了跳躍擴(kuò)散假設(shè)后，考慮到股利造成的誤差，對(duì)于實(shí)值期權(quán)，單純的LSM定價(jià)方法定價(jià)非常準(zhǔn)確。但是，我們?cè)趯?shí)踐的過(guò)程也發(fā)現(xiàn)，對(duì)于深度虛值的期權(quán)，由于節(jié)點(diǎn)數(shù)目過(guò)少，回歸不便，這種情況下LSM方法是無(wú)法準(zhǔn)確定價(jià)的。