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        有密度制約的Lotka-Volterra模型競爭系統(tǒng) 同時捕獲的最優(yōu)化

        2012-12-31 00:00:00殷華敏,霍錦霞
        經(jīng)濟研究導刊 2012年9期

        摘 要:對有密度制約的Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)的平衡點進行了定性分析,從生態(tài)學意義上給出了解釋.此外分為已知正常數(shù)和未知兩種情況給出了此系統(tǒng)的兩種群同時捕獲時的最大持續(xù)受益的條件。

        關(guān)鍵詞:Lotka-Volterra模型;競爭系統(tǒng);同時捕獲;最優(yōu)捕獲策略

        中圖分類號:C93 文獻標志碼:A 文章編號:1673-291X(2012)09-0204-03

        引言與模型假設

        生物資源的開發(fā)問題近幾十年為廣大學者所廣泛研究,對單種群資源的開發(fā)問題已有許多成果,但對于多種資源開發(fā)與管理的研究,成果卻很少,翁世有研究了互惠系統(tǒng)的捕獲優(yōu)化問題,張劍等應用最優(yōu)控制方法,研究了捕食系統(tǒng)的捕獲優(yōu)化問題。受文獻 [2~3] 啟發(fā),本文引入價格成本因素,并且應用定性分析的方法對捕獲強度系數(shù)為已知正常數(shù)和為未知兩種情況給出了此系統(tǒng)的兩種群同時捕獲時的最大持續(xù)受益的條件,具有一定的現(xiàn)實意義。

        本文闡述了Lotka-Volterra競爭模型及其以最大收益為管理目標的最優(yōu)捕獲策略,有密度制約同時捕獲的競爭模型為:

        =x(a-αx-by)-Ex=y(c-βy-dx)-kEy (1)

        x,y表示在t時刻種群x和y的數(shù)量,a,c分別為種群x和y的內(nèi)稟增長率,b,d表示彼此競爭能力,a,b,c,d均為正常數(shù)。

        此外,本文約定用E*表示最優(yōu)捕獲努力量,MEY表示最大純收益,設種群x和y的捕獲物的銷售單價分別為常數(shù)p和q,單位捕獲努力量的成本為c。

        其中,k為正常數(shù)。這種捕獲方式是用努力量E同時去捕獲種群x和y的。以捕魚業(yè)為例,一網(wǎng)下去,捕獲種群x的個數(shù)與種群y個數(shù)之比大致為k,參數(shù)k反映了漁網(wǎng)的特性.設努力量E的單位成本為c。

        一、定性分析及生態(tài)學意義

        由文獻[6]知,系統(tǒng)(1)的兩個非負平衡點:

        P1(0,0)和P2(,),其中,<<或<<時P2為正平衡點。

        下面證明此系統(tǒng)不可能存在極限環(huán)和奇異極限環(huán)。由Jacobia矩陣:A=a-E-by-2αx -bx -dy c-kE-dy-2βy

        將P1(0,0)代入|A-λI|=0,得兩個根:k1=a-E>0,k2=c-kE>0。

        因此,P1(0,0)為不穩(wěn)定的結(jié)點。同理將P2(,)代入|A-λI|=0得特征方程:

        λ2+λ-=0

        其中,X=(c-kE)b-(a-E)β,Y=(a-E)d-(c-kE)α。

        1.當bd-αβ>0時,由<<知,X>0,Y>0,>0,>0,此時P2是鞍點(不穩(wěn)定)。

        2.當bd-αβ<0時,由<<知,X<0,Y<0,>0,<0,此時P2是結(jié)點(穩(wěn)定),即在第一象限的內(nèi)部,所有軌線都趨于P2,從生態(tài)學意義上看,只要在初始時刻兩競爭種群x(0)>0,y(0)>0,P2表明兩種群的規(guī)模是相互制約著增長的,最終趨于相對平衡狀態(tài)。

        以下考慮在此動態(tài)平衡狀態(tài),使純收益的最優(yōu)捕獲策略。

        二、最優(yōu)捕獲策略

        (一)k為已知正常數(shù)的最有捕獲策略

        1.總捕獲能力為無限時純收益

        R(E)=pEx+kqEy-cE

        =pE(+kq)-cE

        =M1E[(c-kE)-(a-E)β]+kM2E[(a-E)d-(c-kE)α]-cE

        =(k2M2α-kM1+M1β)E2+(cM1+adkM2-ckαM2-c)E

        其中,M1=,M2=

        求R(E)的最大值,由微分學知:=0

        解得:E*=

        則MEY=R(E*)。

        由實際意義,當cM1+adkM2-ckαM2->0,kM1-k2M2α-

        M1β>0時,最優(yōu)捕獲努力量為E*時,可獲最大純收益MEY。

        2.總捕獲能力為有限E時純收益

        R(E)=pEx+kqEy-cE

        =pE+kq-cE

        =M1E[(c-kE)-(a-E)β]+kM2E[(a-E)d-(c-kE)α]-cE

        =(k2M2α-kM1+M1β)E2+(cM1+adkM2-ckαM2-c)E

        其中,M1=,M2=

        考慮R(E)在[0,E]上的最大值。

        由實際意義有:

        (1)當E>時,則*=,

        故MEY=R(*)。

        (2)當0

        R(*)=(k2M2α-kM1+M1β)E2+(cM1+adkM2-ckαM2-c)E。

        總之,由實際意義,當cM1+adkM2-ckαM2-c>0,kM1-k2M2α-

        M1β>0時,最優(yōu)捕獲努力量為*時,可獲最大純收益MEY.

        (二)k為未知正常數(shù)的最有捕獲策略

        1.總捕獲能力為無限時純收益

        R(E,k)=pEx+kqEy-cE

        =pE(+kq)-cE

        =M1E[(c-kE)-(a-E)β]+kM2E[(a-E)d-(c-kE)α]-cE

        =(k2M2α-kM1+M1β)E2+(cM1+adkM2-ckαM2-c)E

        其中,M1=,M2=

        求R(E,k)的最大值,由微分學知:

        =0=0

        即:2E(k2M2α-kM1+M1β)+cM1+adkM2-ckαM2-=02kαM2E2-M1E2+(ad-ca)M2E=0

        解得:E=E*k=k*

        從而有:MEY=R(E*,k*)

        總之,可根據(jù)實際意義,當最優(yōu)努力捕獲量為E*,捕獲強度系數(shù)比為k*時,可獲最大純收益MEY=R(E*,k*)。

        2.總捕獲能力為有限E時純收益

        R(E)=pEx+kqEy-cE

        =pE+kq-cE

        =M1E[(c-kE)-(a-E)β]+kM2E[(a-E)d-(c-kE)α]-cE

        =(k2M2α-kM1+M1β)E2+(cM1+adkM2-ckαM2-c)E

        其中,M1=,M2=

        求R(E,k)在(0,E)的最大值。

        可根據(jù)實際意義:

        當E

        當E>E*時,取*=E*,*=k*,可獲最大純收益。

        小結(jié)

        本文討論了有密度制約的Lotka-Volterra模型競爭系統(tǒng)同時捕獲的最優(yōu)化問題,給出了平衡解,得到了努力量與產(chǎn)出的關(guān)系,最終得到最優(yōu)化捕獲策略,若用同一工具捕撈可有效控制分配捕獲強度系數(shù),使之有利于人們的實際需要。

        參考文獻:

        [1] 郭見軍.生物種群資源開發(fā)管理的最優(yōu)控制問題研究[D].成都:四川大學,2002.

        [2] 張玉娟,劉會民,張樹文,等.競爭系統(tǒng)的兩種群同時捕獲優(yōu)化問題[J].生物數(shù)學學報,1998,(4).

        [3] 郭建軍,賀昌政.競爭系統(tǒng)兩種群捕獲的生物經(jīng)濟最優(yōu)控制問題[J].西南工學院學報:自然科學版,2002,(1):11-15.

        [4] 陳蘭蓀,陳鍵.非線性生物動力系統(tǒng)[M].北京:科學出版社,1993:60-69.

        [5] 馬知恩.種群生態(tài)學的數(shù)學建模與研究[M].合肥:安徽教育出版社,1994:41-45.

        [6] 王順慶,王萬雄.數(shù)學生態(tài)學穩(wěn)定性理論與方法[M].北京:科學出版社,2004.

        Optimal Problem of Two Species Being Harvested Simultaneously for Prey-predator Systems

        YIN Hua-min1,HUO Jin-xia2

        (1.School of Mathematics and Statistics of Longdong University,Qingyang 745000,China;

        2.Department of Mathematics of Lanhou City University,Lanzhou 730070,China)

        Abstract:This paper analysizes qualitatiye property of the equilibrium for a continuous prey-predator systems,illustrates the existence of periodic solutions around center in point of ecology.In addition,the article gives the conditions of maximum sustainable economic revenue when two species of prey-predator systems are harvested simultanously.

        Key words:Lotka-Volterra model; competition system; simultaneous harvest;optimization strategy[責任編輯 王玉妹]

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