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(江寧高級中學 江蘇南京 211100)

談“橢圓、雙曲線標準方程”推導過程中教育價值的開發(fā)

●陳立軍

(江寧高級中學 江蘇南京 211100)

建立曲線方程和通過方程研究曲線的性質(zhì)是解析幾何的2個基本問題.因此，橢圓、雙曲線標準方程的推導理應(yīng)是課堂教學的重點，但當前的課堂教學中仍存在淡化、簡化方程推導過程的教學行為，有的教師甚至假托圓錐曲線是高考中的熱點、難點之名壓縮方程過程的推導時間，盲目地把大量的教學時間用于方程的求解.其實，綜觀近幾年高考對圓錐曲線的考查，求方程多是解答題的第(1)小題，難度不大.難度主要體現(xiàn)在第(2)小題、第(3)小題，重點考查學生綜合運用數(shù)學知識分析問題、解決問題的能力.對于橢圓、雙曲線的標準方程，從結(jié)果即方程的表現(xiàn)形式上看，充分體現(xiàn)了數(shù)學的簡潔美，但其推導過程更蘊含著豐富的教育價值.教學實際中，如果我們能鉆得深一點、想得透一些，精心設(shè)計教學流程，便可以很好地開發(fā)橢圓、雙曲線標準方程推導過程的教育價值，從而有效提升學生的數(shù)學學習能力.

1 方程的推導過程可以提高學生對算理的認識

解析幾何因?qū)W生的運算要求比較高，學生時有畏難情緒，這也是制約學生解題能力提升的一個重要原因.從根本上說，運算能力提高的關(guān)鍵是算理的提升.經(jīng)過建立直角坐標系、設(shè)點坐標、列出等式、代入坐標的過程后，橢圓標準方程的推導難點是對復雜根式

(1)

的化簡.由于初中階段沒有詳細介紹含有2個根式的化簡，因此教學時應(yīng)詳細給出化簡過程，教材中也列出了常見化簡方法的詳細步驟.即將方程(1)移項后兩邊平方，整理可得

兩邊再平方后整理，得

(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).

筆者認為，在課堂教學中，與直接化簡求得結(jié)果相比，更為重要的是以此化簡為載體，幫助學生從算理上提高認識.為此，教學參考中也對上述化簡過程給出了2點說明：(1)方程中只有一個根式時，需將根式單獨留在方程的一邊，然后兩邊平方；(2)方程中有2個根式時，需將它們分別放在方程的兩邊，并使其中一邊只有一項，再兩邊平方，整理后化為方程只含一個根式，即為(1).(1)是學生已有技能的總結(jié)，(2)體現(xiàn)了化歸的思想(化生為熟、化繁為簡)，但是沒有講清楚“為什么”.

其實，對根式

的化簡有多種方法(課堂上學生的反應(yīng)也確實如此)，每一種方法不僅僅是公式法則的堆砌、形式的演繹，也揭示了數(shù)學形式化背后生動活潑的思維過程.教師應(yīng)充分尊重學生的創(chuàng)造性勞動，哪怕僅是一個好的“念頭”，鼓勵學生大膽地嘗試各種方法，并幫助學生提煉出方法背后的“道理”，加深學生對數(shù)學本質(zhì)的深度理解.

1.1 不同方法的簡述

方法1對

直接平方，這是課堂上學生的首選.但因為運算比較繁瑣，很多教師舍棄了.即使有學生堅持，教師通常也以這種方法運算太繁了，打斷了學生的回答，中止了學生的嘗試.如果堅持走下去，此法“道路雖曲折”，但“前途是光明的”.略解如下.由

2a2-(x2+y2+c2)

? [(x+c)2+y2]·[(x-c)2+y2]=

[2a2-(x2+y2+c2)]2，

左邊= [x2+y2+c2-2cx]·[x2+y2+c2+2cx]=

(x2+y2+c2)2-4c2x2，

右邊=(x2+y2+c2)2-4a2(x2+y2+c2)+4a4，

從而

4a4-4a2(x2+y2+c2)=-4c2x2,

即

(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).

方法2利用等差中項的概念.由

式(2)2-式(3)2后化簡得

則

即

以下同教材的處理.

后實現(xiàn)分子有理化，可得

則

與式(1)聯(lián)立，解得

以下同方法2.

1.2 不同方法的評述

正是由于初中階段沒有介紹復雜根式的化簡，含有一個根式的等式化簡是學生已掌握的技能，方法1處于學生的“最近發(fā)展區(qū)”，“道而弗牽、強而弗抑、開而弗達”，課堂上我們切不可“截斷”學生思維的“自然流淌”，移項后平方固然可喜，但它是“帽子里突然蹦出的一只兔子”.直接平方看似繁瑣，但若能引導學生仔細觀察，辨析哪些是參與“實質(zhì)性運算”的對象，對未參與“實質(zhì)性運算”的能否簡化表示，則以上的運算過程會有改變.令t=x2+y2+c2，則式(1)簡化為

2 方程的推導過程可以加深學生對概念的理解和對圓錐曲線性質(zhì)的挖掘

2.1 加深對數(shù)學概念的理解

推導方程結(jié)束以后，其意義不只是為了一個簡單的結(jié)果，其背后還隱藏著豐富的教育價值有待開發(fā).如果在后續(xù)圓錐曲線的學習過程中，教師適時地引導學生“回頭看”，重新審視推導過程，會有新的發(fā)現(xiàn)，促進學生對離心率e的理解，有助于學生形成圓錐曲線的統(tǒng)一定義.

繼而得

2.2 加深對圓錐曲線性質(zhì)的挖掘

換一種思路，若對式(4)的兩邊平方，令b2=a2-c2，可將其變形得

即

即

x2+y2=a2(x≠±a),

表示以原點為圓心，a為半徑的圓.這樣獲得的性質(zhì)和定義不僅能刻畫和描述圓錐曲線的特點，而且也有很好的解題功能.

3 方程的推導過程可以促進學生開展探究性學習

若聯(lián)系數(shù)學運算的基本形式，可以引導學生去類比探究以下一些問題：

探究5平面內(nèi)到3個定點的距離之和為常數(shù)的點的軌跡是什么？

探究2的軌跡是圓或線段的中垂線，探究3的軌跡是圓或點或不存在，探究4的軌跡是2條直線.探究1的結(jié)論比較復雜，它是卵形線，卵形線是由意大利天文學家卡西尼命名的.坦率地說，如果不是在2011年北京市數(shù)學高考試題中首次出現(xiàn)了與此曲線相關(guān)的試題，很多教師也不知道這種曲線.探究5也有一些復雜，可以讓學生通過特例運用幾何畫板進行自主探究得到圖形，稱之為“圓角三角形”.

《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》指出：“教師應(yīng)激發(fā)學生的學習積極性，向?qū)W生提供從事數(shù)學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流中真正理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想方法，獲得廣泛的數(shù)學經(jīng)驗.”在這個教學理念的指引下，探究性學習越來越被認可，并在課堂上進行大膽的嘗試.

[1] 潘建國．在體驗中“做”數(shù)學——記一次橢圓概念新授課[J].數(shù)學通報，2006(5)：35-38.

[2] 蘇立標．探求以e2-1為定值的圓錐曲線問題[J].中學數(shù)學教學參考，2006(3)：21-22.

[3] 王慶豐．立足課本多思考深入發(fā)掘多驚喜——對“雙曲線及其標準方程”教學設(shè)計的一個局部思考[J].中學數(shù)學教學參考，2007(21)：25-26.

[4] 李振雷．橢圓定義教學實踐與思考[J].數(shù)學通報，2011(10)：62-64.