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(金華市教育局教研室 浙江金華 321000)

讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”過程
——課例“平行線的判定1”教學(xué)實踐與思考

●傅瑞琦

(金華市教育局教研室 浙江金華 321000)

“數(shù)學(xué)化”過程是“抽象—符號—應(yīng)用”的過程(弗賴登塔爾)，是從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進行解釋與應(yīng)用的過程.數(shù)學(xué)化有橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化之分，在弗賴登塔爾看來，橫向數(shù)學(xué)化“是把生活世界引向符號世界”，而“在符號世界里，符號的生成、重塑和被使用”，則是縱向數(shù)學(xué)化,正是這2類“數(shù)學(xué)化”，恰好體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)生和發(fā)展過程.但是，一些教師由于對教材理解的偏差，課堂更多關(guān)注知識本身，常常存在“去數(shù)學(xué)化”現(xiàn)象，如呈現(xiàn)情景不能有效地喚醒學(xué)生已有的生活經(jīng)驗，結(jié)論的得出、定理的歸納沒有充分地展現(xiàn)學(xué)生的思考，直接將實際問題提煉成數(shù)學(xué)問題，學(xué)生就失去了體會思維方法和思想方法、在數(shù)學(xué)化過程中發(fā)展能力個性的機會.基于此，本文結(jié)合課例“平行線的判定1”的教學(xué)實踐，探討如何引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化過程，探索、掌握和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識，并總結(jié)反思.

1 課例過程呈現(xiàn)

1.1 創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

播放皮劃艇靜水項目比賽的視頻，教師解釋皮劃艇比賽規(guī)則，讓學(xué)生帶著問題觀察：

(1)各皮劃艇航線之間有怎樣的位置關(guān)系？

(2)皮劃艇沖向終點時，皮劃艇的航線與終點線有怎樣的位置關(guān)系？

(3)為什么各皮劃艇的航線與終點線保持垂直就可以保證航線相互平行？

這是來自現(xiàn)實的任務(wù)，首先要求進行橫向數(shù)學(xué)化，生成數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，讓學(xué)生從實際問題思考剝離出數(shù)學(xué)問題.將教材中自行車騎車線路問題調(diào)整為皮劃艇比賽的情景，在圖形直覺上更有平行線的感覺，容易抽象出平行線.讓學(xué)生經(jīng)歷結(jié)合圖形直覺來判定直線互相平行的過程，認識到用定義來判定2條直線平行的困難，體會“為什么要學(xué)習(xí)平行線”，激發(fā)有意義學(xué)習(xí)的心向.

1.2 引導(dǎo)探究，發(fā)現(xiàn)新知

觀察視頻后，教師出示如下問題，讓學(xué)生動手畫、動腦思考的基礎(chǔ)上，演示動畫過程.

圖1 圖2

問題如圖1，若你是一位皮劃艇運動員，現(xiàn)在位置在點P，l1為另一皮劃艇航線，你能畫出你自己的航線l2嗎？

在學(xué)生畫圖后，引導(dǎo)思考問題：

(1)在畫圖過程中，哪一對角始終保持相等？

(2)如圖2，把l1與l2看成被尺邊l3所截，那么這一對是什么角？

(3)由此你可以得出一個什么結(jié)論？

為學(xué)生搭建合適的數(shù)學(xué)活動，讓每位學(xué)生都能動手畫圖，積極參與其中，并在動畫演示中關(guān)注畫圖過程始終保持相等的一對角，完成歸納概括，獲得利用同位角相等來判定平行線的方法，這是縱向數(shù)學(xué)化過程.在此過程中，學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)探究和歸納的過程，感受平行線判定公理實際上是“三線八角”圖形的一種特殊位置，體會“判定平行線的方法”的優(yōu)越，發(fā)展學(xué)生思維的邏輯性和條理性.

1.3 嘗試運用，鞏固新知

(1)在圖3和圖4中，如果要說明AB∥CD，請你找出一對相等的角？

圖3 圖4

(2)圖5是一個掛物架,為了說明AB∥CD,你認為需要驗證哪2個角相等?

利用你的拇指與食指來做一個游戲，在同一平面內(nèi)，你能根據(jù)今天學(xué)過的判定方法來構(gòu)造平行線嗎?請與同桌交流.

圖6是學(xué)生展示的手型，讓同伴指出判定手指所在的直線平行的一對相等的同位角.

圖5 圖6

例1已知直線AB，CD被EF所截,如圖7，∠1=45°,∠2=135°,試判斷AB與CD是否平行，并說明理由.

對例題的分析，教師設(shè)計問題清單，分析思路，并規(guī)范板書.

(1)猜測AB與CD平行嗎？

(2)要說明AB與CD平行，關(guān)鍵找什么？

(3)如果∠1=45°，那么能得出∠3=45°嗎？

圖7 圖8

變式練習(xí)如圖8,已知直線AB，CD被EF所截,如果∠2+∠1=180°，請判斷AB與CD是否平行,并說明理由.

通過圖形變式，更為準確地理解判定方法的本質(zhì)特征、內(nèi)涵和外延；讓每個學(xué)生積極參與，將學(xué)生已有的生活體驗和教師制定的學(xué)習(xí)目標之間建立起聯(lián)系的橋梁;例題教學(xué)時本節(jié)課的難點，以問題清單的形式來引導(dǎo)思考，讓學(xué)生經(jīng)歷借助圖形思考問題的過程，初步建立幾何直觀，體會通過合情推理探索數(shù)學(xué)結(jié)論，運用演繹推理加以說明的過程.

另外，安排適當?shù)膯栴}進行鞏固，并讓學(xué)生結(jié)合圖形用符號語言表示，簡潔地描述文字語言和圖形間的關(guān)系，是培養(yǎng)學(xué)生掌握幾何語言的重要手段，是“縱向數(shù)學(xué)化”的表現(xiàn).學(xué)生的書寫及教師的及時反饋，讓學(xué)生進一步領(lǐng)會證明書寫的規(guī)范要求.

1.4 用于生活，體驗成功

問題1為什么每只皮劃艇都沿著垂直于終點線的方向行駛，就能保證航線互相平行？

分析畫出幾何圖形即可轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，其問題轉(zhuǎn)化為：如圖9，已知AB⊥EF，CD⊥EF，得到AB∥CD，你能說明理由嗎？

圖9

引導(dǎo)學(xué)生共同歸納：在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的2條直線互相平行.

問題2如圖10，在比賽過程中，一皮劃艇在前進過程中，不慎向右偏轉(zhuǎn)5°，為了與原來的方向保持一致，該運動員應(yīng)如何調(diào)整航向？

分析要使后來的方向與原來的方向一致，那么后來的航向與原來的航向有怎樣的位置關(guān)系？讓一學(xué)生畫出后來的航向，并回答只要保證哪一對角相等即可求解(如圖11所示).

圖10 圖11

一艘皮劃艇在前進過程航向偏離的實際問題，借助直觀的幾何圖形，就變得簡明、形象.再回到現(xiàn)實問題的情境，去體驗和解釋其實際意義時，又是一個橫向數(shù)學(xué)化的過程.利用幾何直觀來描述和分析數(shù)學(xué)問題，有助于探索解決問題的思路.

1.5 理順所學(xué)，歸納小結(jié)(略)

1.6 延伸提高，挑戰(zhàn)自我

練習(xí)甲、乙2艘船只分別從港口A，B出發(fā)，下列情況中，甲、乙船的航線是否互相平行，試說明理由.

(1)港口B在港口A的正東方向.

①如圖12，甲、乙2船都沿北偏東30°方向行駛；

②如圖13，甲船沿北偏東30°方向行駛，乙船沿南偏西30°方向行駛；

圖12 圖13 圖14

(2)如圖14，甲、乙2船都沿北偏東30°方向行駛.

設(shè)計有層次的問題組，圍繞平行線判定方法這一中心展開和深化.第(2)小題的求解，體現(xiàn)了分類思想,讓不同思維層次的學(xué)生都可以參與,使相應(yīng)的核心知識、重要思想成為一個有機整體.

1.7 作業(yè)布置，分層要求(略)

2 教學(xué)實踐的思考

2.1 反思課堂“數(shù)學(xué)化”過程

教材把“同位角相等，兩直線平行”作為公理看待，在教學(xué)時,如何讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)、歸納、體現(xiàn)“數(shù)學(xué)化”過程，本課例中作了有益的探索.從八年級學(xué)生的思維特點分析，他們正處于從直觀形象思維向抽象邏輯思維轉(zhuǎn)折的時期.在教學(xué)時，經(jīng)歷現(xiàn)實生活中平行線的實物情景，通過回顧推平行線法畫圖，引導(dǎo)學(xué)生操作、觀察、歸納概括出這種畫法的本質(zhì).在學(xué)習(xí)中經(jīng)歷“生活經(jīng)驗的直觀感知—操作確認—抽象概括—理性思辨”的“數(shù)學(xué)化”過程，這樣的安排注重知識的生長點，建立在學(xué)生已有的知識技能基礎(chǔ)之上，學(xué)生比較容易接受.利用生活經(jīng)驗中的數(shù)學(xué)事實，通過推理、反思，達到“數(shù)學(xué)化”，使“數(shù)學(xué)化”貫穿于學(xué)習(xí)的全過程,實現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高.

從課堂實踐看，需要給學(xué)生創(chuàng)造數(shù)學(xué)活動、數(shù)學(xué)思考、經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的機會.關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)化的過程，一是需要設(shè)計基于學(xué)生生活實踐的問題情景，二是為學(xué)生搭建合適的數(shù)學(xué)活動，三是為學(xué)生提供進行自我建構(gòu)的時間和空間.

2.2 反思課堂的教學(xué)效果

在整個教學(xué)過程中，由于教學(xué)設(shè)計時能夠充分考慮學(xué)生已有的知識，合理地應(yīng)用“數(shù)學(xué)化”的教學(xué)策略，從而使教學(xué)環(huán)節(jié)自然、流暢，在每一個環(huán)節(jié)，學(xué)生都能夠積極參與.

在教學(xué)時，教師用推三角板畫平行線的方法，讓每位學(xué)生多畫幾條平行線,從中感悟畫平行線的實質(zhì).教師通過動畫演示來讓學(xué)生關(guān)注保持原圖像與像平行，學(xué)生參與了整個探究過程并歸納得到平行線的判定方法，使學(xué)生成為知識的發(fā)現(xiàn)者.

探討皮劃艇比賽中的平行航線問題，動手畫平行航線，修正皮劃艇在前進過程航向的偏離，以及不同港口出發(fā)2艘船的航線平行判定，成為本節(jié)課組織教學(xué)的主線.以“問題”貫穿整個教學(xué)過程，使學(xué)生在設(shè)問和釋問的過程中萌生自主學(xué)習(xí)的動機和欲望，逐漸養(yǎng)成思考問題的習(xí)慣.

[1] 顧繼玲.讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的過程[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011(7):2-4.

[2] 羅增儒.數(shù)學(xué)效能的故事[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011(5):1-4.

[3] 章建躍.探究教學(xué)規(guī)律造就教學(xué)名師[J].中國數(shù)學(xué)教育，2011(1/2):1-4.