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(天水市第一中學(xué) 甘肅天水 741000)

讓位學(xué)生思考踐行新課理念
——正弦定理的教學(xué)困惑與研究

●宮前長(zhǎng)

(天水市第一中學(xué) 甘肅天水 741000)

1 問題提出

正弦定理是三角函數(shù)學(xué)習(xí)后揭示任意三角形的邊與角關(guān)系的一項(xiàng)重要內(nèi)容，是學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)化簡(jiǎn)、解斜三角形問題和一些實(shí)際問題常用的定理，是提高運(yùn)算能力的良好素材.因其具有解決斜三角形問題的特征，以及其定理的多變性，使其成為教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn).在使用課標(biāo)教材人教社A版數(shù)學(xué)5進(jìn)行“正弦定理”集體備課時(shí)展開討論，產(chǎn)生的困惑主要是：

(1)該不該補(bǔ)充“正弦定理”的向量證法；

(2)重定理推導(dǎo)還是重應(yīng)用，或兩者兼顧.

為此，在新課標(biāo)教學(xué)中如何構(gòu)建讓學(xué)生獲得自由思考、探索、發(fā)現(xiàn)正弦定理的空間，其關(guān)鍵就是如何把握、定位正弦定理的教學(xué).

2 教學(xué)前反思

2.1 教學(xué)目標(biāo)的把握

“課標(biāo)”的要求是通過對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題.而“大綱”的要求是掌握正弦定理的內(nèi)容及證明正弦定理的向量方法,會(huì)用正弦定理解決2類基本的解三角形問題.對(duì)比可知,對(duì)解三角形中的實(shí)際測(cè)量應(yīng)用都有涉及到，因此，教學(xué)中應(yīng)側(cè)重創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生主動(dòng)地去觀察、猜想、探索、發(fā)現(xiàn)和推證正弦定理，更要突出幾何作用,要有意識(shí)地補(bǔ)充向量證明方法，培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)和自主、合作、探究的能力.

2.2 教材中的地位

從知識(shí)體系上看，正弦定理是屬于三角函數(shù)這一章知識(shí)的拓展，從研究方法上看，是屬于向量工具的應(yīng)用.

2.3 教學(xué)重難點(diǎn)

新教材用特殊到一般的思路，采用幾何法推導(dǎo)出正弦定理，目的是突出重點(diǎn)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo).在推導(dǎo)正弦定理的過程中，推導(dǎo)方法的選擇是難點(diǎn)，尤其是以向量為工具證明正弦定理.這比舊教材直接用向量法進(jìn)行證明效果要好.通過教材對(duì)比研究，應(yīng)該將教學(xué)重點(diǎn)放在發(fā)現(xiàn)正弦定理、用幾何法和向量法證明正弦定理.

2.4 學(xué)情分析

學(xué)生雖然學(xué)習(xí)了三角、向量知識(shí)，但直接用向量工具證明正弦定理還是有困難的，必須從已有的直角三角形知識(shí)出發(fā)，引領(lǐng)學(xué)生直接參與分析問題、解決問題并分享猜想、推導(dǎo)正弦定理成果的喜悅，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用和教師的主導(dǎo)作用.

3 教學(xué)片斷回放

為了更好地準(zhǔn)確地把握新課程的設(shè)計(jì)理念，并用其引領(lǐng)新課的教學(xué)，教師應(yīng)通過新舊教材對(duì)比，理清教材對(duì)正弦定理證明的要求和證明編排方式，才能明白新舊教材的變化以及這些變化的原因是什么.教材中余弦定理的證明采用的是向量法證明，自然要求在教學(xué)時(shí)，應(yīng)在認(rèn)識(shí)的最近區(qū)域引導(dǎo)學(xué)生利用向量法證明正弦定理，從而找到了教材編排的寓意.下面是教學(xué)片斷回放，解除了課前困惑，充分凸顯了教材的編排涵義和新課程理念.

3.1 探尋特例，提出猜想

從學(xué)生自身熟悉的特例(直角三角形)入手進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)正弦定理.

教師：直角三角形3條邊與某一銳角的關(guān)系式有哪些？對(duì)這些關(guān)系式進(jìn)行形式的整合后會(huì)發(fā)現(xiàn)新關(guān)系式嗎？

(從直角三角形邊角關(guān)系切入,滲透從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法.讓學(xué)生對(duì)直角三角形的邊角關(guān)系式進(jìn)行整合，打破學(xué)生原有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài),促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展.)

(教師參與學(xué)生的討論，2～3分鐘.)

學(xué)生：猜想的結(jié)果在任意三角形中也成立.

教師：你能歸納、概括在任意三角形中成立的思路和理由嗎？剛才大家積極主動(dòng)地投入到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中，其思維活動(dòng)就是對(duì)數(shù)學(xué)家思維方式和思維過程的模擬.

(這樣做在學(xué)生的心中樹立了信心，學(xué)生對(duì)結(jié)論的認(rèn)識(shí)從感性逐步上升到理性，為下一步證明猜想奠定了基礎(chǔ).)

學(xué)生：我們小組想到關(guān)系式是在直角三角形中猜想、歸納得到的，現(xiàn)在任意三角形中進(jìn)行驗(yàn)證，只有構(gòu)造直角三角形即把銳角、鈍角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形來求證，推導(dǎo)出關(guān)系式.推導(dǎo)過程如下：

在斜△ABC中，通過添加輔助線(三角形邊上的高)，根據(jù)三角形面積不變的特征和銳角三角函數(shù)的概念，就會(huì)得到：

(憑著對(duì)三角形的熟悉及其直觀判斷，做出三角形每一條邊上的高，依據(jù)面積相等得到結(jié)論.其過程就是傳統(tǒng)的證明方法，體現(xiàn)出幾何法直觀明了的特征.學(xué)生的認(rèn)識(shí)從感性逐步上升到理性，增強(qiáng)了學(xué)生的信心.)

教師：用幾何畫板進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：改變?nèi)切蔚哪硞€(gè)頂點(diǎn)的位置(即改變了三角形的形狀)，觀察表格中的邊、對(duì)角正弦以及它們比值變化情況.觀察發(fā)現(xiàn)：在拖動(dòng)三角形的某個(gè)頂點(diǎn)的過程中，表格中邊、對(duì)角正弦的數(shù)值大小也隨著變化，但是它們的比值相等.

(這樣做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，給學(xué)生拓展探索的空間，增強(qiáng)學(xué)生的自信心，讓學(xué)生真正感覺到自己在“做數(shù)學(xué)”，激起學(xué)生的好奇心和探究欲望,調(diào)動(dòng)學(xué)生自主參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的積極性，讓學(xué)生經(jīng)歷、體會(huì)數(shù)學(xué)系統(tǒng)演繹性和實(shí)驗(yàn)歸納性.)

3.2 開拓思維，證明猜想

教師：大家想一想還有其他的證明方法嗎？在所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)中，有沒有數(shù)學(xué)知識(shí)和概念，同時(shí)包含長(zhǎng)度和三角函數(shù)這些數(shù)學(xué)變量？

學(xué)生：平面向量.平面向量有向量的運(yùn)算：加法、減法、數(shù)乘和數(shù)量積運(yùn)算，同時(shí)包含有長(zhǎng)度和三角函數(shù)的運(yùn)算就是向量數(shù)量積運(yùn)算.

教師：在三角形中如何得到向量等式？怎樣可以同時(shí)出現(xiàn)包含長(zhǎng)度和三角函數(shù)的式子？

教師：這樣處理，與三角形的3條邊都有關(guān)系，偏離了前面發(fā)現(xiàn)的三角形邊角之間的一種正弦定理形式的關(guān)系.等式中對(duì)上述的向量j采取那些條件限制，才會(huì)比較容易得到正弦定理?

教師：這些想法很好，大家不妨試一試，做一做，能得到大家發(fā)現(xiàn)的結(jié)論形式嗎?

(教師在巡視中，對(duì)學(xué)生進(jìn)行了點(diǎn)撥、啟發(fā)，學(xué)生在上述引導(dǎo)下，逐步能應(yīng)用向量運(yùn)算找到這種方法，心中的困惑沒有了，暗中贊賞教材編者高超的處理方式，真正拓寬了學(xué)生的思維視野，促進(jìn)了學(xué)生空間思維能力的培養(yǎng).)

3分鐘左右，有學(xué)生舉手，教師示意該生將過程寫在黑板上:

圖1

從而

圖2

教師：這位學(xué)生的證明很嚴(yán)謹(jǐn)，過程簡(jiǎn)捷，向量運(yùn)算嫻熟，值得大家學(xué)習(xí)！

3.3 深入探究,得出定理

教師：大家經(jīng)歷了上述從特殊情形發(fā)現(xiàn)正弦定理到發(fā)現(xiàn)思路(幾何證法、向量證法)，推理證明，整個(gè)探索過程就是研究問題的一般方法.只有深入思考，才能對(duì)正弦定理的思維延伸到深層次.大家回憶上述推理過程，反思其中的思路有什么新發(fā)現(xiàn)？

(教師在巡視中，對(duì)學(xué)生進(jìn)行了點(diǎn)撥、啟發(fā).不一會(huì)有學(xué)生舉手，教師示意其發(fā)表見解.)

學(xué)生：從直角三角形邊角關(guān)系進(jìn)行形式的整合容易發(fā)現(xiàn)正弦定理，構(gòu)造直角三角形，采用面積相等進(jìn)行證明，簡(jiǎn)單、明了.

學(xué)生：在任意三角形中，各邊與對(duì)角的正弦之間的一個(gè)關(guān)系式是正弦定理，可表示為

學(xué)生：上述發(fā)現(xiàn)的正弦定理的推導(dǎo)方法可以總結(jié)為：作三角形的高線，構(gòu)造直角三角形的幾何法；作垂直于三角形一邊的向量，利用數(shù)量積運(yùn)算的向量法.

教師：大家的思考、總結(jié)得很好，能夠深刻地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，正確把握正弦定理的本質(zhì).

感悟教學(xué)時(shí)，學(xué)生在幾何法證明的基礎(chǔ)上，隨著教師的引導(dǎo)、啟發(fā)與點(diǎn)撥，通過提問與解答，層層遞進(jìn)，逐步搭設(shè)臺(tái)階,小步“加速”，平穩(wěn)過渡，學(xué)生會(huì)自覺聯(lián)系向量數(shù)量積的意義,顯得自然，消除了教學(xué)前的顧慮，教學(xué)中借助向量工具來證明正弦定理，拓寬了學(xué)生的思維靈活性與廣闊性，突出向量的工具性作用.同時(shí)，學(xué)生的學(xué)習(xí)比只用幾何法或向量法證明正弦定理要自然些，從課堂練習(xí)看，學(xué)生主動(dòng)思考和探究，說明重視定理的推導(dǎo)有利于解題思路的形成.教學(xué)過程體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)知識(shí)的主動(dòng)探究、主動(dòng)發(fā)現(xiàn)和主動(dòng)構(gòu)建的過程.

教學(xué)時(shí)必須把握教材，領(lǐng)會(huì)課標(biāo)精神，準(zhǔn)確定位、把握教學(xué)目標(biāo)，必要時(shí)對(duì)一些數(shù)學(xué)的核心概念進(jìn)行探究，力爭(zhēng)在教學(xué)的過程中經(jīng)歷體驗(yàn)、有所感悟.

4 再次思考，補(bǔ)充向量證法的教學(xué)取向

4.1 補(bǔ)充向量證法，錘煉了學(xué)生的思維能力

正弦定理在教材中采用從特殊到一般的思維方式，用幾何方法進(jìn)行證明，沒有提出向量證明，但教材給出了余弦定理的向量證法，為此，在正弦定理的教學(xué)中，通過猜想、幾何證明方法后，補(bǔ)充向量證法，學(xué)生的收獲大，又消除了教師的教學(xué)困惑.

教學(xué)時(shí)，對(duì)學(xué)生的思維進(jìn)行引導(dǎo)、點(diǎn)撥，讓學(xué)生能夠采用2種方法對(duì)正弦定理進(jìn)行推導(dǎo)，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)理性思維的提升.消除因教師直接提出某種方法而顯得被動(dòng)，能夠培養(yǎng)學(xué)生提出問題的勇氣和主動(dòng)思考解決問題的意識(shí).因此，對(duì)2種方法進(jìn)行對(duì)比研究是有意義的.幾何法是以邏輯推理作為工具解決問題，向量法是利用向量的概念及其向量運(yùn)算解決問題.幾何法與向量法是具有不同屬性的知識(shí)體系和不同的工具，從不同的角度錘煉了學(xué)生的思維能力.主要體現(xiàn)在以下幾點(diǎn)：

(1)從解決問題的思路看：幾何法是歐幾里得幾何學(xué)所采用的方法，依據(jù)基本的邏輯推理，從公理出發(fā)，通過演繹推理證明正弦定理.向量法是通過向量關(guān)系式，利用向量的運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算，其特點(diǎn)是將幾何元素“點(diǎn)、線、面”與“向量”進(jìn)行對(duì)應(yīng)，再借助向量運(yùn)算進(jìn)行討論，然后把這些結(jié)果“翻譯”成關(guān)于點(diǎn)、線、面之間的相應(yīng)關(guān)系.2種方法的實(shí)質(zhì)是能夠統(tǒng)一起來的.

(2)觀察點(diǎn)引起的思考：從觀察點(diǎn)看，在三角形的認(rèn)識(shí)角度上，用幾何法比向量法更趨近于學(xué)生的知識(shí)“最近發(fā)展區(qū)”，其看圖、識(shí)圖、析圖和用圖能力體現(xiàn)得很充分，尤其是直覺思維能力表現(xiàn)得更淋漓盡致.幾何法雖然論證嚴(yán)謹(jǐn)，但卻沒有一般規(guī)律可循，即探索幾何元素的關(guān)系時(shí)，往往需要引入靈活多變的輔助線才能解決問題.而向量法則往往不需要高水平的看圖、識(shí)圖、析圖和用圖能力及直覺思維能力，論證中更不需要尋找輔助線，遠(yuǎn)離了初中平面幾何知識(shí)的鋪墊，因而向量法給學(xué)生的思維層形成了不易接近和難以捉摸的特征.

(3)從思維訓(xùn)練的目標(biāo)看：幾何法是依據(jù)公理、定理等按照邏輯演繹，準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔地用數(shù)學(xué)語言(文字、圖形、符號(hào))表示，有效訓(xùn)練了學(xué)生的邏輯思維能力，是一種定量解決問題的方法；而向量法是將邏輯演繹證明轉(zhuǎn)化為數(shù)的一種運(yùn)算，雖然過程繁瑣，但降低了思維的難度，是一種從代數(shù)角度看待幾何問題可操作的方法，能夠提高學(xué)生的計(jì)算能力.

(4)向量法與幾何法之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：幾何法涉及線段的長(zhǎng)、線段之間的比例關(guān)系、線段平行、線段垂直分別對(duì)應(yīng)向量法中向量的模、向量共線充要條件、向量數(shù)量積為0，這種類比將幾何法的“形”與向量法的“量”統(tǒng)一起來，二者不可偏倚.

總之，2種方法各有優(yōu)勢(shì)，只是從不同的教學(xué)角度看待問題，從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，解決問題的思路容易形成.讓學(xué)生經(jīng)歷2種方法的推導(dǎo)過程，有利于學(xué)生的思維能力的培養(yǎng)和提升.

4.2 補(bǔ)充向量證法，凸顯向量在教材中的地位

教學(xué)時(shí)啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想、運(yùn)用平面向量的數(shù)量積連同三角形、三角函數(shù)等其他知識(shí)，推導(dǎo)出正弦定理，突出了向量的工具性，是向量知識(shí)應(yīng)用的典型范例，同時(shí)提升了教材對(duì)向量工具使用的系統(tǒng)性，揭示了“課標(biāo)”蘊(yùn)含在教材中的理念.向量在研究幾何問題時(shí)提供了2種方法：向量法與坐標(biāo)法，它們?cè)趯?shí)際問題與數(shù)學(xué)問題、“數(shù)”與“形”之間搭起了“橋梁”.

4.3 補(bǔ)充向量證法，提升了教材的系統(tǒng)性

正弦定理的學(xué)習(xí)安排在必修4(包括三角函數(shù)與平面向量)之后.正弦定理的探究可以采用向量的方法.

學(xué)生雖然剛學(xué)過必修4中的平面向量知識(shí)，但要利用向量推導(dǎo)正弦定理，不論是知識(shí)應(yīng)用還是運(yùn)算技巧，都有一定的困難.因此突破這一難點(diǎn)的關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生通過向量的數(shù)量積把三角形的邊長(zhǎng)和內(nèi)角的三角函數(shù)聯(lián)系起來.

為了更好地突出重點(diǎn)和突破難點(diǎn)，采用本文的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)方法，引導(dǎo)學(xué)生自主探索與思考，不斷參與和探究，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知情況和情感發(fā)展來調(diào)整整個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)的梯度和層次，激起學(xué)生的好奇心和探究欲望,讓學(xué)生真正感覺到自己在“做數(shù)學(xué)”.這樣就會(huì)給學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)自由思考、合作交流的空間，讓學(xué)生生動(dòng)活潑的學(xué)習(xí)個(gè)性得到體現(xiàn)、張揚(yáng)，激發(fā)了學(xué)生的思考熱情，開闊了數(shù)學(xué)眼界.

5 教學(xué)反思

5.1 對(duì)比新舊教材，追問“變化”原因

從實(shí)際問題出發(fā)，通過猜想、實(shí)驗(yàn)、歸納等思維方法，最后推導(dǎo)出正弦定理.本節(jié)課，研究問題的突出特點(diǎn)是從特殊到一般，也可以利用幾何畫板進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).這樣不僅收獲結(jié)論，而且在整個(gè)探索過程中也掌握了研究問題的一般方法.

領(lǐng)悟新課程理念的有效可行方法就是在新舊教材的變化對(duì)比中去思考、去感悟，再在教學(xué)中去實(shí)踐、去反思.

5.2 凸顯編排位置，拓展探究空間

眾所周知，新教材一直堅(jiān)持從形和數(shù)2個(gè)方面來構(gòu)建和探究數(shù)學(xué)，向量作為數(shù)形結(jié)合的載體，具有橋梁的作用.教材中對(duì)余弦定理的證明是采用向量方法進(jìn)行證明，這就足以說明向量工具的重要作用，暗含著要幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)內(nèi)部聯(lián)系所揭示的線段長(zhǎng)度與角度的函數(shù)關(guān)系，引導(dǎo)并幫助學(xué)生掌握向量這一重要的數(shù)學(xué)工具.

5.3 強(qiáng)化合理施“教”，消除困惑心理

在新課程教學(xué)中，力爭(zhēng)符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，讓位學(xué)生思考，就是讓學(xué)生的思維小步“加速”，平穩(wěn)過渡，學(xué)生才會(huì)在“觀察—猜想—實(shí)驗(yàn)—證明—應(yīng)用”這一思維過程中主動(dòng)參與正弦定理的發(fā)現(xiàn)、探究，取得良好的教學(xué)效果.在探究過程中，教師一定要做好引領(lǐng)者，讓學(xué)生以“活動(dòng)”促學(xué)習(xí)，激“主動(dòng)”求發(fā)展，用“合作”、“探究”求創(chuàng)新，逐步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力和創(chuàng)造性思維的能力，幫助學(xué)生完成從量變到質(zhì)變的飛躍，教學(xué)前的所有困惑就會(huì)消失得無影無蹤，這正是合理施“教”后的高效收獲.

正因?yàn)槿绱耍處熞欢〞?huì)有這樣的體會(huì)：教像“春雨”，學(xué)如“潤(rùn)物”，悟在“無聲”，樂勝“有聲”.

[1] 宮前長(zhǎng).新教材中“探究”的思維歷程及教學(xué)取向[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育(高中版)，2011(10)：36-38．

[2] 劉莉.“四步”備課扎實(shí)有效[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育(高中版)，2010(12)：8-10.