●

(建湖縣高級(jí)中學(xué) 江蘇建湖 224700)

從圓到橢圓
——一類高考試題的設(shè)計(jì)方法

●卜以軍

(建湖縣高級(jí)中學(xué) 江蘇建湖 224700)

1 重慶卷(理)第20題的設(shè)計(jì)方法

從而點(diǎn)P1的軌跡是圓C1：x2+y2=20.

圖1 圖2

(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

2 江蘇卷第18題的設(shè)計(jì)方法

如圖3，若P1A1是圓O:x2+y2=4的直徑，且不在坐標(biāo)軸上，過點(diǎn)P1作x軸的垂線，垂足為C1，聯(lián)結(jié)A1C1，并延長交圓于點(diǎn)B1，則直線P1A1的斜率與直線P1B1的斜率有什么關(guān)系？

圖3 圖4

設(shè)點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(x1,y1)，則A1(-x1,-y1),C1(x1,0),從而

即

因?yàn)镻1A1是圓O的直徑， 所以P1B1⊥A1C1，從而

kP1B1·kA1C1=-1,

即

kP1B1·kP1A1=-2.

因此，對(duì)于上述的圓和直線，只要直線P1A1和P1B1的斜率都存在，就總有P1A1和P1B1的斜率之積為定值-2.

從而PA⊥PB.這就形成了江蘇卷第18題：

(1)當(dāng)直線PA平分線段MN時(shí)，求k的值；

(2)當(dāng)k=2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d；

(3)對(duì)任意k>0，求證：PA⊥PB.

3 山東卷(理)第22題的設(shè)計(jì)方法

又設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，則

3(cos2α+sin2α)=3,

2(sin2α+cos2α)=2.

圖5 圖6

這就是山東卷(理)第22題的第(1)小題，也是該題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵.原試題如下：

(2)設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M，求|OM|·|PQ|的最大值.

4 四川卷(理)第21題的設(shè)計(jì)方法

圓的這個(gè)性質(zhì)不容易發(fā)現(xiàn)，證明過程也比較復(fù)雜.證明過程如下：

設(shè)直線l的方程為

y=kx+m(k≠0,m≠0,±ka+m≠0),

(1+k2)x2+2kx+m2-a2=0,

從而

直線AC的方程為

直線BD的方程為

聯(lián)立2個(gè)方程得

y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

所以

從而

即

解得

圖7

例4如圖7，橢圓有2個(gè)頂點(diǎn)A(-1，0)，B(1，0)，過其焦點(diǎn)F(0，1)的直線l與橢圓交于點(diǎn)C，D，并與x軸交于點(diǎn)P，直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q．

從以上的分析中可知，橢圓中的定點(diǎn)、定值、垂直等問題，可以先在圓上進(jìn)行研究，得到一個(gè)正確的結(jié)論后，再通過變換得到橢圓上的與之相對(duì)應(yīng)的結(jié)論.或?qū)A的一些熟知的結(jié)論類比到橢圓上，再進(jìn)行深入的研究，得到橢圓的一個(gè)正確的結(jié)論，然后進(jìn)行加工、改編，形成一道適合中學(xué)生進(jìn)行知識(shí)鞏固、方法訓(xùn)練、能力測試、選拔考試的試題.這是一種常用的非常有效的命題方法.