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(溫州中學(xué) 浙江溫州 325100)

2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科第19題的閱卷體會與思考

●陳重陽

(溫州中學(xué) 浙江溫州 325100)

2012年高考已悄然落幕，社會各界對浙江省數(shù)學(xué)高考試題的評價是眾說紛紜.筆者的總體感受是平實而不落俗套，淡雅之中卻見新奇.正巧筆者參加了2012年的數(shù)學(xué)高考閱卷工作，下面就理科第19題的閱卷體會和所引發(fā)的思考，談一些認(rèn)識，以饗讀者.

例1 已知箱中裝有4個白球和5個黑球，且規(guī)定：取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分.現(xiàn)從該箱中任取(無放回，且每球取到的機會均等)3個球，記隨機變量X為取出此3球所得分?jǐn)?shù)之和.

(1)求X的分布列；

(2)求X的數(shù)學(xué)期望E(X).

1 卷土重來風(fēng)滿樓——意外

2004年浙江省開始自主命題，至2012年已9個年頭，其中以大題(主觀題)形式考查概率的有7年，7年中有5年是以摸球問題為背景.2012年是繼2011年概率題“退出江湖”后再次“卷土重來”，讓師生感到意外.意外表現(xiàn)在2個方面：

1.1 以大題出現(xiàn)

高考前，師生普遍認(rèn)為2012年將是以數(shù)列代替概率且以大題形式出現(xiàn)，結(jié)果相反，從而造成這些意外.這說明在高考指揮棒下，“為考而教”的功利做法還是普遍存在的.其實，高考對三角、數(shù)列、概率的考查通常歸入容易題的范疇，以小題(主觀題)的形式來考查居多.這說明浙江高考穩(wěn)中有變的理念，啟示我們平時要扎實地做好每個知識點的復(fù)習(xí)，而不是去猜測高考考什么，更不能讓應(yīng)試成為數(shù)學(xué)教育的唯一目標(biāo)導(dǎo)向.

1.2 還是摸球問題

7年考查概率有5年(分別是2004～2006年、2008年、2012年)是以“摸求問題”為背景的.通過這次的閱卷交流，更深刻地理解了該題的命題立意：首先，概率問題是一個應(yīng)用題，應(yīng)用題的背景要來源于生活，采用“摸球問題”背景熟悉公平、題意明確易懂；其次，從學(xué)科知識出發(fā)，概率問題往往涉及隨機變量取值，以及概率值、數(shù)學(xué)期望、方差等計算，中學(xué)階段重要的概率模型是古典概型，古典概型的重要特征是基本事件的有限性與等可能性，“摸球問題”情境真實，很好地體現(xiàn)了上述特點.

2 淡妝濃抹總相宜——再思

從解答來講，本題并不難，參考答案如下：

解X的取值為3，4，5，6且

因此，X的分布列為(見表1)：

表1 X的分布列

故

本題涉及隨機變量對應(yīng)的概率與期望的計算，而“摸球問題”與是否放回等抽取方式有關(guān)，同時根據(jù)閱卷中學(xué)生出現(xiàn)的不同理解，筆者有了一些思考.

2.1 抽取方式對概率的影響

先從抽取次數(shù)考慮，抽取次數(shù)有3種情況：(1)任取3個抽1次；(2)依次逐個不放回抽3次；(2)不放回地抽2次，包括：第1次抽2個、第2次抽1個；第1次抽1個、第2次抽2個.這3種抽取方式(情況(1)和(2)在閱卷中都有出現(xiàn))會影響隨機變量的概率嗎？答案是不會的.由于分類情況繁多，在此僅舉摸到1個黑球、2個白球的概率P(X=5)加以例證.

(1)任取3個抽1次

(2)依次逐個不放回抽3次

P(X=5)=P(黑；白；白)+P(白；黑；白)+

P(白；白；黑)=

(3)不放回地抽2次：第1次抽2個、第2次抽1個

P(X=5)=P(黑、白；白)+P(白、白；黑)=

不放回地抽2次：第1次抽1個、第2次抽2個

P(X=5)=P(白；黑、白)+P(黑；白、白)=

由此，P(X=5)的值跟抽取次數(shù)無關(guān).同理，其他隨機變量的取值概率也與抽取次數(shù)無關(guān).實質(zhì)上，不放回取球，每個球被取到的概率一樣，無論一次取幾個，概率值僅與球的個數(shù)和顏色有關(guān).因此，只需考慮取出球的最終結(jié)果，不必考慮取球過程的次數(shù).

再從是否放回上考慮，是否放回摸球反映的是每次摸球之間是否相互獨立.一般地，對于無放回摸球：每次摸球之間不相互獨立，事件“A=無放回地逐個取k個球”與事件“B=一次任取k個球”的概率相等,即P(A)=P(B)；而對于有放回摸球：每次摸球之間相互獨立，事件“A=有放回地逐個取k個球”與事件“B=一次任取k個球”的概率一般是不相等的,即P(A)≠P(B).

2.2 對數(shù)學(xué)期望的不同理解

此時發(fā)現(xiàn)，是否放回摸球?qū)?shù)學(xué)期望值不產(chǎn)生影響，這是巧合，還是必然呢？該如何解釋呢？(留給讀者討論.)

通過本題再思考，能夠進(jìn)一步認(rèn)識摸球的2種模型(放回和無放回)，從中有助于理解隨機變量、相互獨立事件、古典概型、數(shù)學(xué)期望等概率中最基本的概念.就考試而言，只需解出正確的答案即可，沒有必要如上“小題大做”.對教學(xué)而言，僅解出數(shù)學(xué)問題是不夠的，更多的是對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，這也是對本題再思考的目的，正所謂“淡妝濃抹總相宜”.

3 咬定青山不放松——啟示

從閱卷情況來，本題學(xué)生失分主要表現(xiàn)在：隨機變量取值錯誤、分布列概念不清、概率計算錯誤、數(shù)學(xué)期望公式記不清等，反映了失分學(xué)生對概率中的基本概念掌握不全面，啟示教師在教學(xué)中要加強概念教學(xué)，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì).

數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是讓學(xué)生理解、掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)，教學(xué)不能“為考而教”，也不能“以考定教”.在平常的教學(xué)過程中，除了要求學(xué)生做題，還要關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)的科教學(xué)大綱、考試大綱和高考命題思路、命題原則，深入理解數(shù)學(xué)概念，正確揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性和相互間的內(nèi)在聯(lián)系，系統(tǒng)地對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行整理、歸納，溝通知識間的內(nèi)在聯(lián)系，形成縱向、橫向知識鏈，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò).從知識的聯(lián)系和整體上把握基礎(chǔ)知識，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，掌握數(shù)學(xué)方法，提高數(shù)學(xué)能力.

“回歸本質(zhì)、夯實基礎(chǔ)”，我們只有踏實做好數(shù)學(xué)教學(xué)，以不變應(yīng)萬變，咬定“數(shù)學(xué)概念本質(zhì)教學(xué)”這棵青松，就不會與高考相背離.如能關(guān)注這一點，或許大家對高考的變化就不會那么意外了.