● 益民

(蘭溪市第一中學(xué) 浙江蘭溪 321100)

一道高考向量試題的解答及其推論

●李超李益民

(蘭溪市第一中學(xué) 浙江蘭溪 321100)

2012年浙江省數(shù)學(xué)高考文、理科的第15題都是對(duì)向量?jī)?nèi)容的考查，題目新穎，富有創(chuàng)意，簡(jiǎn)潔明了，源于教材又高于教材.本文主要給出3種不同解法，并對(duì)該題目進(jìn)行擴(kuò)展，得到一些推論.

本題的命題意圖是考查學(xué)生對(duì)向量知識(shí)的理解應(yīng)用能力，根據(jù)題目的條件，利用向量的一些法則來(lái)求解.

1 3種解法

解法1如圖1所示，易知

cos∠AMB=-cos∠AMC，

根據(jù)余弦定理得

因?yàn)镸B=MC，所以

AB2+AC2=2(AM2+BM2)=68,

又因?yàn)镸為BC中點(diǎn)，所以

兩邊同時(shí)平方得

圖1 圖2

解法2如圖2所示，以M為圓心，MA為半徑作⊙M交邊BC于點(diǎn)B′,C′，從而AB′⊥AC′，即

根據(jù)向量的三角形法則,知

圖3

解法3如圖3所示，以M為圓心，BC為直徑作⊙M，延長(zhǎng)MA交⊙M于點(diǎn)P，從而PC⊥PB，即

根據(jù)向量的三角形法則,知

4-2×2×5=-16.

2 4個(gè)推論

證明如圖4所示，當(dāng)點(diǎn)P,A,B不共線時(shí)，點(diǎn)P,A,B可以構(gòu)成一個(gè)三角形，PO為AB邊上的中線.易知cos∠AOP=-cos∠BOP，根據(jù)余弦定理得

因?yàn)锳O=BO，所以

AP2+BP2=2(PO2+AO2)=2(r2+a2),

又因?yàn)镺為AB中點(diǎn)，所以

兩邊同時(shí)平方得

當(dāng)點(diǎn)P,A，B共線時(shí)，

-(r-a)(r+a)=a2-r2(定值).

圖4 圖5 圖6

證明如圖5所示，方法同推論1.

證明如圖6所示，方法同推論1.

AM2=λAC2+μAB2-λμBC2,

其中λ+μ=1.

由余弦定理,知

同理

又因?yàn)閏os∠AMB=-cos∠AMC，所以

將BM=λBC,MC=(1-λ)BC代入上式整理得

從而(1-λ)AM2+(1-λ)λ2BC2-

(1-λ)AB2+λAM2+λ(1-λ)2BC2-λAC2=0,

整理得

AM2=λAC2+(1-λ)AB2-λ(1-λ)BC2.

令μ=1-λ，則

AM2=λAC2+μAB2-λμBC2.