● 益民
(蘭溪市第一中學(xué) 浙江蘭溪 321100)
一道高考向量試題的解答及其推論
●李超李益民
(蘭溪市第一中學(xué) 浙江蘭溪 321100)
2012年浙江省數(shù)學(xué)高考文、理科的第15題都是對向量內(nèi)容的考查,題目新穎,富有創(chuàng)意,簡潔明了,源于教材又高于教材.本文主要給出3種不同解法,并對該題目進(jìn)行擴(kuò)展,得到一些推論.
本題的命題意圖是考查學(xué)生對向量知識的理解應(yīng)用能力,根據(jù)題目的條件,利用向量的一些法則來求解.
解法1如圖1所示,易知
cos∠AMB=-cos∠AMC,
根據(jù)余弦定理得
因?yàn)镸B=MC,所以
AB2+AC2=2(AM2+BM2)=68,
又因?yàn)镸為BC中點(diǎn),所以
兩邊同時平方得
圖1 圖2
解法2如圖2所示,以M為圓心,MA為半徑作⊙M交邊BC于點(diǎn)B′,C′,從而AB′⊥AC′,即
根據(jù)向量的三角形法則,知
圖3
解法3如圖3所示,以M為圓心,BC為直徑作⊙M,延長MA交⊙M于點(diǎn)P,從而PC⊥PB,即
根據(jù)向量的三角形法則,知
4-2×2×5=-16.
證明如圖4所示,當(dāng)點(diǎn)P,A,B不共線時,點(diǎn)P,A,B可以構(gòu)成一個三角形,PO為AB邊上的中線.易知cos∠AOP=-cos∠BOP,根據(jù)余弦定理得
因?yàn)锳O=BO,所以
AP2+BP2=2(PO2+AO2)=2(r2+a2),
又因?yàn)镺為AB中點(diǎn),所以
兩邊同時平方得
當(dāng)點(diǎn)P,A,B共線時,
-(r-a)(r+a)=a2-r2(定值).
圖4 圖5 圖6
證明如圖5所示,方法同推論1.
證明如圖6所示,方法同推論1.
AM2=λAC2+μAB2-λμBC2,
其中λ+μ=1.
由余弦定理,知
同理
又因?yàn)閏os∠AMB=-cos∠AMC,所以
將BM=λBC,MC=(1-λ)BC代入上式整理得
從而(1-λ)AM2+(1-λ)λ2BC2-
(1-λ)AB2+λAM2+λ(1-λ)2BC2-λAC2=0,
整理得
AM2=λAC2+(1-λ)AB2-λ(1-λ)BC2.
令μ=1-λ,則
AM2=λAC2+μAB2-λμBC2.