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        一道高考向量試題的解答及其推論

        2012-11-07 03:11:02益民
        關(guān)鍵詞:蘭溪市易知共線

        ● 益民

        (蘭溪市第一中學(xué) 浙江蘭溪 321100)

        一道高考向量試題的解答及其推論

        ●李超李益民

        (蘭溪市第一中學(xué) 浙江蘭溪 321100)

        2012年浙江省數(shù)學(xué)高考文、理科的第15題都是對向量內(nèi)容的考查,題目新穎,富有創(chuàng)意,簡潔明了,源于教材又高于教材.本文主要給出3種不同解法,并對該題目進(jìn)行擴(kuò)展,得到一些推論.

        本題的命題意圖是考查學(xué)生對向量知識的理解應(yīng)用能力,根據(jù)題目的條件,利用向量的一些法則來求解.

        1 3種解法

        解法1如圖1所示,易知

        cos∠AMB=-cos∠AMC,

        根據(jù)余弦定理得

        因?yàn)镸B=MC,所以

        AB2+AC2=2(AM2+BM2)=68,

        又因?yàn)镸為BC中點(diǎn),所以

        兩邊同時平方得

        圖1 圖2

        解法2如圖2所示,以M為圓心,MA為半徑作⊙M交邊BC于點(diǎn)B′,C′,從而AB′⊥AC′,即

        根據(jù)向量的三角形法則,知

        圖3

        解法3如圖3所示,以M為圓心,BC為直徑作⊙M,延長MA交⊙M于點(diǎn)P,從而PC⊥PB,即

        根據(jù)向量的三角形法則,知

        4-2×2×5=-16.

        2 4個推論

        證明如圖4所示,當(dāng)點(diǎn)P,A,B不共線時,點(diǎn)P,A,B可以構(gòu)成一個三角形,PO為AB邊上的中線.易知cos∠AOP=-cos∠BOP,根據(jù)余弦定理得

        因?yàn)锳O=BO,所以

        AP2+BP2=2(PO2+AO2)=2(r2+a2),

        又因?yàn)镺為AB中點(diǎn),所以

        兩邊同時平方得

        當(dāng)點(diǎn)P,A,B共線時,

        -(r-a)(r+a)=a2-r2(定值).

        圖4 圖5 圖6

        證明如圖5所示,方法同推論1.

        證明如圖6所示,方法同推論1.

        AM2=λAC2+μAB2-λμBC2,

        其中λ+μ=1.

        由余弦定理,知

        同理

        又因?yàn)閏os∠AMB=-cos∠AMC,所以

        將BM=λBC,MC=(1-λ)BC代入上式整理得

        從而(1-λ)AM2+(1-λ)λ2BC2-

        (1-λ)AB2+λAM2+λ(1-λ)2BC2-λAC2=0,

        整理得

        AM2=λAC2+(1-λ)AB2-λ(1-λ)BC2.

        令μ=1-λ,則

        AM2=λAC2+μAB2-λμBC2.

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