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(魯迅中學(xué) 浙江紹興 312000)

四法并舉彰顯活力
——2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科第17題賞析

●陸立峰

(魯迅中學(xué) 浙江紹興 312000)

2012年浙江省數(shù)學(xué)高考試題依然秉承了“起點(diǎn)低、坡度緩、層次多、區(qū)分好”的鮮明特色，其中又不乏一些適度創(chuàng)新、題小意深的經(jīng)典之作.本文就以理科第17題為例進(jìn)行解法探求和賞析.

例1設(shè)a∈R，若x>0時(shí)均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0，則a=________.

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

1 解法探索

解法1根軸法

由題意分析可得a>1，則原不等式可轉(zhuǎn)化為

其中x1,x2是方程x2-ax-1=0一正一負(fù)的2個(gè)根.不妨設(shè)x1<0,x2>0，由三次不等式穿根法可知，要使得對一切x>0時(shí)均有

[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0

點(diǎn)評(píng)根軸法是簡單高次不等式中的基本方法.由題意對一切x>0不等式均成立，說明正根x2為重根，此法解題也是水到渠成的事情.

解法2數(shù)形結(jié)合

本題按照一般思路，則可分為以下2種情況

受經(jīng)驗(yàn)的影響，很多學(xué)生認(rèn)為本題可能是錯(cuò)題或者解不出本題.其實(shí)在x>0的整個(gè)區(qū)間上，可將其分成2個(gè)區(qū)間，在各自的區(qū)間內(nèi)恒正或恒負(fù),如圖1所示.

圖1

解得

解法3變換主元

把a(bǔ)看作主元，則原不等式可化為

(xa-x-1)(-xa+x2-1)≥0，

進(jìn)一步可整理為

即

當(dāng)x=2時(shí)，原不等式化為

因此

即

點(diǎn)評(píng)變換主元，看成關(guān)于a的二次不等式是個(gè)大膽的想法，此想法能否實(shí)現(xiàn)需要扎實(shí)的基本功.經(jīng)過轉(zhuǎn)換后就變成含參不等式的解法，過程有點(diǎn)繁瑣，屬于小題大做.但在解題過程中，往往會(huì)得到下面的簡便方法.

解法4特殊法

把a(bǔ)看作主元，則原不等式可化為

(xa-x-1)(-xa+x2-1)≥0，

進(jìn)一步可整理為

故

點(diǎn)評(píng)解法4一時(shí)難以捕捉，但在分析解答過程和求解的結(jié)果來看，這是神來之筆，是在深刻理解知識(shí)基礎(chǔ)上的靈機(jī)一動(dòng)，并且這種方法揭示了特殊性存在于一般性之中的哲學(xué)思想.

2 試題賞析

本題簡潔樸素，但具有高考試題概念的深刻性、思辨的邏輯性、解法的多樣性等特點(diǎn)，是整份試卷中的一大亮點(diǎn).題目雖小，但題精意蘊(yùn)，細(xì)細(xì)品味，對今后的復(fù)習(xí)備考具有很多有益的啟示.

2.1 突出本質(zhì)顯導(dǎo)向

考試說明指出，數(shù)學(xué)學(xué)科的考試，按照“考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，注重考查能力”的原則，確立以能力立意命題的指導(dǎo)思想，將知識(shí)、能力和素質(zhì)融為一體，全面檢測考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).要發(fā)揮數(shù)學(xué)作為主要基礎(chǔ)學(xué)科的作用，既考查考生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的掌握程度，又考查對數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解水平以及進(jìn)入高等學(xué)校繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能.本題以不等式為載體，既考查基礎(chǔ)知識(shí)，又考查數(shù)形結(jié)合等基本思想方法，還體現(xiàn)特殊性與一般性的哲學(xué)思想.在課堂教學(xué)過程中，教師除了傳授知識(shí)本身以外，還應(yīng)該教給學(xué)生哪些東西？學(xué)生高中畢業(yè)十年、二十年之后依然留在腦海中的這些東西，才是數(shù)學(xué)最本質(zhì)、最核心的思想方法，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的目的.此題還傳遞出一個(gè)信息，高中數(shù)學(xué)教學(xué)依靠“題型+技巧+大運(yùn)動(dòng)量訓(xùn)練”的教學(xué)難以適應(yīng)高考，呼喚突出數(shù)學(xué)本質(zhì)、實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)自然回歸，有利于新課程改革的落實(shí).

2.2 總結(jié)反思探題源

一道好的試題，并不一定都是新題，因此命題者無需有意回避教材或資料中的常見試題，而恰是這些題目反而成為命制試題的來源.在不等式恒成立上設(shè)置考題，知識(shí)背景公平，很好的體現(xiàn)考查基礎(chǔ)知識(shí)的命題要求，符合中學(xué)教學(xué)實(shí)際及考試說明的要求.此題在平時(shí)上含參不等式這塊內(nèi)容時(shí)是作為2個(gè)獨(dú)立的小題來求解的,即：

(1)設(shè)a∈R，若x>0時(shí)均有(a-1)x-1≥0，求a的取值范圍；

(2)設(shè)a∈R，若x>0時(shí)均有x2-ax-1≥0，求a的取值范圍.

在這里把2個(gè)小題合在一起可謂獨(dú)具匠心，使人倍感親切，并給人似曾相識(shí)的感覺，不會(huì)作為壓軸題而使考生望而生畏.其實(shí)2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題的第10題，討論方程

g(x)=(ax+1)(cx2+bx+1)=0

根的個(gè)數(shù)是否也有異曲同工之妙呢？

2.3 能力立意促選拔

選拔性是高考試題最核心的一個(gè)功能，本題雖然是一道很普通的填空題，內(nèi)容上似曾相識(shí)，但在形式上還是推陳出新的.本題看似平淡，但已經(jīng)將基礎(chǔ)知識(shí)、方法、能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查融為一體.使每一位考生的能力盡顯出來，使高考的選拔功能得以實(shí)現(xiàn).本題之所以能很好地體現(xiàn)選拔性的要求，首先是解題入口寬，既可以用代數(shù)方法計(jì)算，也可數(shù)形結(jié)合等常用方法求解；其次是區(qū)分度較好，因?yàn)橹埸c(diǎn)不同，解題的方式方法不同，每種方法各有千秋，效果自然也就大不相同，能夠?yàn)楦咝＿x拔相應(yīng)的優(yōu)秀人才.

高考試題是命題組教師集體智慧的結(jié)晶，是平時(shí)學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)過程中的寶貴財(cái)富.如何充分利用這些題源，開展一題多解和多題一解，也是教師日常教學(xué)中的一件非常有意義的事.