●

(彭陽縣第三中學(xué) 寧夏彭陽 756500)

對2012年江西省數(shù)學(xué)高考理科第20題的研究

●王伯龍

(彭陽縣第三中學(xué) 寧夏彭陽 756500)

例1已知3個(gè)點(diǎn)O(0，0)，A(-2，1)，B(2，1)，曲線C上任意一點(diǎn)M(x,y)滿足

(1)求曲線C的方程.

(2)動點(diǎn)Q(x0,y0)(-2

(2012年江西省數(shù)學(xué)高考理科試題)

本題綜合的考查了圓錐曲線上的動點(diǎn)、切線及其三角形面積等相關(guān)知識.當(dāng)筆者看到該題后的第一感覺是第(2)小題在設(shè)置上立意新穎，獨(dú)具匠心，凝聚了命題專家的靈感與智慧，值得繼續(xù)學(xué)習(xí)與研究.

易得曲線C的方程為：x2=4y.對于第(2)小題，探究的結(jié)果是存在定點(diǎn)P(0,-1)，使得△QAB與△PDE的面積之比是常數(shù)2.仔細(xì)分析題中的條件和得出的結(jié)論，不難發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)P(0,-1)恰是拋物線C的準(zhǔn)線y=-1與對稱軸的交點(diǎn)，已知點(diǎn)A與點(diǎn)B的連線過拋物線的焦點(diǎn)(0,1)，容易驗(yàn)證PA，PB恰是拋物線的2條切線，因而第(2)小題得到的結(jié)論是特殊的情形，一般化可得：

圖1

又DE:2pty=p(x+2pt2)，即

DE:2ty=x+2pt2.

(1)

(2)

(3)

(4)

將式(1)，式(2)代入式(4)化簡得

(5)

y2-2ny-p2=0，

由根與系數(shù)的關(guān)系得

y1+y2=2n,y1y2=-p2.

因此

(2pt-y1)(2pt-y2)=4p2t2-2pt(y1+y2)+y1y2=4p2t2-4ptn-p2，

將其代入式(5)化簡得

(6)

由式(3)和式(6)得

將結(jié)論1中“過準(zhǔn)線l上任意一點(diǎn)”推廣為“過定直線l:x=-m(m>0)上任意一點(diǎn)”，結(jié)論是否成立？經(jīng)過嘗試，便有如下的結(jié)論.

證明如圖1，設(shè)動點(diǎn)Q(2pt2,2pt)，P(-m,n)，A(x1,y1)，B(x2,y2),則切點(diǎn)弦

PA：y1y=p(x+x1)，PB:y2y=p(x+x2),AB:ny=p(x-m).

又DE:2pty=p(x+2pt2)，即

DE:2ty=x+2pt2.

(7)

將式(1)，式(2)代入式(7)化簡得

(8)

y2-2ny-2pm=0,

又由根與系數(shù)的關(guān)系得

y1+y2=2n,y1y2=-2pm.

因此

(2pt-y1)(2pt-y2)=4p2t2-2pt(y1+y2)+y1y2=4p2t2-4ptn-2pm,

將其代入式(8)化簡得

(9)

由式(3)和式(9)得

將結(jié)論中的“過定直線l:x=-m(m>0)上任意一點(diǎn)”，換成“過拋物線外的任意一點(diǎn)P(s,q)”，結(jié)論是否成立？

圖2

結(jié)論3的證明,可仿結(jié)論2的證法，有興趣的讀者可自行證明.筆者經(jīng)過演算，上述結(jié)論是拋物線特有的性質(zhì)，對于橢圓、雙曲線不成立.

上述結(jié)論體現(xiàn)了拋物線切點(diǎn)三角形的面積和外切三角形面積之間的一個(gè)定比關(guān)系，如果從斜率的角度出發(fā)去研究也會得到有趣的結(jié)論.關(guān)于這方面的研究文獻(xiàn)[1]已給出相應(yīng)的結(jié)論.

定理[1]過拋物線C:y2=2px(p>0)外任意一點(diǎn)P作拋物線的2條切線PA,PB,切點(diǎn)分別為A,B,動點(diǎn)Q為拋物線C上在A,B之間部分上的任意一點(diǎn)，拋物線C在點(diǎn)Q處的切線分別交PA,PB于點(diǎn)D,E(如圖2).用kAB,kBQ,kQA分別表示直線AB,BQ,QA的斜率，用kA,kB,kQ分別表示拋物線上切于點(diǎn)A,B,Q處的切線的斜率，則

[1] 苗相軍，孫勝田.圓錐曲線外切三角形和切點(diǎn)三角形邊的斜之關(guān)系[J].數(shù)學(xué)通訊，2012(5)：48-49.