●

(東陽(yáng)中學(xué) 浙江東陽(yáng) 322100)

競(jìng)賽中的數(shù)列題評(píng)析

●陳碩罡

(東陽(yáng)中學(xué) 浙江東陽(yáng) 322100)

全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽經(jīng)過(guò)20多年的發(fā)展，雖然試題題型等幾番變化，但總體形成了自己特定的命題風(fēng)格，特別是一些重點(diǎn)內(nèi)容，可以說(shuō)是“年年必考、常考常新”.數(shù)列就是這樣的一個(gè)內(nèi)容，它在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中處于一個(gè)知識(shí)匯合點(diǎn)的地位，很多知識(shí)都與數(shù)列有著密切的聯(lián)系.不少關(guān)于恒等變形、解方程組、解不等式以及一些帶有綜合性的數(shù)學(xué)問(wèn)題都與數(shù)列有關(guān)，通過(guò)數(shù)列能考查學(xué)生的綜合思維能力和綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力，因此數(shù)列一直受到命題者的青睞.本文將在分析2006～2011年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽數(shù)列試題的基礎(chǔ)上，提出數(shù)列內(nèi)容備考的若干思考和建議，與同仁們探討.

1 近6年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽數(shù)列試題回顧

表1 近6年的數(shù)列試題

從表1中，我們可以歸納出全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽對(duì)數(shù)列內(nèi)容考查的2個(gè)特點(diǎn)：(1)在客觀題中，以考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念和性質(zhì)為主，同時(shí)結(jié)合函數(shù)、不等式、數(shù)論等知識(shí)進(jìn)行考查，難度相對(duì)穩(wěn)定；(2)在主觀題中，基本上都是考查由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后判斷數(shù)列的性質(zhì)或?qū)ζ淝蠛停蚪Y(jié)合其他知識(shí)點(diǎn)如存在性問(wèn)題、唯一性問(wèn)題等進(jìn)行考查.對(duì)數(shù)列而言，求數(shù)列的通項(xiàng)是解決數(shù)列問(wèn)題的關(guān)鍵，同時(shí)這也是解決數(shù)列問(wèn)題的難點(diǎn)所在.

2 數(shù)列試題評(píng)析及備考建議

分析歷年全國(guó)聯(lián)賽試題的目的不是要押題猜題，而是要分析競(jìng)賽試題的特點(diǎn)，把握競(jìng)賽命題的方向，尋求競(jìng)賽備考的對(duì)策.筆者認(rèn)為，解決數(shù)列問(wèn)題的核心是求數(shù)列的通項(xiàng)公式，可以說(shuō)數(shù)列的通項(xiàng)是數(shù)列問(wèn)題的生命線.縱觀近幾年的聯(lián)賽數(shù)列試題，最終往往是通過(guò)構(gòu)造等比或等差模型來(lái)解決.掌握構(gòu)造的常見(jiàn)技巧和結(jié)論，根據(jù)遞推公式構(gòu)造等差、等比數(shù)列，是解決問(wèn)題的難點(diǎn)所在.

2.1 特征根法求通項(xiàng)

例1已知p,q(q≠0)是實(shí)數(shù)，方程x2-px+q=0有2個(gè)實(shí)根α，β，數(shù)列{an}滿足a1=p，a2=p2-q，an=pan-1-qan-2(n=3,4,…).

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式(用α，β表示)；

(2009年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

解(1)由韋達(dá)定理知αβ=q≠0，又α+β=p，因此a1=α+β,a2=α2+β2+αβ,特征方程λ2-pλ+q=0的2個(gè)根為α，β．

①當(dāng)α=β≠0時(shí)，通項(xiàng)an=(A1+A2n)αn(n=1,2,…)，由a1=2α，a2=3α2得

解得A1=A2=1,故an=(1+n)αn.

②當(dāng)α≠β時(shí)，通項(xiàng)an=A1αn+A2βn(n=1,2,…),由a1=α+β，a2=α2+β2+αβ得

(2)略.

評(píng)析數(shù)列的遞推關(guān)系形如an+1=pan+qan-1(n≥2,pq≠0)，其特征方程為x2=px+q，α,β為特征根.(1)若α≠β，則其通項(xiàng)an=Aαn+Bβn；(2)若α=β，則其通項(xiàng)an=(A+Bn)αn-1(式中A，B由初始值a1,a2確定).

2．2 待定系數(shù)法求通項(xiàng)

例2一個(gè)由若干行數(shù)字組成的數(shù)表，從第2行起每一行中的數(shù)字均等于其肩上的2個(gè)數(shù)之和，最后一行僅有一個(gè)數(shù)，第一行是前100個(gè)正整數(shù)按從小到大排成的行，則最后一行的數(shù)是______(可以用指數(shù)表示).

(2009年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

解(1)易知：該數(shù)表共有100行；

(2)每一行構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，且公差依次為d1=1,d2=2,d3=22,…,d99=298;

(3)a100為所求．

設(shè)第n(n≥2)行的第一個(gè)數(shù)為an，則an=2an-1+2n-2，兩邊同除2n可得

評(píng)析數(shù)列的遞推關(guān)系形如an=pan-1+qrn，往往可變形轉(zhuǎn)化為

這樣就構(gòu)造了一個(gè)等比數(shù)列，從而求得所需的通項(xiàng)公式.

2.3 不動(dòng)點(diǎn)法求通項(xiàng)

(1)對(duì)于怎樣的實(shí)數(shù)x與y，總存在正整數(shù)n0，使當(dāng)n0≥n時(shí)，an恒為常數(shù)？

(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

(2006年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試試題)

由此遞推，可得

這里Fn=Fn-1+Fn-2(n≥2)，F(xiàn)0=F1=1.由特征根法(或直接由斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式)得

上式中的n還可以負(fù)向延伸，例如F-1=0，F(xiàn)-2=1.這樣，通項(xiàng)公式對(duì)所有的n≥0都成立，因此

x2-2px+q=0.

其中{Fn}為斐波那契數(shù)列，由此可求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

對(duì)數(shù)列問(wèn)題而言，求通項(xiàng)公式是關(guān)鍵.中學(xué)階段常見(jiàn)的是等比模型和等差模型，因此不論碰到什么樣的題目，都要通過(guò)對(duì)遞推公式進(jìn)行化簡(jiǎn)變形.在這個(gè)過(guò)程中需要掌握一些常見(jiàn)的結(jié)論和固定的變形技巧，在不斷嘗試探索的過(guò)程中，完成構(gòu)造等比數(shù)列模型和等差數(shù)列模型，從而化未知為已知，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決.

同步練習(xí)

4.已知數(shù)列{an}(n≥0)滿足a0=0，a1=1，對(duì)于所有正整數(shù)n，有an+1=2an+2 007an-1，求使得2 008|an成立的最小正整數(shù)n.

參考答案

1.解由題意得an>0，對(duì)遞推式2邊取對(duì)數(shù)得

2lgan+1=lgan+2.

由特征根法可求得

易得

從而

于是

4.解設(shè)m=2 008，則an+1=2an+2 007an-1的特征方程為

λ2-2λ-2 007=0，

由二項(xiàng)式定理得

5.解由遞推關(guān)系知其不動(dòng)點(diǎn)為2和-2，則

6.解由原遞推式可得

展開(kāi)可得

同理

兩式相減，可得

即

an+1+an-1=6an，

由特征根法易求