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(東陽市外國語學(xué)校高中部 浙江東陽 322100)

巧用構(gòu)造法證明不等式競賽題

●厲軍萍

(東陽市外國語學(xué)校高中部 浙江東陽 322100)

不等式的證明，憑借其簡單的知識基礎(chǔ)、獨(dú)特的解題構(gòu)思、發(fā)散的證明方向、奇妙的推理過程成為數(shù)學(xué)競賽中永恒的熱點(diǎn)之一.構(gòu)造法，作為技巧性特別強(qiáng)的一種解題方法，主要通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)淖兞?、等式、函?shù)、圖形、數(shù)列、模型等輔助手段，使問題轉(zhuǎn)化，揭示出直觀和本質(zhì)的形式，從而有助于問題的解決.構(gòu)造法與不等式證明的結(jié)合，往往能相得益彰，迸發(fā)出令人贊嘆的思維火花.本文擬通過具體例子，分類闡述如何巧用構(gòu)造法證明不等式競賽題.

1 構(gòu)造函數(shù)關(guān)系證明不等式

例1已知a,b,c∈(-2,1)，求證：abc>a+b+c-2.

分析此不等式2邊關(guān)于a,b,c對稱，且a,b,c都是一次的，可以嘗試構(gòu)造一次函數(shù).

證明設(shè)f(x)=(bc-1)x-b-c+2，則

因為b,c∈(-2,1)，所以

故

從而

f(1)=bc-b-c+1=(1-b)(1-c)>0,

當(dāng)x∈(-2,1)時，f(x)恒大于0，于是f(a)>0，即abc>a+b+c-2.

分析從條件和結(jié)論的形式看，a,b,c呈輪換對稱，因此構(gòu)造的函數(shù)也應(yīng)當(dāng)是輪換對稱型.

證明由a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=1-2(ab+bc+ca)，可知原不等式等價于

(1)

令f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x3-x2+(ab+bc+ca)x-abc，則

因此

整理即得式(1).故原不等式得證.

2 構(gòu)造數(shù)列證明不等式

從數(shù)列的定義上看，數(shù)列可以看作一個定義在自然數(shù)集或其有限子集上的函數(shù)當(dāng)自變量從小到大依次取值時的一系列函數(shù)值，因此可以從數(shù)列的角度理解函數(shù)或不等式.利用數(shù)列的通項公式和求和公式以及利用數(shù)列的特殊性質(zhì)證明不等式，與一般證明相比較，常常顯得新穎獨(dú)特，別具一格.

(第19屆莫斯科數(shù)學(xué)競賽試題)

故原不等式成立.

故

3 構(gòu)造圖形證明不等式

數(shù)形結(jié)合是最重要的數(shù)學(xué)思想之一，也是解決數(shù)學(xué)問題的有效方法之一.不等式的證明也是如此，如果問題條件中的數(shù)量關(guān)系有較為明顯的幾何意義或以某種方式可與幾何圖形建立聯(lián)系，那么可以通過構(gòu)造圖形，將題設(shè)的條件及數(shù)量關(guān)系直接在圖形中得到體現(xiàn)，然后在構(gòu)造的圖形中尋求所證的結(jié)論.

分析根據(jù)題意，本題的證明離不開三角形的知識，但怎樣的三角形可以使解題更為方便，是首先應(yīng)當(dāng)思考的.

證明如圖1所示，構(gòu)造圓外切△ABC，使得3條邊a,b,c滿足a=y+z,b=z+x,c=x+y,則原不等式等價于

(2)

圖1

(yz+zx+xy)2≥3xyz(x+y+z),

即證明

(yz)2+(zx)2+(xy)2≥xyz(x+y+z)，

而此式顯然成立，故原不等式成立.

例6設(shè)x,y,z>0，求證：

分析三角形是最基本的平面圖形，三角形中存在許多結(jié)論，如三角形的邊角不等關(guān)系、正余弦定理和面積計算公式等是最基本的解題工具，巧妙利用這些知識解題往往能收到事半功倍的效果.

圖2

證明如圖2所示，∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,設(shè)PA=x,PB=y,PC=z,則P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).易知

在△APB,△BPC,△CPA中，由三角形兩邊之和大于第三邊，并將所得的3個式子相加，即得左邊的不等式.

另一方面，在△ABC中，由例5的結(jié)論

可得

(3)

從而

(4)

又ab+bc+ca≤a2+b2+c2，由式(4)可得

式(3)+式(5)×2得

故

4 構(gòu)造分布列證明不等式競賽題

若隨機(jī)變量ξ的分布列如表1所示，則方差

Dξ=P1(x1-Eξ)2+p2(x2-Eξ)2+…+pn(xn-Eξ)2+…=Eξ2-(Eξ)2≥0.

通過構(gòu)造隨機(jī)變量的概率分布列，可以證明一類不等式競賽題.

例7如果正數(shù)x1,x2,…,xn的和為1，證明：

(第24屆全蘇數(shù)學(xué)競賽試題)

分析構(gòu)造分布列證明的關(guān)鍵在于構(gòu)造適當(dāng)?shù)碾S機(jī)變量及其概率.本題可以用多種不同方法證明.

證明構(gòu)造隨機(jī)變量ξ的分布列如表2所示.

表2 隨機(jī)變量ξ的分布列

則

由Eξ2-(Eξ)2≥0得

例8設(shè)a,b,c,d>0，且ab+bc+cd+da=1，求證：

(第31屆IMO備選試題)

分析本題的證明關(guān)鍵仍然是如何根據(jù)題給條件和所證結(jié)論構(gòu)造適當(dāng)?shù)碾S機(jī)變量及其概率.

證明構(gòu)造隨機(jī)變量ξ的分布列如表3所示.

表3 隨機(jī)變量ξ的分布列

其中m=2(ab+bc+cd+da+ac+bd),則

由Eξ2-(Eξ)2≥0得

5 構(gòu)造代換模型證明不等式競賽題

代換法是證明不等式的常用方法，通過代換往往能將一個復(fù)雜的不等式轉(zhuǎn)化為一個簡單的或可直接運(yùn)用公式證明的不等式問題.代換的方法很多，如均值代換、三角代換、線性代換、分母代換等，如何尋找一種合適的模型進(jìn)行代換是解決問題的關(guān)鍵.

分析對于一類齊次型的分式不等式，可以通過分母代換，將原不等式轉(zhuǎn)化為基本不等式證明問題.

證明令a=2x+y+z,b=x+2y+z，c=x+y+2z,則

例10設(shè)x,y,z是大于-1的實數(shù),證明:

(2004年IMO中國國家隊培訓(xùn)試題)

分析本題x,y,z呈輪換對稱形式，但每一個分式都不是齊次型，因此，先通過基本不等式將分式化為齊次型(含常數(shù))是證明的第一步.

設(shè)p=2c+b,q=2a+c，r=2b+a,則

故原不等式得證.