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(中國科技技術(shù)大學(xué) 安徽合肥 230026)

一道自主招生題的引申

●王建偉

(中國科技技術(shù)大學(xué) 安徽合肥 230026)

例1設(shè)a,b為實(shí)數(shù)，已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有acosx+bcos2x≥-1恒成立，求a+b的最大值.

(2009年北京大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題)

例2設(shè)a,b為實(shí)數(shù)，已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有acosx+bcos2x≥-1恒成立.

(1)求a+b的最大值，及取得最大值的所有數(shù)對(duì)(a,b);

(2)求a+b的最小值，及取得最小值的所有數(shù)對(duì)(a,b).

f(t)=2bt2+(2-b)t+(1-b),

Δ= (2-b)2-4×2b×(1-b)=

9b2-12b+4=(3b-2)2≤0,

(2)取x=0,得a+b≥-1.若a+b=-1,則a=-b-1.令t=cosx,則-1≤t≤1.記

g(t)=2bt2-(b+1)t+(1-b),

條件轉(zhuǎn)化為：當(dāng)-1≤t≤1時(shí)，g(t)≥0恒成立.特別地，g(-1)=2+2b≥0,故b≥-1.

若-1≤b≤0,則g(t)是開口向下的二次函數(shù)，最小值必可在某端點(diǎn)取得，而g(1)=0,g(-1)≥0,這樣的b必滿足要求.

若b=0,則g(t)=-t+1為減函數(shù)，而g(1)=0,則b=0也滿足要求.

Δ= (b+1)2-4×2b×(1-b)=

9b2-6b+1=(3b-1)2>0,

例3設(shè)a,b,c為實(shí)數(shù)，f(x)=acosx+bcos2x+ccos3x.已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有f(x)≥-1恒成立，求a+b+c的最大值，及取得最大值的所有數(shù)組(a,b,c).

-a+b-c≥-1,

于是

a+c≤1+b≤2,

從而

a+b+c≤1+2=3.

若a+b+c=3,則b=1,a+c=2.此時(shí)，令t=cosx∈[-1，1]，則

(2-c)t+2t2-1+c(4t3-3t)≥-1,

即

t(2ct2+t+1-2c)≥0.

當(dāng)0

1-2c=0，

解得

例4設(shè)a,b為實(shí)數(shù),已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有acosx+bcos3x≥-1恒成立，求b的最大值和最小值.

解取x=0,得

a+b≥-1.

(1)

即 -a+2b≥-2.

(2)

式(1)+式(2)，得

3b≥-3,

故

b≥-1.

例5設(shè)a,b,c為實(shí)數(shù),已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有acosx+bsinx+ccos3x≥-1恒成立，求c的最大值和最小值.

解先證明一個(gè)引理.

引理1

(引理的證明可用和差化積或復(fù)數(shù)的方法，略.)

記f(x)=acosx+bsinx+ccos3x,由引理1，得

分別取x=0和x=π，得-1≤c≤1.另外，易知(a,b,c)=(0,0,1)和(a,b,c)=(0，0，-1)滿足要求，因此c的最大值為1,最小值為-1.

最后給出一個(gè)更一般的問題，細(xì)細(xì)品味我們可以了解問題的本質(zhì).

例6設(shè)a1,a2,…，an,b1,b2,…,bn,c為實(shí)數(shù).記f(x)=a1cosx+b1sinx+…+ancosnx+bnsinnx+ccos(n+1)x,已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有f(x)≥-1恒成立，求c的最大值和最小值.

解先證明一個(gè)引理.

引理2設(shè)m,n為正整數(shù)，m≤n,且x為實(shí)數(shù)，則

引理2的證明

由此立得.

(不熟悉復(fù)數(shù)的讀者可用和差化積及裂項(xiàng)求和的方法證明，略.)

由引理2,得

(n+1) ·c·cos(n+1)x=