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(富陽市永興中學(xué) 浙江富陽 311400)

解決初中數(shù)學(xué)競賽中雜題的常用策略

●段春炳

(富陽市永興中學(xué) 浙江富陽 311400)

數(shù)學(xué)競賽中出現(xiàn)的雜題往往涉及數(shù)論、組合、圖論等知識(shí)．這類問題背景豐富、解法靈活多變，而所涉及的知識(shí)和方法能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，能考查出學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性、深刻性和創(chuàng)造性，因而備受命題者的青睞．雖然這些題目沒有固定的方法，但一些思想方法和數(shù)學(xué)原理常被用到，本文通過近幾年的初中數(shù)學(xué)競賽題舉例說明．

1 用“抽屜原理”解決存在性問題

抽屜原理盡管很簡單，卻應(yīng)用廣泛，特別是在解決窮舉有困難的存在性問題中，它往往能起到很好的效果．

例1有一系列數(shù)，前2個(gè)數(shù)是1,2，從第3個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都等于它前面相鄰的2個(gè)數(shù)的和的個(gè)位數(shù)字．請(qǐng)回答以下問題：

(1)在這列數(shù)中能否依次出現(xiàn)相鄰的2,0,1,2這4個(gè)數(shù)？說明理由．

(2)這列數(shù)中的第2 012個(gè)數(shù)字是什么？說明理由．

(2012年希望杯初一數(shù)學(xué)競賽第二試試題)

分析第(1)小題由奇偶性可知前2個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則第3個(gè)數(shù)必為偶數(shù)，因此不可能出現(xiàn)2,0,1,2這4個(gè)數(shù)．

很多學(xué)生在解第(2)小題時(shí)一般能猜到這列數(shù)會(huì)出現(xiàn)循環(huán)，希望通過實(shí)驗(yàn)找出這個(gè)循環(huán)，但通過多次嘗試沒有出現(xiàn)循環(huán)時(shí)往往會(huì)否定自己開始的猜想，從而解題受阻．事實(shí)上求解此類試題的關(guān)鍵在于知道這列數(shù)是一定會(huì)循環(huán)的．

當(dāng)相鄰2個(gè)數(shù)重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，數(shù)列就會(huì)出現(xiàn)循環(huán)，注意到這列數(shù)中只出現(xiàn)0到9的數(shù)字，因此不同的排列方式共有10×10=100種.因此，根據(jù)抽屜原理，相鄰2個(gè)數(shù)在這無窮數(shù)串中必定會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，此后成周期循環(huán)，且“最壞”的情況是直到第101、第102個(gè)數(shù)才與第1、第2個(gè)數(shù)重復(fù)．通過實(shí)驗(yàn)尋找,如表1所示.

表1 數(shù)表

從表1中可以發(fā)現(xiàn)，第61個(gè)數(shù)等于第1個(gè)數(shù)，第62個(gè)數(shù)等于第2個(gè)數(shù)，以下各數(shù)以60為周期循環(huán)出現(xiàn)．因?yàn)? 012=33×60+32，所以第2 012個(gè)數(shù)字等于第32個(gè)數(shù)字，即8．

2 用“不變量原理”解決操作性問題

有一類問題要求進(jìn)行反復(fù)的操作，哪些結(jié)果可能出現(xiàn)，哪些結(jié)果不可能出現(xiàn)．解決此類問題的有效策略是：如果有重復(fù)操作，尋找操作過程中的不變量．

例2有3堆石子的個(gè)數(shù)分別為20，10，12，現(xiàn)進(jìn)行如下操作：每次從3堆的任意2堆中分別取出1粒石子，然后把這2粒石子都加到另一堆上去．問：能否經(jīng)過若干次這樣的操作，使得

(1)3堆石子的石子數(shù)分別為4，14，24；

(2)3堆石子的石子數(shù)均為14．

若能滿足要求，請(qǐng)用最少的操作次數(shù)完成；若不能滿足，請(qǐng)說明理由．

(2010年城市杯初一數(shù)學(xué)應(yīng)用能力決賽試題)

分析第(1)小題只要從20,10這2堆石子中連續(xù)取出6次都加到12這堆中，分別變?yōu)?4,4,24，而且要得到4，最少是從10變到4，即最少要操作6次．

第(2)小題的答案是不可能滿足要求的．將(a,b,c)變?yōu)?a-1,b-1,c+2)，在這個(gè)操作的前后每2個(gè)數(shù)的差除以3的余數(shù)是不變的．3堆石子的石子數(shù)均為14，則兩兩的差除以3的余數(shù)均為0，這和起始狀態(tài)不一致，因此不可能得到．

3 用“對(duì)應(yīng)原理”解決計(jì)數(shù)問題

在很多復(fù)雜的計(jì)數(shù)問題中，當(dāng)直接計(jì)數(shù)較為困難時(shí)，可以通過尋找對(duì)應(yīng)關(guān)系間接計(jì)數(shù)．

例3如圖1是4×4的正方形網(wǎng)格，以網(wǎng)格的格點(diǎn)(每個(gè)正方形的頂點(diǎn)稱格點(diǎn))為頂點(diǎn)的正方形一共有______個(gè)．

圖1 圖2

(第2屆睿達(dá)杯七年級(jí)數(shù)學(xué)智能競賽一試試題)

分析題中水平放置的正方形的個(gè)數(shù)容易得到，但不小心會(huì)忽視邊與網(wǎng)線不平行的情況，且這種“斜放”的情況又不易計(jì)數(shù)．事實(shí)上由圖2可知，這樣“斜放”的每個(gè)正方形對(duì)應(yīng)著一個(gè)水平放置的外接正方形．因此要對(duì)“斜放”的正方形進(jìn)行計(jì)數(shù),只要對(duì)水平放置的正方形進(jìn)行計(jì)數(shù)即可，當(dāng)然這里不是一對(duì)一的，一個(gè)邊長為n的水平放置的正方形內(nèi)接(n-1)個(gè)“斜放”的正方形,從而共有

16+9×(1+1)+4×(1+2)+1×(1+3)=50(個(gè))．

用這種方法可將問題推廣到一般情形，即在n×n的正方形網(wǎng)格中可得到符合要求的正方形的個(gè)數(shù)有：

12×(1+n-1)+22×(1+n-2)+…+

(n-1)2×(1+1)+n2×(1+0)=

4 用“估計(jì)、構(gòu)造”解決離散最值問題

對(duì)于離散最值問題,一般要從2個(gè)方面進(jìn)行解答：一方面要“估計(jì)”出這個(gè)最值，另一方面要能“構(gòu)造”出一個(gè)例子說明最值的存在．

例4有7個(gè)人進(jìn)行某項(xiàng)目的循環(huán)比賽，每2個(gè)人恰好比賽一場，且沒有平局．如果其中有3個(gè)人X,Y,Z，比賽結(jié)果為X勝Y，Y勝Z，Z勝X，那么我們稱X,Y,Z構(gòu)成一個(gè)圈．求在這7個(gè)人的比賽中，圈的數(shù)目的最大值．

(2008年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽浙江賽區(qū)復(fù)賽試題)

分析可通過圖形來表示題目的意思．如圖3，若3個(gè)人A,B,C的比賽結(jié)果構(gòu)成一個(gè)圈，則3個(gè)人勝負(fù)各一場，圖中表現(xiàn)為“箭頭一進(jìn)一出”．如圖4，若3個(gè)人A,B,C的比賽結(jié)果不能構(gòu)成一個(gè)圈，則3個(gè)人中必有1人勝2場,1人負(fù)2場，圖中表現(xiàn)為“箭頭二出”與“箭頭二進(jìn)”．

圖3 圖4

在表示3個(gè)人比賽結(jié)果的勝負(fù)圖中，把角兩邊“箭頭一進(jìn)一出”的角稱為“好角”，角兩邊“箭頭二出”或“箭頭二進(jìn)”的角稱為“壞角”，那么當(dāng)比賽結(jié)果構(gòu)成圈時(shí)圖中有3個(gè)“好角”(圖3)，不構(gòu)成圈時(shí)有1個(gè)“好角”、2個(gè)“壞角”(圖4)．

設(shè)某個(gè)人勝k(k=0,1,2,3,4,5,6)場，則他負(fù)6-k場，可產(chǎn)生k(6-k)個(gè)“好角”．

當(dāng)k=0,1,2,3,4,5,6時(shí)，

k(6-k)=0，5，8，9，8，5，0，

從而

k(6-k)≤9，

即每個(gè)人勝負(fù)構(gòu)成的“好角”不超過9個(gè)．

再設(shè)7個(gè)人共構(gòu)成n個(gè)圈，則“好角”共有3n+(35-n)個(gè),由

3n+(35-n)≤9×7=63，

得

n≤14．

另一方面,14個(gè)圈是可能的．

因此，圈的數(shù)目的最大值為14．

5 用“極端原理”巧妙解題

在所研究的對(duì)象中如果存在最大或最小的對(duì)象，可以通過對(duì)它們的考查來發(fā)現(xiàn)問題的關(guān)鍵所在．考查問題的極端情形,往往能起到意想不到的效果，因?yàn)闃O端情形能很好地暴露出問題的矛盾．

例5如圖5,在8個(gè)點(diǎn)處各寫一個(gè)數(shù)字,已知每個(gè)點(diǎn)處所寫的數(shù)字等于和這個(gè)點(diǎn)有線段相連的3個(gè)點(diǎn)處的數(shù)字的平均數(shù)，求代數(shù)式

的值．

(第13屆希望杯全國數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初二第二試試題)

圖5

a=b=d=e,

同理可得

c=f=g=h=a,

即

a=b=c=d=e=f=g=h,

[1] 恩格爾.解決問題的策略[M].舒五昌,馮志剛,譯.上海：上海教育出版社,2001.

[2] 周春荔.初中數(shù)學(xué)競賽中的思維方法[M].北京：中國物資出版社,2004.