張杰, 陸宇平, 徐志暉

(1.南京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院, 江蘇 南京 210016;2.中國人民解放軍 95168部隊(duì), 廣東 廣州 510620)

多操縱面受限控制直接分配新算法

張杰1, 陸宇平1, 徐志暉2

(1.南京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院, 江蘇 南京 210016;2.中國人民解放軍 95168部隊(duì), 廣東 廣州 510620)

針對(duì)多操縱面受限控制分配問題,提出了一種新的直接分配算法——平行邊搜索法。該算法通過坐標(biāo)變換和投影,將n(n≥3)維目標(biāo)的受限控制分配問題轉(zhuǎn)化為若干2維目標(biāo)的受限控制分配問題,在大大降低了計(jì)算復(fù)雜度的同時(shí),也改進(jìn)了其它直接分配算法只能分配3維目標(biāo)的缺陷。此外,新算法還放寬了控制效率矩陣中任意n列向量都線性無關(guān)的條件,并且對(duì)于所有情況都能得到最優(yōu)解。經(jīng)仿真驗(yàn)證,新算法與其它控制分配算法相比,具有更小的計(jì)算復(fù)雜度和分配誤差,能夠滿足實(shí)時(shí)性和精確性的要求。

計(jì)算復(fù)雜度; 可達(dá)力矩集; 控制分配; 飛行控制

引言

隨著現(xiàn)代飛機(jī)在機(jī)動(dòng)性、隱身性以及可靠性等方面的要求不斷提高,越來越多的飛機(jī)超越了常規(guī)設(shè)計(jì),操縱面不再局限于一個(gè)升降舵、一個(gè)方向舵和一對(duì)副翼,其數(shù)目有可能增加到十幾個(gè)甚至超過二十個(gè)。多操縱面受限控制分配就是研究如何有效地分配這些控制面以獲得所需要的力矩和力。

現(xiàn)階段比較成熟的控制分配方法有廣義逆法[1]、串接鏈法[1]、數(shù)學(xué)規(guī)劃法[2-3]和直接分配法[4-6]。其中,直接分配法是W C Durham 教授提出的一種基于可達(dá)目標(biāo)集的分配方法。該方法必須建立受限控制集到可達(dá)目標(biāo)集的幾何映射,并在控制的限制范圍內(nèi),搜索最優(yōu)控制向量,使其在期望的目標(biāo)方向上獲得最大的目標(biāo)向量,也就是確定目標(biāo)向量與可達(dá)目標(biāo)集邊界的交點(diǎn)。目前,直接分配算法主要有W C Durham本人提出的面搜索法[4]、對(duì)分邊搜索法[5]以及李衛(wèi)琪等人提出的相鄰面搜索法[6]。其中,面搜索法可以推廣到任意維目標(biāo)的受限控制分配問題,但計(jì)算復(fù)雜度較大,一般無法滿足實(shí)時(shí)性要求,而對(duì)分邊法和相鄰面法雖然具有較好的實(shí)時(shí)性,但都只能分配3維目標(biāo)。為此,本文提出了一種新的直接分配算法——平行邊搜索法,它不僅具有更小的計(jì)算復(fù)雜度,而且可以分配任意維目標(biāo)。

1 受限控制分配問題描述

由于實(shí)際舵機(jī)的能力以及空氣動(dòng)力學(xué)上的考慮,操縱面都有一定的偏轉(zhuǎn)限制,包括偏轉(zhuǎn)位置限制和偏轉(zhuǎn)速率限制,而速率限制在一個(gè)采樣周期內(nèi)又可轉(zhuǎn)化為位置限制,所以受限控制分配問題可以用如下數(shù)學(xué)形式描述:

(1)

本文提出的平行邊法,就是依據(jù)直接分配法的基本原理求解控制輸出ud(t)的。如圖1所示,Φ為某個(gè)3×4維的控制分配問題的可達(dá)目標(biāo)集,Vd為期望目標(biāo)點(diǎn),O為原點(diǎn)且在Φ內(nèi)部,如果不在,可以將Φ的中心移到原點(diǎn)處。此時(shí),射線OVd必與Φ的邊界交于某點(diǎn)V,設(shè)其坐標(biāo)為v,所對(duì)應(yīng)的控制量為u,則根據(jù)幾何關(guān)系可得:

v=avd(a≥0)

(2)

將式(1)代入式(2)化簡可求得控制輸出為:

(3)

圖1 可達(dá)目標(biāo)集Φ

由于u對(duì)應(yīng)著沿射線OVd方向所能獲得的最大目標(biāo)向量,所以u(píng)通常被稱為最優(yōu)解。顯然,直接分配法的關(guān)鍵之處就是尋找最優(yōu)解u,采用不同的方法尋找u,就產(chǎn)生了不同的直接分配算法,比如面搜索法[4]、對(duì)分邊搜索法[5]、相鄰面搜索法[6]以及本文給出的新算法——平行邊搜索法。

2 平行邊搜索法

為了簡化問題,首先假設(shè)矩陣B中任意n列向量都線性無關(guān),這是因?yàn)槿绻鸅中任意n列向量都線性無關(guān),則可達(dá)目標(biāo)集Φ邊界上的每一點(diǎn)都僅由受限控制集Ω邊界上的唯一一點(diǎn)映射得到[7],對(duì)于連續(xù)的期望目標(biāo),分配結(jié)果是連續(xù)的;否則,分配結(jié)果可能不連續(xù)。

此時(shí),如果取m個(gè)控制量中m-n+2個(gè)控制量的極限值,余下的n-2個(gè)控制量在約束范圍內(nèi)自由取值,則可確定受限控制集Ω的2m-n+2個(gè)相互平行的n-2維邊界,通過控制效率矩陣B,它們被映射為目標(biāo)空間中2m-n+2個(gè)相互平行的n-2維凸包,其中又有2(m-n+2)個(gè)是可達(dá)目標(biāo)集Φ的一組相互平行的n-2維邊界,并且它們與其它n-2維邊界構(gòu)成Φ的一圈首尾閉合的n-1維邊界,顯然在這圈n-1維邊界中有且僅有一個(gè)邊界可能與射線OVd相交。如圖1所示,豎線就是Φ的一組平行的1維邊界,它們與其它邊構(gòu)成Φ的一圈首尾閉合的2維邊界面,并且在這圈2維邊界面中,除了畫有斜線的邊界面外其余邊界面都不可能與OVd相交。

2.1 算法流程

依照上文給出的搜索原理,新算法的流程圖如圖2所示。

圖2 平行邊搜索法的流程圖

步驟如下:

(1)在Φ中選擇一個(gè)n-1維邊界圈當(dāng)作初始邊界圈;

(2)確定當(dāng)前邊界圈中那個(gè)唯一可能與射線OVd相交的n-1維邊界;

(3)確定射線OVd與該n-1維邊界是否相交,若相交則計(jì)算最優(yōu)解并停止搜索,否則確定下一個(gè)待搜索的邊界圈,重復(fù)步驟(2)～(3)。

2.2 算法優(yōu)化

由圖2可知,平行邊搜索法的計(jì)算復(fù)雜度與以下3個(gè)因素密切相關(guān):(1)初始邊界圈的選擇;(2)當(dāng)前邊界圈中唯一可能與射線OVd相交的n-1維邊界的確定;(3)搜索路徑的選擇。

顯然,上述3個(gè)因素中第1和第3兩個(gè)因素決定了平行邊法的迭代次數(shù),第2個(gè)因素決定了每次迭代的計(jì)算量。所以,本節(jié)主要從這3個(gè)因素出發(fā),探討如何優(yōu)化算法,盡量減小計(jì)算復(fù)雜度。

首先,對(duì)于第1個(gè)因素,考慮到在實(shí)際的飛行控制系統(tǒng)中,期望目標(biāo)是連續(xù)的,前后兩次采樣值相差不大,即當(dāng)前時(shí)刻的期望目標(biāo)通常在前一時(shí)刻的期望目標(biāo)附近,所以可以將前一時(shí)刻最后搜索的邊界圈當(dāng)作下一時(shí)刻的初始搜索邊界圈。

其次,對(duì)于第2個(gè)因素,為了快速確定當(dāng)前邊界圈中唯一可能與射線OVd相交的n-1維邊界,可以通過坐標(biāo)變換將Φ和OVd垂直投影到與邊界圈中那組平行的n-2維邊界相垂直的2維平面上,其投影分別記作Φ2與L2,而Φ2中與L2相交的1維邊界中就包含了確定n-1維特殊邊界所需要的信息。

最后,對(duì)于第3個(gè)因素,考慮到當(dāng)點(diǎn)V不在當(dāng)前邊界圈上時(shí),也很有可能在當(dāng)前n-1維的特殊邊界附近,所以點(diǎn)V更可能在除當(dāng)前邊界圈外包含特殊邊界的剩余n-2個(gè)邊界圈上。為了從這n-2個(gè)邊界圈中選擇一個(gè)在統(tǒng)計(jì)概率上更有可能的邊界圈當(dāng)作下一個(gè)待搜索的邊界圈,可以將點(diǎn)V與該n-1維特殊邊界的中心相連,其連線必與該特殊邊界的某個(gè)n-2維邊界相交,則點(diǎn)V更可能在包含該n-2維邊界的邊界圈上。這一點(diǎn)也可以從圖1中看出。

2.3 算法細(xì)節(jié)

在2.2節(jié)中,給出了平行邊法的一些優(yōu)化策略,包括如何選擇初始邊界圈,如何確定當(dāng)前邊界圈中唯一可能與射線OVd相交的n-1維邊界,如何確定下一個(gè)待搜索的邊界圈等,而本節(jié)主要給出它們的實(shí)現(xiàn)細(xì)節(jié)。

2.3.1坐標(biāo)變換

假設(shè)當(dāng)前邊界圈在約束范圍內(nèi)可自由取值的n-2個(gè)控制量的下標(biāo)為i1,i2,…,in-2,V1,V2為Φ中與之對(duì)應(yīng)的一組平行的n-2維邊界中某個(gè)n-2維邊界上的任意兩點(diǎn),其坐標(biāo)分別為v1,v2,則:

(4)

式中,bi(i=i1,i2,…,in-2)為B的第i列;λk為待定系數(shù)。

通過正交變換,將向量v12變換到新坐標(biāo)系中,使任意v12可由ε1,ε2,…,εn-2線性表示,其中ε1,ε2,…,εn為新坐標(biāo)系的單位正交基,則由εn-1和εn生成的2維平面必與該組相互平行的n-2維邊界垂直。本文采用Gram-Schmidt正交化的方法將向量組bi(i=i1,i2,…,in-2),vd,bq正交化求得新坐標(biāo)系的單位正交基和變換矩陣T=[ε1ε2…εn]T,其中vd為期望目標(biāo),bq為B中除bi之外的某一列。

2.3.22維搜索

在新坐標(biāo)系中將Φ和OVd投影到由εn-1和εn生成的2維平面上得到它們的Φ2與L2,其中Φ2為平行多邊形,L2為與εn-1正半軸相重合的線段,如圖3所示。

圖3 可達(dá)目標(biāo)集Φ在2維平面上的投影

為了確定Φ2中與L2相交的邊,可以首先確定Φ2中在εn軸右邊且離εn軸最遠(yuǎn)的一個(gè)頂點(diǎn)P1,設(shè)其對(duì)應(yīng)的控制量為u1,如果P1在εn-1軸上方,則從P1出發(fā)沿順時(shí)針方向依次確定Φ2的頂點(diǎn)直至找到Φ2中與εn-1正半軸相交的邊,反之,則從P1出發(fā)沿逆時(shí)針方向搜尋。

不妨設(shè)P1在εn-1軸上方,首先從P1點(diǎn)出發(fā)確定P2點(diǎn)。將u1中第k(k≠i1,i2,…,in-2)個(gè)元素取相反的極限值可得m-n+2個(gè)點(diǎn),它們與P1構(gòu)成的m-n+2條線段中斜率最大的就是Φ2中由頂點(diǎn)P1和P2構(gòu)成的邊,記作P1P2。這些線段的斜率可由下式求得:

(5)

設(shè)P2對(duì)應(yīng)的控制量為u2,若k=k1時(shí)斜率最大,u2k取與u1k相反的極限值;當(dāng)k≠k1時(shí),u2k=u1k。其中u1k,u2k分別表示u1,u2中的第k個(gè)元素。確定P2后,可以采用相同的方法確定P3。將u2中第k(k≠i1,i2,…,in-2,k1)個(gè)元素取相反的極限值得到m-n+1條線段,它們的斜率分別為:

(6)

不妨設(shè)k=k2時(shí)斜率最大,并按確定u2的方法確定u3。

從上面確定P2,P3的過程中可以發(fā)現(xiàn),將式(5)中m-n+2個(gè)gk從大到小排序,就可沿順時(shí)針方向依次確定Φ2除P1外剩余的m-n+2個(gè)頂點(diǎn),分別記作P2,P3,…,Pm-n+2。另外,當(dāng)P1在εn-1軸上方時(shí),Φ2中與εn-1正半軸相交的邊的斜率必大于等于零。所以只需將m-n+2個(gè)gk中大于等于零的部分從大到小排序,確定P2,P3,…,再依次計(jì)算這些點(diǎn)相對(duì)于εn軸的坐標(biāo)值y(Pk),若y(Pk-1)>0且y(Pk)<0,則Φ2中與εn-1正半軸相交的邊為Pk-1Pk。設(shè)與Pk-1Pk對(duì)應(yīng)的可在約束范圍內(nèi)自由變化的控制量序號(hào)為in-1,那么與OVd可能相交的n-1維邊界所對(duì)應(yīng)的可在約束范圍內(nèi)自由取值的控制量序號(hào)為i1,i2,…,in-2,in-1,剩余控制量的取值可從uk-1或uk中獲得。

當(dāng)P1在εn-1軸下方時(shí),可以采用類似的方法處理。

2.3.3計(jì)算交點(diǎn)

(7)

利用向量合成的方法,可以得到下式:

(8)

將式(7)代入式(8),化簡可得如下線性方程:

(9)

(10)

式中,μk為待定系數(shù)。又因?yàn)辄c(diǎn)Vc,V,P共線,所以:

(11)

將0≤μk≤1代入式(11)化簡可得:

|λk-0.5|≤|λs-0.5|

(k=1,2,…,n-1∩k≠s)

(12)

(13)

由上可得,|λs-0.5 |是|λk-0.5 |(k=1,2,…,n-1)中的最大值,依此可以確定s的值。此時(shí),若0≤λs≤1,則點(diǎn)V必在n-1維超長方體內(nèi),最優(yōu)解u和期望解ud可分別由式(13)和式(3)求得。反之,射線OVd更可能與控制量序號(hào)為i1,i2,…,in-1(不包含is)所對(duì)應(yīng)的n-1維邊界圈中的某個(gè)n-1維邊界相交,因此可將i1,i2,…,in-1(不包含is)作為下一個(gè)待搜索的邊界圈所對(duì)應(yīng)的可在約束范圍內(nèi)自由取值的控制量的序號(hào)。

2.4 算法改進(jìn)

為了簡化問題,新算法中默認(rèn)矩陣B中任意n列向量都線性無關(guān),但是在實(shí)際情況中,B可能不滿足這一條件,所以必須對(duì)算法加以改進(jìn)。

當(dāng)B不滿足條件時(shí),Φ中必有某個(gè)n-1維邊界由Ω中某個(gè)維數(shù)高于n-1維的邊界映射得到,這就使得某次2維搜索到的n-1維邊界可能由Ω的r(r>n-1)維的邊界映射得到,如果仍然按照2.3.3節(jié)中介紹的方法求解交點(diǎn)V,則會(huì)導(dǎo)致最優(yōu)解不唯一,并且對(duì)于連續(xù)的期望目標(biāo),分配結(jié)果可能不連續(xù)。此時(shí),可以首先利用2維搜索中獲得的信息求出交點(diǎn)V的坐標(biāo)v,然后將求解控制量u的問題轉(zhuǎn)化為期望目標(biāo)v,可達(dá)目標(biāo)集為該n-1維邊界的(n-1)×r維的控制分配問題,最后再次利用新算法求解u,這樣就能保證解的唯一性和連續(xù)性。

3 仿真驗(yàn)證

由于飛行控制系統(tǒng)是一個(gè)實(shí)時(shí)性系統(tǒng),所以對(duì)于任何一種控制分配算法而言,其計(jì)算復(fù)雜度是否滿足實(shí)時(shí)性要求是衡量算法優(yōu)劣的一個(gè)至關(guān)重要的因素。因此,本節(jié)旨在通過大量的隨機(jī)測試,以驗(yàn)證平行邊搜索法(PES)的計(jì)算復(fù)雜度,并與其它現(xiàn)存的一些典型分配算法進(jìn)行比較,包括對(duì)分邊搜索法(BES)[5]、再分配偽逆法(RPI)[1]和二次規(guī)劃法(QP)[3],其中對(duì)分邊法中最大對(duì)分次數(shù)限定為8次,二次規(guī)劃法中采用積極集法求解最優(yōu)解。

在MATLAB中編程實(shí)現(xiàn)各算法,并按如下實(shí)驗(yàn)條件評(píng)估它們的性能:隨機(jī)產(chǎn)生元素在-1和1之間的控制效率矩陣B,所有控制量的約束都設(shè)為-1和1。此外,由于再分配偽逆法和二次規(guī)劃法的迭代次數(shù)會(huì)隨著期望目標(biāo)的增大而增多,所以為了更科學(xué)地衡量二者的計(jì)算復(fù)雜度,在隨機(jī)產(chǎn)生的某目標(biāo)方向上分別取最大目標(biāo)的10%,30%,50%,70%,90%以及110%作為期望目標(biāo)。另外,考慮到在飛行控制系統(tǒng)中,期望目標(biāo)通常為3軸力矩指令和3軸力指令,所以本文只測試了目標(biāo)維數(shù)n在3～6之間時(shí)各算法的性能,由于篇幅限制,此處只給出了目標(biāo)維數(shù)是3和6時(shí)的測試結(jié)果。

圖4、圖5是各算法的最大和平均浮點(diǎn)運(yùn)算次數(shù)曲線。不難發(fā)現(xiàn),當(dāng)目標(biāo)維數(shù)n一定時(shí),平行邊法、對(duì)分邊法和再分配偽逆法的計(jì)算復(fù)雜度均與控制量數(shù)目呈線性關(guān)系,而二次規(guī)劃法的計(jì)算復(fù)雜度與控制量數(shù)目呈二次關(guān)系;另外,四種算法中,計(jì)算復(fù)雜度從小到大依次為平行邊法、再分配偽逆法、對(duì)分邊法以及二次規(guī)劃法,并且它們的增長速率也符合上述關(guān)系。表1和表2給出了各算法浮點(diǎn)運(yùn)算次數(shù)的最小二乘擬合,其中m為操縱面?zhèn)€數(shù),它們的擬合精度R2的值均大于0.984。表3給出了期望目標(biāo)在可達(dá)目標(biāo)集內(nèi)時(shí)各算法分配精度——相對(duì)誤差的數(shù)量級(jí),可以看出平行邊法具有最小的誤差,對(duì)分邊法由于最大對(duì)分次數(shù)的限制,導(dǎo)致某些情況下得不到最優(yōu)解,使最大誤差的數(shù)量級(jí)達(dá)到10-1,而再分配偽逆法由于不能正確分配整個(gè)可達(dá)目標(biāo)集,當(dāng)期望目標(biāo)接近可達(dá)目標(biāo)集邊界時(shí),最大誤差的數(shù)量級(jí)也達(dá)到了10-1。

圖4 n=3時(shí),各算法的浮點(diǎn)運(yùn)算次數(shù)曲線

表1n=3時(shí),各算法浮點(diǎn)運(yùn)算次數(shù)的最小二乘擬合

算法最大浮點(diǎn)運(yùn)算次數(shù)平均浮點(diǎn)運(yùn)算次數(shù)PES340m-80897m-157BES630m-97260m-299RPI562m-500171m+66QP364m2-4018m+13415142m2-1523m+5156

表2 n=6時(shí),各算法浮點(diǎn)運(yùn)算次數(shù)的最小二乘擬合

表3 各算法相對(duì)誤差的數(shù)量級(jí)

4 結(jié)束語

對(duì)于多操縱面受限控制分配問題,本文提出的直接分配新算法——平行邊搜索法,其浮點(diǎn)運(yùn)算次數(shù)與控制量數(shù)目呈線性關(guān)系,并且與其它控制分配算法相比,具有更小的計(jì)算復(fù)雜度和分配誤差,能夠滿足實(shí)時(shí)性和精確性要求。另外,新算法還放寬了控制效率矩陣中任意n列向量都線性無關(guān)的條件,在任何情況下都能得到最優(yōu)解,并且改進(jìn)了其它直接分配算法只能分配3維目標(biāo)的缺陷,對(duì)于目標(biāo)維數(shù)超過3維的控制分配問題,新算法也是有效的。

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[7] Durham W C.Attainable moments of the constrained control allocation problem [J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,1994,17(6):1371-1373.

(編輯：方春玲)

Anewmultipleconstrainedcontroldirectallocationalgorithm

ZHANG Jie1, LU Yu-ping1, XU zhi-hui2

(1.College of Automation Engineering, NUAA, Nanjing 210016, China;2.95168 Unit of the PLA, Guangzhou 510620, China)

This paper presents a new direct allocation algorithm named parallel edges searching algorithm for the solution of the multiple constrained control allocation problem. By coordinate transformation and projection, the algorithm transforms then-dimensional objective (n≥3) constrained control allocation problem into some two-dimensional objective constrained control allocation problems, and greatly reduces computational complexity as well as improves the limitation of other direct allocation algorithms which can only allocate 3-dimensional objective. In addition, the algorithm relaxes the restriction that anyncolumns of the controls effectiveness matrix are linearly independent, and returns optimal solution for any case. By simulation, the new algorithm has smaller computational complexity and distribution error compared with other control allocation algorithms and can meet the real-time and accuracy requirements.

computational complexity; attainable moments set; control allocation; flight control

V249.1

A

1002-0853(2012)05-0422-06

2011-09-27;

2012-02-27

國家自然科學(xué)基金資助(91016017)

張杰(1986-),男,江蘇揚(yáng)州人,碩士研究生,研究方向?yàn)橄冗M(jìn)飛行控制技術(shù)。