鄭興國， 朱婉捷， 夏成林 彭凱軍

（1.合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥 230009；2.廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廈門 361005）

帶形狀參數(shù)控制的三次B樣條曲線曲面的光順

鄭興國1， 朱婉捷2， 夏成林1彭凱軍1

（1.合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥 230009；2.廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廈門 361005）

三次B樣條曲線是一種廣泛應(yīng)用于計算機輔助幾何設(shè)計中的非常重要的曲線.本文在以曲線的最小應(yīng)變能作為衡量曲線光順性的基礎(chǔ)上，采用帶調(diào)節(jié)控制參數(shù)的方法分別對三次B樣條曲線和雙三次B樣條曲面進行了光順處理.由所提供的方法以及實例可以看出，本方法可在曲線曲面光順的基礎(chǔ)上通過修改參數(shù)大小以達到控制曲線曲面形狀的目的，且修改后的點的位置與原壞點的距離是由參數(shù)的大小控制決定的，這樣就使得我們的光順處理可以控制在數(shù)據(jù)測量的誤差范圍內(nèi).

B樣條曲線；B樣條曲面；應(yīng)變能；光順

1 引 言

首先介紹一下關(guān)于曲線是否光順的標準［3］：衡量曲線光順有好幾種標準，通常是建立一個最優(yōu)函數(shù)來衡量.人們經(jīng)常用曲線的二階導(dǎo)數(shù)的平方為基礎(chǔ)來建立函數(shù).過去也曾用曲線的曲率或高階導(dǎo)數(shù)來作為基礎(chǔ)建立函數(shù).實際應(yīng)用中，人們普遍接受和應(yīng)用的標準是最小應(yīng)變能，建立的函數(shù)是

其中κ是曲率，s為弧長參數(shù)，l為曲線長度.但這樣的表達式比較復(fù)雜，因此計算起來非常費時，實際應(yīng)用中一般用近似的能量函數(shù)來代替.

2 三次B樣條曲線的帶參數(shù)的光順

2.1 曲線光順方法.

設(shè)p（t）是插值于型值點列pi（i＝0，1，…，n）的三次均勻B樣條曲線，與pi對應(yīng)的參數(shù)為i，其控制點列為Vj（j＝0，1，…，n＋2），并設(shè)pj是壞點.

Vj－2，Vj－1，Vj，Vj＋1，Vj＋2為插值于pj－1，pj，pj＋1并滿足端點切失條件p′j－1，p′j＋1的三次B樣條曲線p（t）的控制點列，則有

壞點pj移動到新的位置pjg時，記pjg＝（p0，…，pj－1，pjg，pj＋1，…，pn），類似地，記pjg（t）是插值于型值點列pjg的三次均勻B樣條曲線.

一個函數(shù)f的近似能量定義為

2.2 數(shù)值例子

考察在只有一個孤立壞點的情況下的光順結(jié)果：

圖1 B樣條曲線的光順

如圖1所示，實線、點線、點虛和虛線分別表示原曲線以及σj＝10，100，1000時利用定理2.1進行光順后所得到的曲線.可以看出，隨著參數(shù)σj取值的不同，光順后所得到的曲線及其光順程度（應(yīng)變能變小）也是不同的.當σj＝10時，光順效果最好，但此時壞點的新位置與原壞點的距離相對較大，也即新位置與原壞點偏差較大.σj＝1000時，光順效果較差，但距離相對較小，也即新位置與原壞點偏差較小.σj＝100時光順效果和距離介于兩者之間.另外，公式（1.1）還可以重復(fù)迭代使用，只不過此時參數(shù)σj對原壞點與其新的位置的距離控制已變得比較復(fù)雜，所以在迭代過程中，要隨時注意距離誤差，以免超出限定誤差范圍.顯然，我們可以利用參數(shù)的取值大小進行在誤差范圍內(nèi)的曲線的形狀控制.誤差公式可由定理1.1推出

此方法也可很容易推廣到三次非均勻B樣條曲線上.

3 雙三次B樣條曲面的帶參數(shù)的光順

3.1 曲面光順原理［4－6］.

與曲線光順方法相似，我們希望通過調(diào)整壞點處的位置以求提高曲面的光順性.但對曲面上的點進行光順，不能僅修改曲面上的等參曲線和單根控制網(wǎng)格線.采用如下方法對雙三次B樣條曲面進行光順［4］：

對給定的雙三次B樣條曲面

如果過型值點pkl的u，v方向的兩條截面曲線都較為光順（即應(yīng)變能量較?。瑒t曲面在點pkl處較為光順.

3.2 曲面光順方法.

設(shè)S（u，v）是插值于型值點陣pij（i＝0，1，…，n；j＝0，1，…，m）的均勻雙三次B樣條曲面，即S（i，j）＝p.控制點陣為V（i＝0，1，…，n＋1，n＋2；j＝0，1，…，m＋1，m＋2），u，v方向的參數(shù)節(jié)點矢量為

并設(shè)已得到壞點為pkl（0≤k≤n，2≤l≤m－2）.

此時，與壞點及u，v方向有關(guān)的兩條截面曲線的型值點分別為pkj（j＝0，1，…，m）和pil（i＝0，1，…，n）.類似于定理4.1對這兩條曲線同時進行光順處理，使得這兩條曲線的能量和減小，得到新的數(shù)據(jù)點，用它代替壞點重新差值即可得到光順后的曲面.我們有如下定理：

定理3.1要使三次B樣條曲面S（u，v）在點pkl處的能量遞減，只需按照如下公式

其中σkl為控制參數(shù)，

Mu中型值點的導(dǎo)數(shù)為u向偏導(dǎo)數(shù)，Mv中型值點的導(dǎo)數(shù)為v向偏導(dǎo)數(shù).

移動壞點pkl到新的位置.

3.3 雙三次B樣條曲面光順的數(shù)值例子.

圖2（a）所示為一張原曲面，它由11×11個型值點差值而成，包含一個壞點.（b），（c）分別為當參數(shù)等于100和0時所得到的光順曲面.而（d）則為在（c）的基礎(chǔ)上再迭代一次所得結(jié)果，（e）為在（d）的基礎(chǔ)上再迭代七次所得結(jié)果.從圖中可以看出，當參數(shù)等于100時，光順效果較差，但此時原壞點與其新位置的距離也較小，也即新位置與原壞點偏差較小.而當參數(shù)等于0時，光順效果較好，但相應(yīng)地，偏差較大.另外，本方法也可迭代使用，在本例中迭代過程是收斂的，當參數(shù)取0且在第九次迭代之后圖形已經(jīng)穩(wěn)定如（e）圖.

圖2 雙三次B樣條曲面的光順

4 實際應(yīng)用中要注意的問題

通常我們用曲率圖來判斷應(yīng)該移動哪個點：曲率圖是曲率關(guān)于弧長或定義曲線的參數(shù)的圖形，曲率圖對曲線的形狀非常敏感.如果一個曲線有一個良好的曲率圖，那么我們認為這個曲線也就比較光順.所以，曲率圖被經(jīng)常用來判斷一個曲線的光順程度［7，8，9］.

［1］Kjellander J A P.Smoothing of cubic parametric spline［J］.CAD，1983，15（3）：175－179.

［2］Kjellander J A P.Smoothing of cubic parametric surface［J］.CAD，1983，15（5）：288－293.

［3］施法中.計算機輔助幾何設(shè)計與非均勻有理B樣條［M］北京：高等教育出版社，2001：96－106.

［4］Zhang Caiming，Zhang Pifu，Cheng Fuhua（Frank）.Fairing spline curves and surfaces by minimizing energy［J］.Computer Aided Design，2001，33（13）：913－923.

［5］龍小平.局部能量最優(yōu)法與曲線曲面的光順［J］.計算機輔助設(shè)計與圖形學(xué)學(xué)報，2002，14（12）：1109－1113.

［6］Farin G.Curves and surfaces for computer aided geometric design—apractical guide［M］.3rd ed.New York：Academic Press，1993.

［7］Hoschek J.Smoothing of curves and surfaces［J］.Comput.Aided Geom.Des.1985，2（1）：97－105.

［8］Renz W.Interactive smoothing of digitized point data，Comput.Aided Des，1982，14（5）：267－269.

［9］Sapidis N，F(xiàn)arin G.Automatic fairing algorithm for B－spline curves［J］.Comput.Aided Des.1990，22（2）：121－129.

The Fairing of Cubic B－Spline Curves

ZHENGXing－guo1，ZHUWan－jie2XIACheng－lin1，PENGKai－jun1
（1.School of Mathematics，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China；2.School of Mathematical Science，Xiamen University，Xiamen 3610054，China）

Cubic B－Spline curves are very important curves in the field of Computer Aided Geometric Design，which are widely used in practical applications.In this paper，which is based on the least bending energy for estimating the fairing of curves，the fairing of cubic B－Spline curves and bicubic B－Spline surfaces are discussed by the methods with control parameter.Through the methods and the examples in this paper，we can get the aim which is controlling the shapes of the curves and surfaces by modifying the value of parameter based on the fairing of curves and surfaces.What’s more，the distance between the position of the modified data points and it’s original position can be controlled by the parameter，so we can make the fairing in the control of the extent of the error in the surveying datas.

B－Spline curves；B－Spline surfaces；strain energy；fairing

O241.5

A

1672－1454（2012）04－0087－05

2010－01－08；［修改日期］2010－06－02

合肥工業(yè)大學(xué)科學(xué)研究發(fā)展基金（071004F）；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費專項資金（2012HGXJ0039）