萬小龍

(華中科技大學(xué) 哲學(xué)系， 湖北 武漢 430074)

【邏輯學(xué)】

現(xiàn)代模態(tài)邏輯的形式分析初步
——魔態(tài)羽翼的跨世界逃逸與“刑師”分析下的在劫難逃

萬小龍

(華中科技大學(xué) 哲學(xué)系， 湖北 武漢 430074)

現(xiàn)代模態(tài)邏輯其實是按一階邏輯公理和規(guī)則對經(jīng)典真值函數(shù)做分類研究。模態(tài)命題邏輯中任一個可能世界集W僅表示與某一公理模式相應(yīng)的一組二真值函數(shù)，相應(yīng)的可能世界間的關(guān)系R就是這組真值函數(shù)共有的一種集合性質(zhì)。任一公理模式在一框架內(nèi)有效，就是將屬于W的每個真值函數(shù)式按K-2分別依次代入該公理模式中的每一個“□”，使得形成一組經(jīng)典定理。

二分性；非真值函數(shù)；經(jīng)典二變元真值函數(shù)；模態(tài)公理模式；K-1；K-2

邏輯的本性(the nature of logic)是二分性，并通過不斷的形式化二分將繁雜的經(jīng)驗、超驗或先驗的東西(抽象的哲學(xué)和藝術(shù)、形象的文學(xué)及生活、高深的數(shù)學(xué)物理等科學(xué)理論、超越的上帝或大千世界等，乃至各種邏輯理論自身)明晰和簡化，并保持嚴(yán)密和可靠。任何集合P都可以二分為其子集p和非p。可以二分與不可以二分也仍是一種二分。

一、非真值函數(shù)的二分

無論y是否為x的函數(shù)，它至少總是與負(fù)y互為函數(shù)。這就是說任何被稱為非函數(shù)的東西至少是另一東西的函數(shù)。所謂“非真值函數(shù)”就是非真值的非函數(shù)、非真值的函數(shù)或真值的非函數(shù)。真值的非函數(shù)又可分為非二的真值的和二真值的非函數(shù)。本文僅討論二真值的非函數(shù)，即先把非真值函數(shù)二分為并非二真值的非函數(shù)的非真值函數(shù)和二真值的非函數(shù)，又把后者分為非一元的和一元的，再把后后者如下二分：

p的任一二真值一元非函數(shù)Hp，或者等值或者不等值于下表的16個真值函數(shù)中的一個。

表1 經(jīng)典二元函數(shù)真值表D=d(p，q)

二、一元算符二真值非函數(shù)

任何人當(dāng)然總是或者屬于或者不屬于認(rèn)可筆者的上述觀點的人。如果有人屬于“既屬于又不屬于”的人，那么他們不過是與不屬于“既屬于又不屬于”也即“或者屬于或者不屬于”的那些人構(gòu)成新的層次的“或者屬于或者不屬于”。從邏輯形式的角度看，所謂的對象語言與元語言的關(guān)系就可解釋為新層次是包括以舊層次作為肢命題的同一層次的復(fù)合命題。

本文僅研究二真值的模態(tài)命題。現(xiàn)代模態(tài)命題邏輯LP的語言好像是在經(jīng)典二真值的命題邏輯語言基礎(chǔ)上增加了并僅增加表示“必然”的“□”和對偶地表示“并非□并非”即“可能”的“◇”。但在筆者看來，“必然”、“實然”和“可能”這些“神馬”都是浮云。

一元算符二真值非函數(shù)Hp雖然不是p的真值函數(shù)，但它本身也是與q和p一樣僅是二真值的，因此總可以等值于某個二真值函數(shù)(所有的二真值函數(shù)窮盡了二真值的所有真值指派)，而任意二真值函數(shù)是或者包括或者不包括一個以p為一個變元的多變元的二真值函數(shù)。對于多于二元的聯(lián)接詞聯(lián)接的二真值函數(shù)，總是可以還原為某些二元聯(lián)接詞聯(lián)接的多變元的二真值函數(shù)。先看16個二變元的真值函數(shù)，顯然其中一變元p的四個真值函數(shù)已經(jīng)包括在內(nèi)：D1、D6、D11和D16。并且D7、D8、D9和D10也可以看做是以p為一變元的特殊多變元二真值函數(shù)。所以說，Hp在這個階段實際上總是等值于表1中16個真值函數(shù)之一。

有二元聯(lián)接詞相聯(lián)接的256個三變元函數(shù)可以看做是第三變元的真值指派對前面16個真值函數(shù)形成的新的組合排列，因此這時與每一個三變元函數(shù)等值的一元算符二真值非函數(shù)就可以看做是前面16個二真值非函數(shù)之間的256種兩兩疊置。依次類推，二元聯(lián)接詞相聯(lián)接的n變元函數(shù)(n是大于2的自然數(shù))就是16個二真值非函數(shù)之間的n-1重疊置。這樣，我們有初步結(jié)論：有且僅有16個一元算符二真值非函數(shù)Hp，它們分別等值于表1中16個真值函數(shù)。概括“二探”一文(參見文獻(xiàn)[5])中的一元算符真值表及其孿生，可得本文的表2。

表2 狹義一元算符真值表(二真值非函數(shù))

三、模態(tài)命題邏輯公理與系統(tǒng)的系統(tǒng)性分析

如果任一模態(tài)基本命題□p屬于16個Hp的集合，那么只要將16個真值函數(shù)分別代人模態(tài)公理即可求得。以最簡便又常用的T公理(□p→p)為例，很容易發(fā)現(xiàn)：

(1)T公理中的□p表示一組而非一個p的非真值函數(shù)；

(2)這一組p的非真值函數(shù)分別等值于真值函數(shù)D6、D12、D13和D16；

(3)進(jìn)一步，由于公理具有的二真值特性(表示蘊涵為真或推理有效)，T公理中的□p(在不包括疊置一元算符時)表示的非真值函數(shù)只能等值于真值函數(shù)D6、D12、D13或D16。

(4)T公理實際上表示并僅表示一組經(jīng)典命題邏輯的定理：

“二探”一文(參見文獻(xiàn)[5])中已發(fā)現(xiàn)，多變元的一元算符和疊置算符的語義有一點需注意，現(xiàn)改述如下：對于任一對Hp和Hp’來說，當(dāng)Hp=f(p，q)時，Hp’=f(p’，q’)而不是f(p’，q)。例如，當(dāng)H4p是p∨q時，H4s是s∨t。特設(shè)性的f(p’，q)形式對應(yīng)K-1，一般形式f(p’，q’)對應(yīng)K-2。K-1與K-2中的“□”均僅考慮二變元真值函數(shù)式，已足夠反映模態(tài)邏輯的基本性質(zhì)。例如p∧q∧r也是T公理中的□p，其實是疊置算符所形成。為了簡單明晰，下文先考慮不包括疊置算符形成的非真值函數(shù)。

模態(tài)命題邏輯LPK-2：在經(jīng)典命題邏輯基礎(chǔ)上增加并僅增加的符號“□”有且僅有明確的經(jīng)典意義：“□”與任意變元p組合形成的□p表示以p為一個變元而形成的16個二變元真值函數(shù)集(如表1)的一個子集。最大子集就是這16個真值函數(shù)集，最小的子集對于這16個真值函數(shù)是空集。容易算出總共有有限數(shù)量個不同的子集。模態(tài)公理就是在經(jīng)典命題邏輯語言外僅增添了“□”或它的對偶“◇”或它們的各種疊置的公理。由于公理的特性(永真)和其中任何一個命題串的“二真值性”，任何公理中的□p只能是至少等價于16個真值函數(shù)中的一個而不可能為“空”，所以不等價的模態(tài)公理的總數(shù)就是正好比上述子集的總數(shù)少一個。模態(tài)命題邏輯好像是一系列邏輯系統(tǒng)的總稱并且有且僅有WM個不等價的系統(tǒng)。不過，仔細(xì)分析發(fā)現(xiàn)：當(dāng)□p正好表示16個真值函數(shù)的集合時，這時的模態(tài)命題邏輯公理就是經(jīng)典命題邏輯的公理，相應(yīng)的模態(tài)系統(tǒng)就是經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)。而當(dāng)□p表示小于16個真值函數(shù)的集合時，這時的模態(tài)公理就是一組經(jīng)典命題邏輯的定理，所以相應(yīng)的模態(tài)系統(tǒng)仍是經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)?？傊B(tài)邏輯不過是經(jīng)典邏輯的成語。

本文暫不考慮一階謂詞邏輯LP’和相應(yīng)的模態(tài)謂詞邏輯LP’，但筆者認(rèn)為任何一階謂詞公式都可以用一個或一組經(jīng)典命題邏輯公式等價地表示。

四、對一些運算結(jié)果的分析

(一)K-1形式下的模態(tài)句法還原。

□p=f(p，r)，□q=f(q，r))，□□p=f(f(p，r)，r)；

K：︱—□(p→q)→(□p→□q)；4(傳遞)：︱—□p→□□p；q(對稱)：︱—p→□◇p，

O：︱—□(□p→p)，E(歐)：︱—◇p→□◇p,V：︱—□p；Tr：□p?p

T(自反)：︱—□p→p；M：︱—□◇p→◇□p，D(持續(xù))：︱—□p→◇p

第一步，考慮最基本的模態(tài)公理K，將16個經(jīng)典二元聯(lián)結(jié)詞依次代入K中的每個“□”，很容易發(fā)現(xiàn)這時的K公理是分別對16個經(jīng)典二元聯(lián)結(jié)詞都有效的。

第二步，K-1形式下，把16個經(jīng)典二元聯(lián)結(jié)詞依次、分別代人其他典型的9個模態(tài)公理中的每個“□”，不難得到下面的16張完整真值表(因為篇幅，略)和總表表3。

表3 10公理在K-1形式下公理模式有效性比較表(y表示有效)

表3中r公理就是經(jīng)典公理，K公理是對16個經(jīng)典二元聯(lián)結(jié)詞都有效的，但不難算出K-1情形下K系統(tǒng)中模態(tài)算子對于析取和合取都是等值分配的，這一點似乎不完全符合現(xiàn)代模態(tài)邏輯的經(jīng)典結(jié)果(參見文獻(xiàn)[1]第160-161頁)。K-1的模態(tài)邏輯雖然僅是“瘦身”的而非真的模態(tài)邏輯，但由于它簡單，能非常明晰地反映模態(tài)邏輯的最一般本性：模態(tài)算符“□”表示共有某種集合性質(zhì)的一組經(jīng)典真值函數(shù)式，模態(tài)公理表示一組經(jīng)典定理，所有的模態(tài)命題系統(tǒng)都等價于經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)。

(二)K-2形式下的模態(tài)句法還原。

K-2：□p=f(p，p1)，□q=f(q，p2))，□□p=f(f(p，p1)，p1’)。因為K-1是K-2的特設(shè)形式，而D、T、V和Tr是獨立于K-1和K-2的，所以只要考慮表3中余下的6個公理中有效的那些項。施反證法(因為篇幅，略)于6個模態(tài)公理，不是很難就能 算出表4的結(jié)果。

表4 10公理在K-2形式下公理模式有效性比較表(y表示有效)

對自然(或必然)化規(guī)則可以把N理解為把真值函數(shù)代入□p后的真值表的每一行都要符合“p為真時，□p為真”的條件。表4中的各個公理的結(jié)果加上N與現(xiàn)代模態(tài)邏輯經(jīng)典文本中的模態(tài)系統(tǒng)中僅按句法推出的結(jié)果相比較，沒有發(fā)現(xiàn)反例。不難發(fā)現(xiàn)，表4中各種公理的有效性之間的互推關(guān)系也符合現(xiàn)代模態(tài)邏輯的主要經(jīng)典結(jié)果(參見文獻(xiàn)[3]第126頁)：

(1)自返性?持續(xù)性。

(2)對稱性+傳遞性?歐性。

(3)(略)。

(4)自返性+歐性?對稱性。

(5)對稱性+歐性?傳遞性。

(6)對稱性+傳遞性?對稱性+歐性。

(7)對稱性+傳遞性+持續(xù)性?自返性+歐性。

(8)自返性+對稱性+傳遞性?自返性+歐性。

但顯然K公理不是對16個真值函數(shù)均有效的，至少對H4即p∨q(的0010這行)無效。

五、對現(xiàn)有模態(tài)邏輯體系的解釋

(一)雖然每個模態(tài)邏輯公理都不等價，但每個模態(tài)邏輯系統(tǒng)都是經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)加一組經(jīng)典命題邏輯中的定理，在基元意義上當(dāng)然還是經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)，所以都是等價的。因此說一個模態(tài)邏輯系統(tǒng)是另一個模態(tài)邏輯系統(tǒng)的擴(kuò)充在上述意義上總是正確的。

(二)由于在不同模態(tài)系統(tǒng)中有不同的模態(tài)公理，因此導(dǎo)致不同的模態(tài)公理中“□”表示的“必然”的邏輯意義不相同，雖然這些不同的公理還原為經(jīng)典定理的組合后，作為其組合成分的經(jīng)典定理都是等價的。這里不僅反映了“非經(jīng)典邏輯僅是經(jīng)典邏輯成語”的邏輯基元特性，而且揭示了整體論的形而上學(xué)起源：不同的整體由相同基元集合的不同子集形成。

(三)每個模態(tài)公理反映其中的□p作為一組由p為一變元形成的真值函數(shù)對p的同一種集合性質(zhì)。例如，LPK-2的T公理中□p表示且僅表示p、p∧q、p∧q和p∧p對p都具有自反的性質(zhì)。說明可能世界語義學(xué)中“T公理中的那一組可能世界之間具有自反性”是一種近似正確但不夠準(zhǔn)確的表述(顯然，p對p∧q并不具有自反性)。

(四)每個模態(tài)邏輯公理中的□p都表示了一組由p為一變元形成的數(shù)變元真值函數(shù)，這才是□p作為邏輯符號所反映的思維的形式意義。半形式化地可以把這一組真值函數(shù)(式)代表一集可能世界，或一堆臭皮囊，或一隊具有魔法的羽翼，甚至孫悟空的一群變身。筆者根本就無需知道“□”作為“必然”的自然意義是如何抽象為邏輯形式意義的歷史。

(五)LPK-2的必然化規(guī)則N存在才使得K-2形式下各種模態(tài)系統(tǒng)中各種公理與定理在真值語義中的可判定變得容易。但筆者根本就無需知道它究竟是誰讓它反應(yīng)何種集合性質(zhì)。

(六)在可能世界語義學(xué)中，大部分模態(tài)邏輯公理都與一個一階謂詞公式對應(yīng)，反之亦然。在筆者對模態(tài)邏輯的理解中，每一個模態(tài)邏輯公理都與一組命題邏輯定理對應(yīng)，反之亦然。一方面說明僅從對模態(tài)邏輯做半自然半形式理解的可能世界語義學(xué)出發(fā)，很難找到或無法找到它們的一一對應(yīng)；尤其當(dāng)涉及像全通性這樣的無特設(shè)性(即K-2形式的經(jīng)典二真值語義)一階公式時，就找不到對應(yīng)的模態(tài)命題邏輯公式了。

(七)“K公理對所有模型均有效”的證明沒有注意到K-2所反映的“模態(tài)算符的非完全可代入性”。f(p)如果表示p的一個真值函數(shù)，那么f(q)就表示q的同一個真值函數(shù)。但現(xiàn)在□p表示以p為一個變元形成的一個二變元的真值函數(shù)，那么□q表示的是與前一個二變元的真值函數(shù)僅有相同函數(shù)式的以q為一個變元形成的另一個二變元的真值函數(shù)。

(八)對模態(tài)命題邏輯的純句法研究依照自然推理演繹的方法，其實它隱含著經(jīng)典二真值語義，所以自然地使用了K-2形式，因此幾乎沒有錯誤結(jié)果。但因為不知一元算符的本性，，所以進(jìn)展緩慢。

六、結(jié)論

按照二分性，可以先把可能世界集二分成現(xiàn)實世界(用p或A還是w表示現(xiàn)實世界其實沒有區(qū)別)和并非現(xiàn)實世界：p和p，那么顯然p∨p和p∧p也是可能世界；再在p中找到一個子集q，把可能世界集p再二分成p的q和p的q，等等。

現(xiàn)代模態(tài)邏輯是對經(jīng)典真值函數(shù)做系統(tǒng)分類研究的經(jīng)典邏輯。句法上，模態(tài)命題邏輯中任一公理模式的任一“□p”都表示使得這一公理模式有效的那一組以p為一變元形成的經(jīng)典二真值函數(shù)，任一模態(tài)公理模式是且僅是一組經(jīng)典命題邏輯定理。語義上，使用經(jīng)典語義就已經(jīng)充分，但由于d(p，q)不是p的嚴(yán)格意義上的函數(shù)，所以模態(tài)“□”具有非完全可代入性，即遵照K-2而非K-1的形式?？赡苁澜缯Z義學(xué)大致曲折地反映了這種句法和語義的統(tǒng)一：一個可能世界w就是(映射)一個經(jīng)典二變元真值函數(shù)，一個世界集W就映射一組這樣的真值函數(shù)，相應(yīng)的可能世界間的關(guān)系R就是這組真值函數(shù)共有的一種集合性質(zhì)，關(guān)系真值賦值論沒有使用必要。W、R和K-2式經(jīng)典賦值V構(gòu)成一個框架。任一公理模式在一個框架內(nèi)有效，就是將屬于W的那一組真值函數(shù)式按K-2規(guī)則分別依次代入該公理模式中的每一個“□”，使得代入后形成一組經(jīng)典命題邏輯定理或一個一階謂詞邏輯定理。

對許多現(xiàn)代邏輯系統(tǒng)是否為經(jīng)典邏輯的認(rèn)識過程，可借用唐代禪師青原惟信的話來說明：“老僧三十年前未參禪時，見山是山，見水是水。及至后來，親見知識，有個入處：見山不是山，見水不是水。而今得個休歇處，依前見山只是山，見水只是水。”(《五燈會元》卷17)

[1] 杜國平.經(jīng)典邏輯與非經(jīng)典邏輯基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2] 徐明.符號邏輯講義[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2008.

[3] 李小五.模態(tài)邏輯講義[M].廣州：中山大學(xué)出版社，2006.

[4] 萬小龍.經(jīng)典命題邏輯聯(lián)結(jié)詞的泛函分析初探——一元算符是否可能窮盡[J].安徽大學(xué)學(xué)報：人文社會科學(xué)版，2011(6).

[5] 萬小龍，李福勇，田雪.一元算符邏輯理論二探——義高一尺，道高一丈[J].安徽大學(xué)學(xué)報：人文社會科學(xué)版，2012(3).

責(zé)任編輯：王榮江

B815.1

A

1007-8444(2012)03-0322-05

2012-03-20

國家留學(xué)基金項目(200635015)；國家社科基金項目(2007ZXC49)。

萬小龍(1964-)，教授，博士生導(dǎo)師，國家馬克思主義工程“科學(xué)技術(shù)哲學(xué)”首席專家,主要從事科學(xué)哲學(xué)和邏輯學(xué)研究。