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        淺析二次函數(shù)在高中階段的應(yīng)用

        2012-10-26 04:42:38史志紅
        中國校外教育 2012年11期
        關(guān)鍵詞:值域定義域一元二次方程

        ◆史志紅

        (河北省樂亭第二中學(xué))

        淺析二次函數(shù)在高中階段的應(yīng)用

        ◆史志紅

        (河北省樂亭第二中學(xué))

        一、進(jìn)一步深入理解函數(shù)概念

        初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義,進(jìn)入高中后在學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了映射,接著重新學(xué)習(xí)函數(shù)概念,主要是用映射觀點(diǎn)來闡明函數(shù),這時(shí)就可以用學(xué)生已經(jīng)有一定了解的函數(shù),特別是二次函數(shù)為例來加以更深認(rèn)識(shí)函數(shù)的概念。二次函數(shù)是從一個(gè)集合A(定義域)到集合B(值域)上的映射:A→B,使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)與集合A的元素X對(duì)應(yīng),記為(x)=ax2+bx+c(a≠0)這里ax2+bx+c表示對(duì)應(yīng)法則,又表示定義域中的元素X在值域中的象,從而使學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念有一個(gè)較明確的認(rèn)識(shí),在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號(hào)后,可以讓學(xué)生進(jìn)一步處理如下問題:

        類型Ⅰ:已知(x)=2x2+x+2,求(x+1)

        這里不能把(x+1)理解為x=x+1時(shí)的函數(shù)值,只能理解為自變量為x+1的函數(shù)值。

        類型Ⅱ:設(shè)(x+1)=x2-4x+1,求(x)

        這個(gè)問題理解為,已知對(duì)應(yīng)法則下,定義域中的元素x+1的象是x2-4x+1,求定義域中元素X的象,其本質(zhì)是求對(duì)應(yīng)法則。

        把所給表達(dá)式表示成x+1的多項(xiàng)式。

        二、二次函數(shù)的單調(diào)性,最值與圖象

        在高中階階段學(xué)習(xí)單調(diào)性時(shí),必須讓學(xué)生對(duì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c在區(qū)間(-∞,-b/2a]及[-b/2a,+∞)上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進(jìn)行嚴(yán)格的論證,使它建立在嚴(yán)密理論的基礎(chǔ)上,與此同時(shí),進(jìn)一步充分利用函數(shù)圖象的直觀性,給學(xué)生配以適當(dāng)?shù)木毩?xí),使學(xué)生逐步自覺地利用圖象學(xué)習(xí)二次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)單調(diào)性。

        類型Ⅲ:畫出下列函數(shù)的圖象,并通過圖象研究其單調(diào)性。

        首先要使學(xué)生弄清楚題意,一般地,一個(gè)二次函數(shù)在實(shí)數(shù)集合R上或是只有最小值或是只有最大值,但當(dāng)定義域發(fā)生變化時(shí),取最大或最小值的情況也隨之變化,為了鞏固和熟悉這方面知識(shí),可以再給學(xué)生補(bǔ)充一些練習(xí)。

        如:y=3x2-5x+6(-3≤x≤-1),求該函數(shù)的值域。

        二次函數(shù)的知識(shí),可以準(zhǔn)確反映學(xué)生的數(shù)學(xué)思維:

        類型Ⅴ:設(shè)二次函數(shù)g(x)=ax2+bx+c(a>0)方程g(x)-x=0的兩個(gè)根 X1,X2滿足0<x1<x2<1/a.

        (Ⅰ)當(dāng) X∈(0,x1)時(shí),證明 x<g(x) <x1.

        (Ⅱ)設(shè)函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x=x0對(duì)稱,證明x0<x2.

        解題思路:

        本題要證明的是x<g(x),g(x)<x1和x0<x2,由題中所提供的信息可以聯(lián)想到:①g(x)=x,說明拋物線與直線y=x在第一象限內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn);②方程g(x)-x=0可變?yōu)閍x2+(b-1)x+1=0,它的兩根為x1,x2,可得到x1,x2與a、b、c之間的關(guān)系式,因此解題思路明顯有三條①圖象法②利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系③利用一元二次方程的求根公式,輔之以不等式的推導(dǎo)?,F(xiàn)以思路②為例解決這道題:

        (Ⅰ)先證明x<g(x),令g(x)=g(x)-x,因?yàn)?x1,x2是方程 g(x)-x=0的根,g(x)=ax2+bx+c,所以能 g(x)=a(x-x1)(x-x2)

        因?yàn)?<x1<x2,所以,當(dāng) x∈(0,x1)時(shí),x-x1<0,x-x2<0得(x-x1)(x-x2)>0,又 a>0,因此 g(x)>0,即 g(x)-x>0.至此,證得 x<g(x)

        根據(jù)韋達(dá)定理,有x1x2=ca

        ∵ 0<x1<x2<1/a,c=ax1x2<x=g(x1),又 c=g(0)

        ∴g(0)<g(x1)

        根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),曲線y=g(x)是開口向上的拋物線。因此,函數(shù)y=g(x)在閉區(qū)間[0,x1]上的最大值在邊界點(diǎn)x=0或x=x1處達(dá)到,而且不可能在區(qū)間的內(nèi)部達(dá)到,由于g(x1)>g(0),所以當(dāng)x∈(0,x1)時(shí)g(x)<g(x1)=x1,

        即x<g(x)<x1

        (Ⅱ)略

        二次函數(shù),它有豐富的內(nèi)涵和外延。作為最基本的冪函數(shù),可以以它為代表來研究函數(shù)的性質(zhì),可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系,可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問題,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和綜合數(shù)學(xué)素質(zhì),特別是能從解答的深入程度中,區(qū)分出學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法解決數(shù)學(xué)問題的能力。

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