◆付 偉

(遼寧本溪市衛(wèi)生學校)

數(shù)列性質(zhì)的探究

◆付 偉

(遼寧本溪市衛(wèi)生學校)

若數(shù)列{an}是是等差數(shù)列，有性質(zhì):

從等差數(shù)列的通項公式不難證明這兩個性質(zhì)，但這僅僅是讓學生在表面上理解這兩個性質(zhì)，這樣的“傳道授業(yè)”，只是生硬地把知識呈給學生，告訴學生結(jié)果是什么，卻不能自然地融入到學生已有的認知結(jié)構(gòu)中。因此學生可能會在課堂上模仿運用，課后卻不會獨運用，更談不上靈活了。那么如何根據(jù)學生原有的知識與經(jīng)驗，設計自然的過程，體現(xiàn)學生對等差數(shù)列性質(zhì)的認識過程呢?在教學中我們就利用數(shù)軸探究數(shù)列的性質(zhì)進行了研究。

一、緣起

在中學數(shù)學里，數(shù)軸是常用的工具，它沒有直角坐標系那么豐富多彩，但它本身也是數(shù)形結(jié)合思想方法的體現(xiàn)。因為它的簡捷方便，使它成為數(shù)學解題中最親近的朋友。因為，在數(shù)軸上等距離地依次取點，與點對應的一列數(shù)便構(gòu)成了等差數(shù)列。

在數(shù)軸上任取一點A1，令對應的坐標為a1，然后向右(或向左)每相隔等距離，依次取點 A2，A3…An，并令對應的坐標為 a2，a3，a4，…，an，則得到的一列數(shù)a1，a2，a3，a4，…，an，組成等差數(shù)列，并且為遞增數(shù)列或遞減數(shù)列。若設公差為d則有a2－a1=d

于是，我決定利用數(shù)軸這位熟悉的朋友，通過問題引導學生的學習活動，這學生鋪設合理的認知臺階;讓學生自己去發(fā)現(xiàn)與分析數(shù)軸上這些等距離點的關(guān)系，從形的關(guān)系遷移得到數(shù)的關(guān)系，進而認識數(shù)列中項與項的關(guān)系，親身去感受、體驗新知識的形成過程，從而概括得到等差數(shù)列的性質(zhì)。

二、問題與探究

問題一:起點與其它所有點構(gòu)成的線段有怎樣的關(guān)系?

起點與其它點構(gòu)成的線段分別是 A1A2、A1A3、A1A4…A1An、A1An+1等。

探究1:起點對應的數(shù)a1與其它點對應的數(shù)之間有怎樣的關(guān)系?

因為數(shù)軸上兩點間的距離與坐標有如下的關(guān)系︱A1An︱=︱an－a1︱;由學生分析探討，得到起點對應的數(shù)a1與其它點對應的數(shù)之間也有下列關(guān)系:

從而得到等差數(shù)列的通項公式，既可以拓寬學生的視野，讓學生從形的角度理解通項公式，更可以激發(fā)學生發(fā)現(xiàn)與得到更多等差數(shù)列的性質(zhì)。

問題二:任意兩點間的線段的長度有什么特點嗎?

任意兩點構(gòu)成的線段可以是︱A2A4︱、︱A3A6︱、︱AmAn︱等，這些線段的長度分別滿足:

(注:由公差的定義，d的符號由后面項與前面項的差的符號決定，因此d的符號與an－am的符號一致。)

由此，得到等差數(shù)列任意兩項間的關(guān)系:an－am=(n－m)d

即:等差數(shù)列的任意兩項的差就是這兩項的序號的d倍。

移項得an=am+(n－m)and(其中m、n∈N*)

這是等差數(shù)列的一個重要遞推式。由這個遞推式，對于一個等差數(shù)列{an}，只要給定任

意一項an與公差d，不必去求解首項，可直接寫出該數(shù)列的通項。借助數(shù)軸，能使學生直觀理解這一性質(zhì)，加深記憶，真正掌握這個遞推式，也才能使學生在解題時信手拈來，靈活應用。

在學生思維的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)提問是讓學生自主探究的關(guān)鍵。以上關(guān)于數(shù)軸上點的問題的設計，目的在于讓學生通過觀察與思考去發(fā)現(xiàn)一些本來就存在的規(guī)律，進一步觀察，可以發(fā)現(xiàn)更高層次的規(guī)律。

問題三:從“等距離”思考，點與點之間有無其它特殊關(guān)系呢?

因為我們在數(shù)軸上所取的各相鄰點是等距離的，那么從“等距離”考慮，點與點之間有無其它特殊關(guān)系呢?任取點Ak，則點Ak前后兩點分別為Ak－1與 Ak+1，且點 Ak為線段 Ak－1Ak+1的中點，即 Ak－1與 Ak+1關(guān)于 Ak對稱;進一步可以發(fā)現(xiàn)關(guān)于點Ak對稱的點有許多對，它們分別在點Ak的兩側(cè)，且與點 Ak等距離。例如:Ak－2與 Ak+2，Ak－3與 Ak+3，…，它們滿足:

在這個過程中，學生發(fā)現(xiàn)，幾乎所有的點都可以作為另外兩點的對稱中心(除了起點與最末的點)幾乎所有的點都能找到關(guān)于該點對稱的點。

這種發(fā)現(xiàn)激發(fā)了學生的興趣，原來不斷地探索，一些規(guī)律就在不經(jīng)意間找到了。

探究3:剛才的發(fā)現(xiàn)能否遷移到數(shù)列呢?

鑒 于 前 面 的 經(jīng) 驗，由︱Ak－1Ak︱=︱AkAk+1︱得︱A1Ak︱－︱A1Ak－1︱ = ︱A1Ak+1︱ － ︱A1Ak︱，

即 2︱A1Ak︱ = ︱A1Ak－1︱ + ︱A1Ak+1︱，

把上面等式轉(zhuǎn)化成對應的數(shù)的等式，可得

同理可得2ak=ak－2+ak+2;

觀察等式的特征，其中的下標滿足關(guān)系

若取k=3，則應有2 a3=a2+a4=a1+a5。

顯然，由通項公式容易證明等式成立。

繼續(xù)探討，k=5，是否有2 a5=a1+a9=a2+a8=a3+a7=a4+a6?

探究4:由以上結(jié)論，能否推廣到一般呢?

由探究3，學生能自如地寫出下列結(jié)論:

此時，很多學生對等差數(shù)列中即將出現(xiàn)的又一個特殊性質(zhì)也是望眼欲穿，雖然有的學生還不會正確地表達出來，但差不多是呼之即出:

若 m、n、p、q 為整數(shù)，且滿足 m+n=p+q，則對應的以 m、n、p、q 為下標的項應滿足關(guān)系式an+am=ap+aq。

三、后記

經(jīng)歷了從形到數(shù)，從特殊到一般的轉(zhuǎn)化，學生對這個性質(zhì)的理解是水到渠成，而且，對這個性質(zhì)與眾不同的對稱特點印象深刻，于是可以很自然地稱之為數(shù)列的對稱性。數(shù)列的對稱性揭示了數(shù)列內(nèi)在的規(guī)律，顯示了數(shù)學的簡潔美。

［1］高中數(shù)學課程標準教師讀本.華中師范大學出版社，2003，10.