肖海燕

（湖北第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院，湖北 武漢 430205）

拍賣這種交易方式有著悠久的歷史。古往今來(lái)，被拍賣的物品也形形色色，從古玩字畫(huà)到日常用品，從農(nóng)產(chǎn)品到海鮮、政府債券、營(yíng)業(yè)執(zhí)照和電波頻率等各種有形無(wú)形的商品無(wú)所不包。最近幾年，拍賣被用來(lái)出售政府資產(chǎn)、電信執(zhí)照以及電力市場(chǎng)的產(chǎn)品，引起了人們的關(guān)注。因特網(wǎng)和電子商務(wù)的發(fā)展，使得網(wǎng)絡(luò)拍賣也日漸興盛，不但出現(xiàn)了專業(yè)的拍賣網(wǎng)站，許多交易也采用拍賣的方式。從廣義上理解，拍賣是市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)價(jià)格均衡機(jī)制及資源配置的內(nèi)在過(guò)程和本質(zhì)機(jī)理；從狹義上理解，拍賣是有一定適用范圍及特殊規(guī)定的一種重要的國(guó)際貿(mào)易形式。

拍賣理論的研究在國(guó)外已經(jīng)發(fā)展到成熟的階段。1961年VICKREY［1］提出了獨(dú)立私有價(jià)值下的基本拍賣模型，發(fā)現(xiàn)密封一價(jià)拍賣和密封二價(jià)拍賣下的期望收益相同。1981年RILEY和SAMUELSON［2］對(duì)對(duì)稱獨(dú)立私有價(jià)值模型做了詳細(xì)分析，得出了收益等價(jià)性定理，并說(shuō)明VICKREY的結(jié)論具有一般性。這兩篇文章成為隨后其他學(xué)者研究拍賣理論的奠基石。1976年VICKREY提出了對(duì)4種基本拍賣模型的劃分，在基本模型框架內(nèi)對(duì)競(jìng)買者行為進(jìn)行了詳細(xì)的探討。隨后，研究者逐漸放松基本模型內(nèi)各種假設(shè)，包括風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避、競(jìng)買者不對(duì)稱、全支付拍賣［3］、競(jìng)買者信息相互影響和競(jìng)買者進(jìn)入成本等，如MILGROM和WEBER［4］在競(jìng)買者信息相互影響下得出一定的序關(guān)系，并對(duì)保留價(jià)和入場(chǎng)費(fèi)的引入進(jìn)行了討論。VIJAY［5］討論了一價(jià)全支付拍賣和二價(jià)全支付拍賣，并對(duì)一價(jià)拍賣、二價(jià)拍賣、一價(jià)全支付拍賣和二價(jià)全支付拍賣4種形式進(jìn)行了收益比較，得出一定的序關(guān)系。后來(lái)許多學(xué)者在有效性［6］、非對(duì)稱［7］、共謀環(huán)［8］、多物品拍賣［9－10］、多屬性拍賣［11－12］和序貫拍賣［13］領(lǐng)域做了許多工作。

在實(shí)際拍賣操作中賣方往往需要委托第三方（拍賣行）對(duì)物品進(jìn)行拍賣，拍賣行對(duì)成交的拍賣品收取傭金，一般由中標(biāo)者支付。李壽德等［14］建立了基于預(yù)算與傭金約束的排污權(quán)關(guān)聯(lián)價(jià)值拍賣模型；王彥等［15］考慮了在風(fēng)險(xiǎn)中性下，傭金收取對(duì)拍賣結(jié)果的影響。實(shí)際上風(fēng)險(xiǎn)中性是當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型效用函數(shù)u（x）=x時(shí)的一種特殊情況，因此筆者在此基礎(chǔ)上考慮在投標(biāo)者為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型的對(duì)稱獨(dú)立私有價(jià)值（SIPV）模型下，傭金收取對(duì)拍賣結(jié)果的影響。

1 密封二價(jià)拍賣

設(shè)拍賣方拍賣一個(gè)不可分割的物品，有N個(gè)買方對(duì)該物品感興趣，并假設(shè)每個(gè)投標(biāo)者都為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型，具有相同的效用函數(shù)u（x），滿足u（0）=0，u'＞0，u″＜0，且對(duì)該物品的估值為 Xi，i=1，2，…，N。對(duì)于買方來(lái)說(shuō)，只有他自己知道Xi的大小，賣方及其他買方都不知道，但他們會(huì)認(rèn)為Xi是［0，ω］上的概率分布函數(shù) Fi（xi），密度函數(shù)fi（xi）為隨機(jī)變量?，F(xiàn)假設(shè)所有投標(biāo)者是對(duì)稱的，即?x∈［0，ω］，F(xiàn)i（x）=Fj（x）=F（x），i=1，2，…，N，j=1，2，…，N，拍賣行按成交價(jià)的某個(gè)比例k收取傭金。以上所有假設(shè)對(duì)于買方、賣方及拍賣行來(lái)說(shuō)是共識(shí)。

在私人估價(jià)為Xi的情況下，投標(biāo)者策略出價(jià)bi使其期望效用最大，由于各投標(biāo)者私人信息各不相同，從而估價(jià)各不相同，每個(gè)投標(biāo)者會(huì)把對(duì)方的出價(jià)策略視為一個(gè)函數(shù) βj（xj），xj∈［0，ω］，由對(duì)稱性可知，?x∈［0，ω］，βi（x）=βj（x）=β（x）。該博弈問(wèn)題的均衡解為策略{β*（x1），β*（x2），…，β*（xN）}，使得每個(gè)投標(biāo)者i在其他人的出價(jià)為β*（xj）時(shí)出價(jià)β*（xi）為最優(yōu)。一般情況下，均假設(shè)β（x）是單調(diào)遞增的。

由對(duì)稱性，考慮投標(biāo)者1，Y1=Xj為除第1個(gè)投標(biāo)者以外的其余N－1個(gè)投標(biāo)者估值中的最大者，則隨機(jī)變量Y1的分布函數(shù)為G（x）=F（x）N－1，密度函數(shù)為 g（x）=G'（x）。投標(biāo)者 1的私人估價(jià)為x，報(bào)價(jià)為β（z）的期望效用為:

即 u［x－（1+k）β（x）］=0，由 u（0）=0，且u'＞0，可推出:

（1）賣方的期望收益為:

式中:e（X）為SPIV模型二價(jià)拍賣機(jī)制下的期望支付；Y（N）2為私人估值X1，X2，…，XN的第二高值。

（2）拍賣行的期望收益為:

（3）投標(biāo)者的期望效用為:

由式（1）～式（4）可得兩個(gè)結(jié)果。

（1）SIPV模型下，投標(biāo)者的均衡出價(jià)隨著傭金比例k的提高而減少，但是其期望效用與k無(wú)關(guān)；賣方的期望收益隨著傭金比例k的增加而降低；拍賣行的期望收益隨著k的增加而增加。

（2）SIPV模型下，由于需支付一定比例的傭金，投標(biāo)者出價(jià)會(huì)更謹(jǐn)慎；從期望收益的角度來(lái)看，投標(biāo)者并沒(méi)有因?yàn)閭蚪鹬Ц稖p少期望效用，而是賣方的期望收益減少了，減少的部分正好是拍賣行獲得的期望收益。

2 密封一價(jià)拍賣

同樣地，考慮投標(biāo)者1，私人估價(jià)為x，報(bào)價(jià)為α［z］，其期望效用為:

π =G（z）u［x － （1+k）α（z）］由于在對(duì)稱均衡處必有z=x，從而有必要條件=0，即:

令 B（x）=（1+k）α（x），則式（6）變?yōu)?

可以看出式（7）的解B（x）與k無(wú)關(guān)，且容易證明B（x）正好是SPIV模型下無(wú)傭金提成時(shí)的均衡出價(jià)。

（1）賣方的期望收益為:

（2）拍賣行的期望收益為:

（3）投標(biāo)者的期望效用為:

3 結(jié)論

在投標(biāo)者為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型的情況下，將傭金提成引入拍賣理論中，在對(duì)稱獨(dú)立私有價(jià)值情況下進(jìn)行討論，可以得出以下結(jié)論:傭金比例k越高，則投標(biāo)者報(bào)價(jià)越低，賣方的期望收益越少，拍賣行的期望收益越大，投標(biāo)者的期望效用與k無(wú)關(guān)。

因此在實(shí)際拍賣中，投標(biāo)者不用為傭金比例的高低擔(dān)心，傭金比例越高，投標(biāo)人對(duì)物品的評(píng)價(jià)會(huì)降低，最后付給賣方的價(jià)格也會(huì)降低。投標(biāo)者為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型情況下，有待進(jìn)一步研究的問(wèn)題是:①在獨(dú)立私有價(jià)值傭金收取模型下，一價(jià)、二價(jià)拍賣期望收益比較；②在關(guān)聯(lián)價(jià)值模型下傭金收取對(duì)拍賣的影響。

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