趙 洋 梁海泉 張逸成

（同濟大學(xué)電氣工程系 上海 201804）

1 引言

在電化學(xué)超級電容器簡稱超級電容器，是一種新型的電能存儲裝置，其工作原理有別于傳統(tǒng)電容器。因其具有功率密度大、充放電效率高、循環(huán)壽命長、使用溫度范圍寬以及環(huán)保等優(yōu)點而受到研究人員的廣泛重視。

超級電容器的特性介于蓄電池和普通電容器之間，與蓄電池相比超級電容器具有更高的功率密度和充放電效率，與傳統(tǒng)電容器相比超級電容器的能量密度非常大。利用超級電容器功率密度高的特點，將其與蓄電池或燃料電池等高能量密度存儲器件配合使用構(gòu)成混合儲能系統(tǒng)是當(dāng)前研究的熱點，在混合儲能系統(tǒng)中超級電容器主要是作為高功率能量存儲裝置，它可以在極短的時間內(nèi)吸收和釋放相當(dāng)大的能量，從而延長電池的使用壽命[1-2]，其應(yīng)用領(lǐng)域主要涉及電動汽車[3]、電壓補償[4-5]和制動能量回收[6]等方面。此外，將超級電容器單獨作為能量存儲裝置在電子消費類產(chǎn)品方面也有比較廣闊的應(yīng)用前景。

隨著超級電容器制造工藝與制備技術(shù)水平的不斷提高，其應(yīng)用場合將會越來越廣泛。如何優(yōu)化超級電容器的使用，對其能量存儲進行合理控制將是未來研究的重點。因此，建立一個能精確反映超級電容器實際工作特性的模型對于超級電容器的合理使用、性能優(yōu)化及系統(tǒng)仿真等研究領(lǐng)域具有重要的研究意義。本文針對超級電容器建模問題進行詳細(xì)分析，綜述了國內(nèi)外研究人員提出的各種超級電容器模型，詳細(xì)分析比較了各類模型的優(yōu)缺點，對其中的等效電路建模方法進行了實驗驗證并深入討論了實驗結(jié)果和模型結(jié)構(gòu)，最后展望了未來超級電容器建模研究的發(fā)展方向。

2 超級電容器基本原理

超級電容器內(nèi)部物理結(jié)構(gòu)如圖1所示。其基本工作原理是將電荷存儲于內(nèi)部多孔電極和電解液形成的雙電層內(nèi)。由于多孔電極的表面積非常高（如活性炭電極可達(dá)3 000m2/g以上），且雙電層厚度一般為0.5nm以下，根據(jù)電容器計算式（1）可知，因此其電容量遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)電容器[7]

式中，C為電容值；ε0為真空介電常數(shù)；ε為相對介電常數(shù)；A為雙電層面積；d為雙電層厚度。

圖1 超級電容器物理結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Physical structure of a supercapacitor

根據(jù)超級電容器使用的電極材料，電解液種類以及在儲能過程中是否發(fā)生化學(xué)反應(yīng)，可將超級電容器分為不同類型[8]，具體分類如表所示。不同類型的超級電容器在使用時有不同的特點，其中采用有機電解液的超級電容器單體端電壓比較高（2.5V以上），其內(nèi)部的等效串聯(lián)電阻也比較大，這類超級電容器可以作為能量型器件使用；而采用無機電解液的超級電容器單體端電壓比較低（2V以下），其等效串聯(lián)電阻也比較低，適合做功率型器件使用。隨著超級電容器研究水平的不斷發(fā)展，超級電容器的端電壓不斷提高，而其時間常數(shù)（電容值和內(nèi)部等效串聯(lián)電阻的乘積）不斷減小，這種使用區(qū)別將越來越小。雙電層型超級電容器因其使用過程中基本沒有化學(xué)反應(yīng)發(fā)生，其充放電過程可認(rèn)為是完全鏡像的，因此其使用壽命很高，理論可達(dá)100萬次以上。而贗電容超級電容器和混合型超級電容器在使用過程中有化學(xué)反應(yīng)發(fā)生，其充放電過程不是完全可逆的，而且深放電會損壞金屬電極[8]，因此其循環(huán)壽命比較低（10萬次以下）。

表 超級電容器分類Tab. Classification of supercapacitors

3 超級電容器建模研究現(xiàn)狀與分析

模型是用來描述系統(tǒng)的運動規(guī)律，是分析系統(tǒng)和預(yù)報，控制系統(tǒng)行為特性的工具。建立實際系統(tǒng)的模型時，存在著精確性和復(fù)雜性這一對矛盾，找出這兩者的折中解決辦法是建立實際系統(tǒng)模型的關(guān)鍵[9]。根據(jù)建模的基本原理和超級電容器的工作特性，國內(nèi)外學(xué)者針對超級電容器建模問題做了大量研究工作，建立了反應(yīng)其不同特性的數(shù)學(xué)模型。

3.1 超級電容器雙電層模型

雙電層模型是最早提出的超級電容器模型，它從超級電容器存儲電荷的物理原理出發(fā)建立數(shù)學(xué)模型[10-12]。主要包括以下三種模型：

3.1.1 Helmholtz 雙電層模型

Helmholtz于1853年最先發(fā)現(xiàn)了在固體導(dǎo)體和液體離子導(dǎo)體界面的電容特性，并于1874年提出雙電層模型。Helmholtz認(rèn)為電荷是均勻分布在電極和電解液界面的兩端，如圖2a所示。其雙電層的表面電容由式（2）計算

式中，ε為溶液介電常數(shù)；d為雙電層的厚度。

由于電解液的導(dǎo)電性差，因而在電解液一側(cè)的電荷不可能是均勻分布的。根據(jù)該模型計算得到的電容值偏大。但該模型用直觀簡單的方式表明了超級電容器的儲能原理，是超級電容器經(jīng)典的物理模型。

圖2 超級電容器雙電層模型Fig.2 Double layer model of supercapacitor

3.1.2 Gouy和Chapman 雙電層模型由于雙電層模型的電容依賴于其端電壓的變化，為描述這種關(guān)系Gouy于1910年提出了溶液側(cè)電荷分散分布的模型，Chapman于1913年對該模型進行了詳細(xì)的數(shù)學(xué)分析。該模型考慮了電荷在電解液一側(cè)的空間分布情況，該層也稱為擴散層。其模型結(jié)構(gòu)圖如圖2b所示。該模型的雙電層電容由式（3）計算

式中，z是電解液離子化合價；q是元電荷；uT是溫度T

下的熱電勢；n0是熱平衡時的離子濃度；ψ0是表面電位。

根據(jù)該模型計算出的電容值仍比實際值偏大，其原因在于該模型將離子假設(shè)成點電荷，即可以無限接近電極電解液界面。

3.1.3 Stern和Grahame雙電層模型

1924年，Stern在Gouy和 Chapman雙電層模型的基礎(chǔ)上提出了改進模型，其結(jié)構(gòu)圖如圖 2c所示。Stern認(rèn)為整個電極與溶液界面的雙電層由緊密層和擴散層兩部分構(gòu)成，在靜電作用和粒子熱運動的作用下，溶液中的離子電荷一部分吸附在電極表面，形成緊密雙電層，即雙電層電容可以看作是由緊密層電容和擴散層電容串聯(lián)構(gòu)成。Grahame于1947年進一步建立了金屬-溶液界面模型，他將緊密層又細(xì)分為內(nèi) Helmholtz層和外 Helmholtz層兩層。該模型的雙電層電容由式（4）計算

式中，Cc是緊密層電容；Cd是擴散層電容。

以上三種超級電容器雙電層模型的作用主要是計算雙電層電容值，這類模型不能反映超級電容器充放電過程的動態(tài)過程，因此不適用于對超級電容器進行動態(tài)特性分析和系統(tǒng)仿真的應(yīng)用場合。

3.2 多孔電極傳輸線模型

超級電容器多孔電極和電解液構(gòu)成的兩相界面是空間分布的，因此超級電容器不能用一個電容器來描述，而需要用一個復(fù)雜的電阻和非線性電容構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)來描述超級電容器多孔電極。傳輸線模型[11,13]模擬分布的雙電層電容和電阻，其中每個孔可以等效成多個電容電阻分支的并聯(lián)。結(jié)合超級電容器的實際物理結(jié)構(gòu)可以建立其多孔電極傳輸線模型，如圖3所示。該模型將超級電容器的兩個多孔電極用兩個傳輸線模型描述，正負(fù)電極之間由隔膜電阻連接。該模型準(zhǔn)確地描述了超級電容器的物理結(jié)構(gòu)和工作原理，但是模型中的參數(shù)繁多，參數(shù)值的計算非常復(fù)雜，數(shù)學(xué)表達(dá)式繁冗，不方便實際應(yīng)用，一般只用于理論分析。

圖3 多孔電極傳輸線模型Fig.3 Transmission line model for porous electrode

3.3 等效電路模型

這類模型是實際應(yīng)用最多的模型，其利用基本電路元件（電阻、電容和電感）來模擬超級電容器的工作特性，方法簡單直觀，便于分析計算及模型仿真。超級電容器的等效電路模型主要有以下幾種：

3.3.1 經(jīng)典等效電路模型

超級電容器的經(jīng)典等效電路模型[14,15]如圖4所示，其中ESR是等效串聯(lián)電阻，EPR是等效并聯(lián)電阻，C是理想電容,該模型是超級電容器充放電過程的一階近似。在快速充放電和大功率應(yīng)用場合，經(jīng)典等效電路模型的精度較高。該模型具有模型結(jié)構(gòu)簡單，參數(shù)辨識容易等優(yōu)點，在實際儲能系統(tǒng)設(shè)計和分析中應(yīng)用最多。但是在長時間充放電和靜置的情況下，模型仿真精度不高。

圖4 超級電容器經(jīng)典等效電路模型Fig.4 Classical equivalent circuit model of the supercapacitor

3.3.2 梯形電路模型

超級電容器梯形電路模型[16-18]如圖5所示。該模型采用RC網(wǎng)絡(luò)的形式模擬超級電容器的分布參數(shù)特性，模型參數(shù)通過阻抗譜分析確定。該模型在比較寬的頻率范圍內(nèi)可以有比較高的擬合精度，其本質(zhì)是對超級電容器的充放電曲線進行高次擬合，擬合的階次可根據(jù)模型精度要求確定。階次越高，模型精度越高，但相應(yīng)的模型參數(shù)也越多，參數(shù)辨識會很復(fù)雜。文獻[18]針對這類模型提出了根據(jù)超級電容器實際工作的頻率范圍進行模型降階處理的方法。根據(jù)該理論，如果超級電容器工作在低頻場合，那么3階模型就可以滿足建模的精度要求。

圖5 超級電容器梯形電路模型Fig.5 Ladder circuit model of the supercapacitor

3.3.3 多分支RC參數(shù)模型

多分支 RC模型[19-21]的形式與梯形電路模型的形式相似，與梯形電路模型不同的是，該模型的每1分支有不同的時間常數(shù)，即在充放電過程的不同時間段，每個分支單獨起作用。如2分支模型是由快速充放電分支和慢速充放電分支組成，其模型結(jié)構(gòu)圖如圖 6所示。圖中R1代表等效串聯(lián)內(nèi)阻；C1代表快速分支，主要描述超級電容在充放電時的外特性，且C1為可變電容器，考慮了電容和電壓的依賴關(guān)系；R2和C2構(gòu)成慢速分支，用來描述充放電結(jié)束后超級電容器內(nèi)部電荷重分配現(xiàn)象。此類模型分支數(shù)可以隨仿真精度的提高而增加。考慮到模型復(fù)雜度和仿真精度的矛盾，一般也采用3分支模型。該模型的優(yōu)點是考慮了電容和電壓的依賴關(guān)系，比較好的描述了超級電容器內(nèi)部電荷充分配的過程，但是模型的缺點也很明顯，主要是每一分支的時間常數(shù)確定具有隨意性，過分依賴于超級電容器的使用工況和操作者的實際經(jīng)驗[22,23]，而且其建模思路是每個分支所起的作用絕對獨立，這一假設(shè)與實際情況也不相符。

圖6 超級電容器二分支RC模型Fig.6 Two branches model of the supercapacitor

由于超級電容器工作場合通常是低頻，且高頻時的電感參數(shù)值很?。ㄍǔ榧{亨級），因此以上介紹的三種等效電路模型均沒有電感元件。完整的等效電路模型需再串聯(lián)一個電感。

3.4 超級電容器頻域模型

超級電容器的頻域模型[24,25]是對超級電容器的頻譜特性進行分析并建立其多孔阻抗特性隨頻率變化的模型，實驗手段主要是采用阻抗譜分析方法[26]。典型的超級電容器頻譜特性的奈奎斯特圖如圖 7a所示。由該圖可以看出在低頻段，譜圖近似為一條垂線，即低頻特性可以用一個理想電容等效；在中頻段，譜圖近似為一條45°的斜線，其反映了超級電容器多孔電極的復(fù)阻抗特性，在與實軸相交的地方可以用一個純電阻來等效，在高頻時，超級電容器會表現(xiàn)出電感特性。根據(jù)以上分析可知，超級電容器的頻域模型可由圖7b表示。該模型由三部分組成，其中電感L主要模擬超級電容器高頻段的特性，其數(shù)量級一般為納亨，通常可以忽略；Ri代表串聯(lián)電阻，Zp代表多孔電極的復(fù)阻抗特性。完整的頻域模型數(shù)學(xué)表達(dá)式由（5）給出，其中Rel和Cdl是多孔電極結(jié)構(gòu)決定的阻容參數(shù)。

該模型在比較寬的頻段內(nèi)較精確地描述了超級電容器的頻率響應(yīng)特性，但是模型參數(shù)的獲取需要專用的阻抗譜分析設(shè)備，且對應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式復(fù)雜，在時域仿真和動態(tài)特性分析計算時使用不便。

圖7 超級電容器頻域模型Fig.7 Frequency domain model of the supercapacitor

3.5 超級電容器熱模型

3.6 超級電容器智能模型

模思路是將超級電容器看成是一個黑箱，不考慮其內(nèi)部的機理。將實際系統(tǒng)的輸入作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入，實際系統(tǒng)的輸出作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出，通過多組實際的輸入輸出數(shù)據(jù)對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行訓(xùn)練得到最終的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的最大優(yōu)點是可以無限地逼近系統(tǒng)的非線性特性，從這點上說它是仿真超級電容器非線性特性的最佳模型。此外在激勵的作用下，它的輸出就是系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)，因此可以直接用于系統(tǒng)分析。其缺點主要是模型沒有明確的物理意義，以及訓(xùn)練數(shù)據(jù)量要求大，訓(xùn)練工作的時間長，且神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)算法本身還沒有完全解決欠學(xué)習(xí)和過學(xué)習(xí)問題，這些缺點都增加了建模難度。

4 超級電容器等效電路模型驗證及探討

比較上述6類超級電容器模型可知等效電路模型可方便地應(yīng)用于超級電容器動態(tài)特性分析和系統(tǒng)仿真，因此筆者選擇超級電容器的等效電路模型進行實驗驗證。本文實驗采用的超級電容器為上海奧威公司生產(chǎn)的 UCE15V80000型超級電容器，其工作電壓范圍為 0.9～1.5V，靜態(tài)電容為 80kF，等效串聯(lián)內(nèi)阻為0.5mΩ。

4.1 經(jīng)典等效電路模型驗證

采用1倍率恒流充電曲線進行模型驗證，其實際充電電壓曲線和模型仿真曲線如圖8所示。由于僅仿真充電過程，因此沒有考慮模型中描述自放電特性的等效并聯(lián)電阻的作用。由圖8可以看出實際充電曲線具有明顯的非線性特性，采用經(jīng)典等效電路模型仿真會有比較大的誤差，但是如果是在快速充放電的應(yīng)用場合，則誤差會減小。針對梯形電路模型，由于其建模思路與經(jīng)典等效電路模型相同，只是通過提高模型階次來逼近超級電容器的非線性特性，因篇幅限制，不單獨進行驗證，根據(jù)其原理可知選擇的模型階次越高，仿真精度就越高。

圖8 經(jīng)典等效電路模型仿真電壓曲線與實際電壓曲線對比Fig.8 Comparison between real and simulating curves of classical equivalent model

4.2 二分支RC模型驗證

對于二分支RC模型同樣采用1倍率恒流充電實驗進行驗證，其實際充電電壓曲線和模型仿真曲線如圖9所示?？梢钥闯鲇捎谠撃Ｐ涂紤]了電容和電壓的依賴關(guān)系，因此比較好地擬合了超級電容器的非線性特性，此外由于第二分支的作用可以比較好地描述充電過程結(jié)束后電荷的再分配現(xiàn)象。但由于兩個分支在不同的時間段分別起作用，因此在仿真時必須增加開關(guān)來控制每一分支是否起作用，在實際應(yīng)用時不太方便。

圖9 二分支RC模型仿真電壓曲線與實際電壓曲線對比Fig.9 Comparison between real and simulating curves of two RC branche model

由以上兩類模型的實驗驗證結(jié)果可以看出：由于經(jīng)典等效電路模型和梯形電路模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式可以寫成微分方程、傳遞函數(shù)和差分方程的形式，因此可十分方便的應(yīng)用于超級電容器動態(tài)特性的分析和系統(tǒng)仿真中。對于多分支 RC電路模型，由于其在外部激勵的作用下，其內(nèi)部的分支并不是同時其作用，因此不能表達(dá)成統(tǒng)一的微分方程或傳遞函數(shù)形式，這在系統(tǒng)運動分析和控制時，使用非常不便，通常只適用于超級電容器充放電特性的仿真分析。

針對模型參數(shù)辨識問題，以上兩類模型的參數(shù)辨識方法主要采用阻抗譜分析法和恒流充放電實驗法。阻抗譜方法主要是通過超級電容器的頻域特性進行模型參數(shù)擬合，由于阻抗譜的激勵信號幅度很小，因此其參數(shù)辨識結(jié)果不能準(zhǔn)確反映超級電容器實際工作特性（超級電容器實際工作電流上百安）；恒流充電實驗法采用階躍電流信號進行模型參數(shù)辨識，從參數(shù)辨識理論角度來說，恒流信號不能充分激勵系統(tǒng)的所有模態(tài)，所有采用恒流實驗法辨識得到的參數(shù)也不能完全真實反映實際的物理系統(tǒng)。因此針對等效電路模型參數(shù)的辨識問題還有待進一步深入研究。

5 結(jié)論

通過以上對現(xiàn)有超級電容器建模研究現(xiàn)狀分析可知，從不同角度出發(fā)可以建立不同的模型，各種模型都有其適用范圍。由于模型的精度和實現(xiàn)代價是一對矛盾，所以應(yīng)在滿足模型應(yīng)用要求的前提下，建立一個實現(xiàn)代價最小的模型。雖然當(dāng)前國內(nèi)外很多學(xué)者針對超級電容器建模研究問題提出了很多方案和解決辦法，但是仍然存在很多需繼續(xù)深入研究的問題：

（1）超級電容器建模方法問題。目前，超級電容器建模方法多采用機理分析方法建模，即從超級電容器的物理特性出發(fā)進行建模，然后通過實驗數(shù)據(jù)進行驗證和修正。這種建模方法的優(yōu)點是模型具有比較明確的物理意義，但是如果對系統(tǒng)的真實機理了解不夠，則所建立的模型并不能反映真實系統(tǒng)的實際情況。當(dāng)前有關(guān)超級電容器建模方面的文獻其研究對象多集中于碳基對稱型有機電解液雙電層電容器，而針對贗電容超級電容器和混合型超級電容器建模的文獻較少。由于贗電容超級電容器和雙電層超級電容器在機理上有本質(zhì)區(qū)別，因此專門針對贗電容超級電容器建模還有待深入研究。此外，由于超級電容器單體端電壓低，因此在實際使用時需要大量單體串聯(lián)使用?，F(xiàn)有的關(guān)于超級電容器建模的文獻均是針對其單體建模，而串聯(lián)超級電容器組的模型并不是單體模型的簡單串聯(lián)，如何建立一個能反映整個串聯(lián)超級電容器組特性的模型具有更重要的實際意義。

（2）超級電容器建模的模型驗證問題。目前通常采用的方法是利用一組實驗數(shù)據(jù)進行模型參數(shù)辨識，然后用同樣的數(shù)據(jù)代入到所建立的模型中進行仿真，從而判定模型的準(zhǔn)確性。這一點從本質(zhì)上來說并不能有效驗證模型的泛化能力。比較好的方法是采用多種實驗數(shù)據(jù)進行模型有效性驗證。但是隨著使用環(huán)境和應(yīng)用場合的不同，超級電容器模型參數(shù)表現(xiàn)出時變和非線性特性，如何準(zhǔn)確的建立反映超級電容器特性和模型參數(shù)變化并且具有一定泛化能力的模型是未來建模研究工作的重點和難點。

（3）超級電容器壽命特性建模問題。雖然超級電容器的使用壽命遠(yuǎn)高于電池（雙電層超級電容器壽命理論高達(dá)100萬次以上，贗電容超級電容器可達(dá)10萬次），但是超級電容器實際使用壽命和使用條件、環(huán)境溫度、充電電流及端電壓具有很復(fù)雜的關(guān)系，在惡劣的工作環(huán)境下其壽命會大大降低，因此建立描述超級電容器壽命衰減的模型對于其品質(zhì)評價、合理使用以及減少儲能系統(tǒng)維護成本具有重要的意義。

綜上，當(dāng)前超級電容器建模研究方面雖然取得了一些比較好的結(jié)果，但是每個模型都有其自己的優(yōu)缺點，使用范圍有限，至今仍沒有一個公認(rèn)的可以完整準(zhǔn)確描述超級電容器實際物理特性的模型，因此未來其建模研究仍將是超級電容器相關(guān)研究領(lǐng)域的研究重點。

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