陳希明，潘娜娜，潘 宇

(重慶郵電大學(xué)數(shù)理學(xué)院，重慶 南岸 400065)

在小角度下從理論和實(shí)驗(yàn)方面研究配重復(fù)擺周期的變化規(guī)律是復(fù)擺研究問(wèn)題中一項(xiàng)重要內(nèi)容，在這些方面已經(jīng)有不少報(bào)道［1－4］，其中文獻(xiàn)［1－2］的研究方式較為相近，均從理論分析角度采用配重周期與無(wú)配重周期比率的方式，研究了周期隨懸掛點(diǎn)及配重位置變化的規(guī)律，得到了較好的結(jié)果.在本文中，我們從勻質(zhì)細(xì)桿加一配重的物理模型出發(fā)得到了任意擺角下配重復(fù)擺運(yùn)動(dòng)的微分方程.由于非線性效應(yīng)，我們無(wú)法得到對(duì)應(yīng)的解析解，因此很難了解配重復(fù)擺的運(yùn)動(dòng)圖像.近年來(lái)，對(duì)物理問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值研究［5－11］已經(jīng)成為物理教學(xué)研究中普遍采用的方法.在本文中，我們首先對(duì)配重位置改變時(shí)的配重復(fù)擺的運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行數(shù)值模擬并從中得到其周期;其次研究懸掛點(diǎn)和配重的位置固定下配重復(fù)擺的周期與角振幅的擬合關(guān)系，得到任意擺角配重復(fù)擺周期的擬合公式.為了驗(yàn)證該周期公式的正確性，我們比較了該式計(jì)算的任意擺角的周期和數(shù)值計(jì)算的結(jié)果.數(shù)值求解方法擴(kuò)展了配重復(fù)擺的研究途徑與方法，具有一定的應(yīng)用價(jià)值.

1 模型及運(yùn)動(dòng)方程

如圖1所示，忽略空氣與軸的阻力下，配重復(fù)擺在繞懸掛點(diǎn)D擺動(dòng)的過(guò)程中始終滿足能量守恒方程:

圖1 配重復(fù)擺模型

該式對(duì)任意擺角的配重復(fù)擺成立.當(dāng)θ很小時(shí)，我們可以利用sinθ≈θ直接由(2)式得到配重復(fù)擺的周期T的平方值:

(3)式即為系統(tǒng)的固有周期.此時(shí)，配重復(fù)擺的周期僅與系統(tǒng)參數(shù)有關(guān)，即由擺長(zhǎng)、配重所在位置、懸掛點(diǎn)位置以及配重與桿的質(zhì)量比m1m0同時(shí)決定.但對(duì)于一般情況，我們很難從(2)式獲得解析解，因此通常借助Mathematica等數(shù)學(xué)軟件數(shù)值求解.在保持質(zhì)量比不變的情況下，我們?cè)诒疚闹型ㄟ^(guò)調(diào)節(jié)配重在勻質(zhì)桿上的位置分別對(duì) θ0≤5°，5°＜ θ0≤90°和90°＜ θ0＜180°范圍內(nèi)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行數(shù)值模擬，并在固定懸掛點(diǎn)和配重位置的情況下研究配重復(fù)擺的周期與擺角的關(guān)系.

2 任意擺角下配重復(fù)擺運(yùn)動(dòng)過(guò)程的數(shù)值模擬

為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，我們假設(shè)配重復(fù)擺懸掛在桿端A點(diǎn)處(即x=0)，并取均質(zhì)桿長(zhǎng)L=2.0m，線密度 λ =1.0 kg·m－1，重力加速度g=9.8m·s－2.在不同的初始條件下，我們利用Mathematica軟件計(jì)算方程(2)得到復(fù)擺角位移θ(t)～t、角速度和角加速度的關(guān)系，如圖2～圖4所示.

利用Mathematica尋找函數(shù)全域最大值的方法，我們通過(guò)數(shù)值計(jì)算得到了配重位置改變時(shí)的系統(tǒng)周期，并將它與公式計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行比較，如表1～表3所示.表中的第一列代表不同的配重位置，第二列與第三列分別表示在相應(yīng)配重位置時(shí)利用公式(2)與(3)計(jì)算的周期，第四列對(duì)應(yīng)相應(yīng)的誤差.通過(guò)比較，我們發(fā)現(xiàn)隨著配重位置從桿端A向桿端B的改變，不同擺角對(duì)應(yīng)的配重復(fù)擺周期均增加，并且由于非線性振動(dòng)，數(shù)值周期不僅與系統(tǒng)參數(shù)有關(guān)，還依賴于初始條件.圖2～圖4充分表明了這種變化與依賴關(guān)系，其中圖2顯示了在小角度下配重復(fù)擺微振動(dòng)時(shí)各量隨時(shí)間的變化關(guān)系.當(dāng)擺角θ0≥5°時(shí)的大角度配重復(fù)擺運(yùn)動(dòng)的詳盡分析，讀者可參閱文獻(xiàn)［12］.

表1 在初始條件θ0=3°，ω0=0下配重位置改變時(shí)，數(shù)值計(jì)算周期與公式計(jì)算周期的對(duì)應(yīng)關(guān)系

圖2 θ0=3°，ω0=0配重處于桿的不同位置時(shí)，位移、角速度及角加速度之間的關(guān)系

圖3 θ0=80°，ω0=0配重處于桿的不同位置時(shí)，位移、角速度及角加速度之間的關(guān)系

圖4 θ0=170°，ω0=0配重處于桿的不同位置時(shí)，位移、角速度及角加速度之間的關(guān)系

表2 在初始條件θ0=80°，ω0=0下配重位置改變時(shí)，數(shù)值計(jì)算周期與公式計(jì)算周期的對(duì)應(yīng)關(guān)系

表3 在初始條件θ0=170°，ω0=0下配重位置改變時(shí)，數(shù)值計(jì)算周期與公式計(jì)算周期的對(duì)應(yīng)關(guān)系

3 周期與角振幅的擬合

該部分我們利用Mathematica軟件對(duì)方程(2)進(jìn)行數(shù)值求解來(lái)詳細(xì)研究配重復(fù)擺的周期與角振幅之間的關(guān)系.為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，我們假設(shè)復(fù)擺繞端點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)，并取 L=2.0 m，λ =1.0 kg·m－1，ω0=0.限于篇幅和討論的相似性，我們僅討論質(zhì)量比m1m0不變且配重位置d=0的這種情況.通過(guò)循環(huán)語(yǔ)句Do［］使角振幅θ0從0.04 rad到1.6 rad逐漸增大，我們便可以得到不同角振幅對(duì)應(yīng)的周期，最后利用線性擬合函數(shù)Fit［］對(duì)周期公式進(jìn)行擬合.

圖5顯示了配重復(fù)擺振動(dòng)周期與角振幅之間的關(guān)系，其中粗點(diǎn)表示不同角振幅下周期的計(jì)算值，曲線表示相應(yīng)的擬合曲線.由此可見(jiàn)，兩者吻合很好，且配重復(fù)擺的周期隨著角振幅的增加而緩慢增大.

圖5 配重復(fù)擺振動(dòng)周期與角振幅的關(guān)系與擬合

我們得到的周期擬合公式為

該式可用來(lái)計(jì)算任意角振幅下的振動(dòng)周期.當(dāng)θ=0時(shí)，復(fù)擺的周期值為2.218 92 s，它與公式(3)算出的結(jié)果相同，這說(shuō)明周期擬合公式能正確給出小角度下的周期值.為了驗(yàn)證擬合公式的正確性，我們?cè)诒?分別列出了利用公式(2)與公式(4)得到的周期值.其中第二列表示由(2)式數(shù)值計(jì)算的周期，第三列則是由(4)式擬合的周期.通過(guò)對(duì)比，我們得出如下結(jié)論:1)復(fù)擺周期隨著角振幅增大而增大，這是非線性效應(yīng)影響的結(jié)果，增大的幅度從數(shù)值上能定量地看出來(lái)，比圖5更為直觀和明顯;2)數(shù)值周期與擬合周期完全吻合，說(shuō)明根據(jù)擬合公式計(jì)算的配重復(fù)擺周期具有很高的可靠性.

表4 角振幅逐漸增大下，數(shù)值計(jì)算周期和擬合公式計(jì)算周期的對(duì)比

4 結(jié)語(yǔ)

以勻質(zhì)細(xì)桿加配重為物理模型，我們得到了配重復(fù)擺振動(dòng)的非線性微分方程與周期的一般表達(dá)形式.在保持質(zhì)量比m1m0=12不變的情況下，通過(guò)調(diào)節(jié)配重在勻質(zhì)桿上的位置，我們對(duì)任意擺角配重復(fù)擺運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行了數(shù)值模擬，比較了數(shù)值周期與公式周期的不同，發(fā)現(xiàn)隨著配重位置從桿端A向桿端B的改變，任意擺角配重復(fù)擺的周期將增加.同時(shí)，我們還研究了懸掛點(diǎn)和配重的位置固定情況下配重復(fù)擺的周期與角振幅的擬合關(guān)系，得到了任意擺角配重復(fù)擺的周期擬合公式.為了驗(yàn)證該周期公式的正確性，我們利用擬合公式計(jì)算了任意擺角的周期，并與數(shù)值計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行了比較，發(fā)現(xiàn)根據(jù)擬合公式計(jì)算的配重復(fù)擺周期具有很高的可靠性.本文的研究表明數(shù)值求解方法可以擴(kuò)展配重復(fù)擺的研究途徑與方法，具有一定的應(yīng)用價(jià)值.

［1］鄒得濱，王艷輝，張?zhí)煅?，?加配重復(fù)擺振動(dòng)周期變化規(guī)律的研究［J］.物理與工程，2008，18(6):13－15.

［2］任新成，王玉清，石延梅.加配重復(fù)擺振動(dòng)周期的變化規(guī)律［J］.延安大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2004，23(3):30－32.

［3］白澤生，劉竹琴.復(fù)擺加一配重后周期的變化［J］.延安大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1997，16(4):87－88.

［4］張秀蓮，林長(zhǎng).復(fù)擺設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)探討［J］.西北師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1996，32(3):79 －81.

［5］張東，曹勝亮.基于MATLAB的電容傳感器動(dòng)態(tài)特性分析［J］.重慶文理學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2008，27(6):54－57.

［6］何玉平.MATLAB在大學(xué)物理中的應(yīng)用［J］.重慶文理學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2009，28(5):31 －34.

［7］鮑四元，孫洪泉，陳旭元.Mathematica在振動(dòng)波問(wèn)題中的應(yīng)用［J］.物理與工程，2010，20(4):49 －51.

［8］于鳳軍，景義林.一個(gè)單擺周期近似公式［J］.大學(xué)物理，2007，26(5):18 －19.

［9］路洪燕，從守民，劉保通，等.Mathematica在大學(xué)物理教學(xué)中的應(yīng)用［J］.淮北煤炭師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010，31(4):83 －86.

［10］任繼陽(yáng)，劉心益.運(yùn)用Mathematica描繪光的多縫衍射圖樣［J］.玉溪師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，27(4):61－64.

［11］樊東紅，黃瑪莉，柳繼峰.利用Mathematica研究類圓孔和類圓環(huán)的夫瑯禾費(fèi)衍射［J］.河南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2008，36(4):80 －82.

［12］鄒芳紅，崔百寧.大角度復(fù)擺的運(yùn)動(dòng)方程［J］.物理通報(bào)，1999(4):26－27.