☉江蘇省寶應(yīng)縣安宜高級(jí)中學(xué) 程守權(quán)

直線和圓錐曲線綜合題的四個(gè)突破口

☉江蘇省寶應(yīng)縣安宜高級(jí)中學(xué) 程守權(quán)

直線和圓錐曲線的綜合問題是以直線與圓錐曲線為載體，以函數(shù)、不等式知識(shí)為工具，融幾何、代數(shù)、三角于一體，具有較強(qiáng)綜合性的一類題目，多年來一直是高考命題的熱點(diǎn).然而筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，許多同學(xué)做這類題時(shí)，常因找不到問題的突破口而苦惱不已.下面給出解決這類問題的四個(gè)突破口，供參考.

一、找定點(diǎn)、定值為突破口

評(píng)注：求解直線和圓錐曲線的最值問題時(shí)，首先要弄清題意，理順各變量之間的關(guān)系，分清“變”中的“不變”.當(dāng)問題中有定點(diǎn)、定值時(shí)，應(yīng)盡量先求出來，然后充分利用定點(diǎn)、定值的性質(zhì)解題.

二、構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)為突破口

圖1

（1）求橢圓C的方程.

評(píng)注：解決此類問題的方法是根據(jù)已知條件和信息，結(jié)合相關(guān)知識(shí)，建立目標(biāo)函數(shù)或不等式，然后求出所求范圍.

三、巧選變量為突破口

例3 設(shè)以原點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓與拋物線y2=x－1相交于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)θ=∠POQ（0＜θ＜π），當(dāng)r為何值時(shí)，θ最大？

解：設(shè)拋物線y2=x－1與圓在第一象限的交點(diǎn)為P（x0，y0）.

因P在拋物線y2=x－1上，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（y20+1，y0）（y0＞0）.

圖2

評(píng)注：本題求解的關(guān)鍵是選定變量，搞清“動(dòng)”與“靜”的關(guān)系，在“變化”中求“不變”（最值）.

四、利用幾何性質(zhì)為突破口

例4 設(shè)P是直線l：x－y+9=0上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P的橢圓以雙曲線4x2－5y2=20的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，試求P點(diǎn)在什么位置時(shí)，所求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)最短，并寫出這個(gè)具有最短長(zhǎng)軸的橢圓方程.

分析：題中要求的是長(zhǎng)軸長(zhǎng)最短的橢圓，且橢圓必須過直線x－y+9=0上的一點(diǎn)P，聯(lián)想到橢圓定義，橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和為定長(zhǎng)2a，問題轉(zhuǎn)化為在直線l上求一點(diǎn)P，使它到l外兩定點(diǎn)F1、F2的距離和最短.這個(gè)問題在平面幾何中用對(duì)稱的辦法就可解決.

圖3

評(píng)注：充分利用圓錐曲線的定義和平面幾何性質(zhì)，使最值問題的求解簡(jiǎn)捷明快.一般來說，可借助平面幾何中的對(duì)稱關(guān)系、三角形三邊關(guān)系、兩點(diǎn)之間線段最短等來處理.

總之，求解直線和圓錐曲線的最值問題的方法雖很多，但不管使用哪種方法，其前提都是首先要弄清題意，通過數(shù)形結(jié)合，找到題目的突破口.