☉江蘇省泰州中學(xué) 鄭麗年

一道課本習(xí)題的 一題多變

☉江蘇省泰州中學(xué) 鄭麗年

數(shù)學(xué)，作為一種科學(xué)和藝術(shù)，從本質(zhì)上反映了自然界的五彩繽紛、絢麗多彩；但是作為一門學(xué)科，它的大部分內(nèi)容卻顯得抽象和乏味.

高中數(shù)學(xué)內(nèi)容多，容量大，老師在上課的時(shí)候，生怕學(xué)生見的題型少，拼命在課堂上給學(xué)生灌很多的題目，讓學(xué)生在題海中奔波，沒有了自己的見解，導(dǎo)致一部分學(xué)生在考試時(shí)出現(xiàn)了“不怕難，就怕新”的怪現(xiàn)象.

筆者認(rèn)為能否運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題關(guān)鍵還在于有沒有真正地理解這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，道家有句話叫做道生一，一生二，二生三，三生無窮，也就是平時(shí)說的“悟”，這樣的要求對(duì)很多學(xué)生都比較高，這就需要老師在平時(shí)教學(xué)過程中有意識(shí)的加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練.

例如課本上有這么一道題：

例題 求曲線y=x3+3x在點(diǎn)P（-2，-14）處的切線方程.

解：令f（x）=x3+3x.因f′（x）=3x2+3，則f′（－2）=15，故所求切線方程為y=15x+16.

這道題目本身比較平淡，如果我們上課時(shí)也僅僅是點(diǎn)到為止，那么學(xué)生根本就不感興趣，也失去了這道題目的潛在的解題功能，現(xiàn)在我們做一些小小的變化.

變題1：已知曲線C：f（x）=x3－x+2，求經(jīng)過點(diǎn)P（1，2）的曲線C的切線方程.

變題4：斜率為3的直線與曲線C：y=x3相切于P點(diǎn)，并與曲線有另一個(gè)交點(diǎn)Q，求兩點(diǎn)P、Q的坐標(biāo).

解：因y′=3x2，k=3，故xP=±1，切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）或（-1，-1）.

當(dāng)切點(diǎn)為P（1，1）時(shí)，切線方程為y=3x-2，得另一點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-2，-8）；當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)為P（-1，-1）時(shí)，同理可得Q（2，8）.

變題5：P為曲線C：y=x3上一動(dòng)點(diǎn)，若曲線在點(diǎn)P處的切線與曲線有另一交點(diǎn)Q，求PQ的中點(diǎn)的軌跡方程.

挖掘教材習(xí)題的潛在功能，有利于活躍學(xué)生的思維，拓廣思路，長(zhǎng)期堅(jiān)持下去，有利于學(xué)生智力的發(fā)展，解題能力的提高，也有利于避免題海戰(zhàn)術(shù)，減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān).